1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Следствие 2 позволяет придать точный смысл утверждению, что все счетные множества одинаковы. Если множества А и В счдтны, то между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что каждому элементу А отвечает единственный элемент множества В, и каждому элементу В отвечает единственный элемент А. з 7. Счетные множества 7.2. ОпкгА ии ВАд счктными мнОжестВАми 7,2.1. Опишем некоторую общую схему, полезную при изучении операций над счетными множествами. На плоскости зададим декартову ортогональную систему координат. Рассмотрим «квадрант» (7.1) х>0; у>0.
Прямыми х = т, у = и, где т и и — произвольные натуральные числа, разобьем его на «квадраты», определяемые неравенствами т — 1<х<т и — 1<у<и. (7.2) Разделенный таким образом «квадрант» (7.1), х > О, у > О, будем называть каиторовой таблицей и отдельные «квадраты», составляющие разбиение, будем именовать клетками канторовой таблицы (см.
рис. 10). Рис. 10 Клетку, определенную неравенствами (7.2), будем обозначать сим- волом К,а. 7,2.2. Сформулируем важное утверждение. ° Лемма 7.1. Множество всех клеток канторовой таблицы счетно. Доказательство. Определим следующим образом нумерацию клеток канторовой таблицы. Сопоставим клетке К ,„ натуральное число м(т,п) = (2т — 1)2" 72 Гл.
1. Введение в математический анализ Наглядно это означает, что клеткам, образующим самую нижнюю строку таблицы, в качестве номера присваиваются последовательные нечетные числа (см. рис. 11). Рис. П Клетке каждой следующей строки присваивается номер, получаемый удвоением номера клетки, расположенной непосредственно под ней.
Докажем, что отображение и: К,„~-~ (2пз — 1)2" ~ Е И взаимно однозначно. Действительно, возьмем две различные клетки К,,„, и К Если пз ф пз, то числа и(т1, п1), и(тз, пз) делятся на разные степени числа 2 и потому различны. Если же п1 = пз, то т1 ~ тз и, значит, 2гпг — 1 ~ 2тз — 1, откуда и(тз,п1) ф и(тз,пз). Таким образом, если клетки К,,„, и К ...различны, то и числа и(гп1,п1) и 1(гпз,пз) различны, так что и есть взаимно однозначное отображение канторовой таблицы в И. Можно доказать, что построенное отображение будет отображением канторовой таблицы на все И. Предоставим сделать зто читателю.
Лемма доказана. ° 7.2.3. Применение канторовой таблицы во многих случаях позволяет придать наглядный характер рассуждениям, посредством которых доказывается, что те или иные множества не более чем счетны. 73 З 7. Счетные множества Пусть дано множество М. Предположим, что каждому элементу множества М сопоставлена одна или несколько клеток канторовой таблицы так, что для разных элементов соответствующие им множества клеток не имеют общих элементов. Наглядно это можно представить так, что все элементы множества М вписаны в клетки канторовой таблицы.
Один элемент может вписываться в несколько клеток, но в каждой клетке таблицы должно быть не более одного элемента множества. Не требуется, чтобы все клетки канторовой таблицы были заняты элементами множества М. Пусть Š— множество всех клеток канторовой таблицы, в которых стоят элементы множества М. Множество Е не более чем счетно (как подмножество счетного множества). Сопоставив каждой клетке из Е заключенный в ней элемент М,получим отображение Е на М. В силу леммы 7.1, отсюда следует, что М не более чем счетно. Строение канторовой таблицы во многих случаях облегчает процесс вписывания в нее элементов множества.
7.2.4. Покажем, как, используя канторову таблицу, доказать, например, счетность множества всех елых чисел. Запишем в клетки первой строки канторовой таблицы числа 1,2,3,.... В первой клетке второй строки запишем число О. Наконец, в клетках третьей строки запишем последовательно числа — 1, — 2, — 3,... (см. рис. 11). В результате, каждое целое число будет занесено в некоторую клетку канторовой таблицы. Сопоставив ему номер этой клетки в построенной выше нумерации клеток канторовой таблицы, получим взаимно однозначное отображение У, в М. Тем самым мы доказали, что множество Е является счетным. 7.2.5.
Аналогичным образом может быть установлено, что и множество всех рациональных чисел счетно. Выведем это утверждение как следствие некоторой общей теоремы. Пусть (Е~)сет — произвольное семейство множеств, где индекс 1 пробегает некоторое множество Т. (Это означает, что всякому 1 Е Т сопоставлено некоторое множество Ем) Семейство (Ес),ет называется ие более чем счетным, если множество индексов Т не более чем счетно. Объединением семейства множеств (Ес)сет называется совокупность всех объектов т, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств Ем И Теорема 7.2. Объединение любого не более чем счетного семейства множеств, каждое из которых не более чем счетно, есть не более чем счетное множество.
74 Гл. 1. Введение в математический анализ Доказательство. Пусть (Е )~ет — произвольное не более чем счетное семейство множеств, Š— его объединение. Зададим произвольно взаимно однозначное отображение и: Т вЂ” г1. Для каждого $ е Т элементы множества Е, разместим последовательно в клетках строки с номером и(1) канторовой таблицы таким образом, чтобы никакие два различных элемента множества Е, не попали в одну клетку. Это возможно, поскольку множество Е, не более чем счетно. Разумеется, может оказаться, что при этом будет занята лишь часть клеток данной строки. В результате, все элементы множества Е окажутся размещенными в клетках канторовой таблицы.
Пусть Ф вЂ” множество всех клеток канторовой таблицы, занятых элементами множества Е. Множество г1 не более чем счетно. Сопоставив каждой клетке из Ю записанный в нее элемент з е Е, получим отображение М на Е. Следовательно, Е не более чем счетно. Теорема доказана. ° Следствие. Множество всех рациональных чисел Я счетно.
Действительно, пусть Я„, где п е Ы, — множество всех чисел х е Я, представимых в виде х = —, где х е К. н' При каждом п е Я соответствие — х представляет собой взаимно а однозначное отображение множества 1)„на К. В силу предложения 7.1, существование такого отображения доказывает, что каждое из множеств Я„не более чем счетно. Множество Я является объединением множеств Я„, откуда, в силу теоремы 7.2, следует, что Я не более чем счетно. Так как Я бесконечно, то Щ счетно, что и требовалось доказать. 7.2.6. В связи с полученным результатом, естественно возникает вопрос: существуют ли бесконечные множества, не являющиеся счетными? Положительный ответ на этот вопрос дан в главе 2. ° Хеорема Т.З.
Произведение конечного числа не более чем счетных множеств не более чем счетно. Доказательство. Пусть даны множества АьА2,...,А„, п>1, каждое из которых не более чем счетно. Требуется доказать, что А = А1 х А2 х ° ° х А„ есть не более чем счетное множество. Доказательство будем вести индукцией по и. В случае и = 1 имеем: А = Ам и результат очевиден. Предположим, что для некоторого п е г1 теорема доказана. 75 Задачи Пусть дана совокупность из и + 1 не более чем счетных множеств А;, г = 1, 2,...,и + 1. Для 1 Е А тз обозначим через Е». совокупность всех элементов х1, хз,..., х + з множества Аз х Аз х .
х А„+ з, У котоРых х„+1 = 8. Имеем биективное отображение: (хы..., х„) Е Аз х Аз х х А„»-» (хы..., х„, Ф) Е Ьф. По индукционному допущению множество А1 х Аз х . х А„не более чем счетно. Отсюда вытекает, что Ез не более чем счетно при каждом Ф Е А„+1. Очевидно, что АзхАзх хА„+з= ( ~ Еы Фея„+з В силу теоремы 7.2, отсюда вытекает, что Аз х Аз х х А„+1 — не более чем счетное множество.
В силу принципа математической индукции, теорема доказана. ° ч Следствие. Дпя всякого и Е И множество всех конечных последовательностей х = (х1,хз,...,х„) из и рациональных чисел не более чем счетно. Действительно, указанное множество есть произведение Я"=Яхтах хЯ. Согласно следствию теоремы 7.2, множество Я не более чем счетно. Отсюда вытекает, что Я" — не более чем счетное множество, что и требовалось доказать.
Т Задачи 1.1. Доказать, что для любых множеств А, В справедливы равенства А~ В = А ~(АПВ) = (А О В) ~ В, А ~(А~ В) = АПВ. 1.2. Доказать, что для произвольных множеств А, В, С выполняются равен- ства (АГ1В)0С= (АЦС) й(В ОС), (АОВ) ПС = (АПС) 0(ВПС). Гл. 1. Введение в математический анализ 1.3. Доказать, что для произвольных множеств А, В, С справедливы равен- ства (А О В) ~ С = (А ~ С) О (В ~ С), А~ (В ОС) = (А~В) й (А~ С), А~ (В йС) = (А~В) 0(А~ С), Ай(В ~ С) = (Ай В) ~(Ай С), (А и В) ~ С = (А ~ С) и (В ~ С). 1.4. Лано и множеств Ам Аз,..., А„.
Сколько самое большее новых множеств можно образовать из них, используя операции объединения, пересечения и взятия разности? 1.5. Лано конечное множество Х, имеющее и элементов. Пусть Аы Аз,..., Аь — такое семейство подмножеств Х, что каждое подмножество Х может быть получено из множеств Аг, Аз,..., Аь применением теоретико-множественных операций пересечения, объединения и образования разности.
Найти наименьшее возможное значение 1с. 1.6. Даны множества Аг, Вг, Аз, Вз. Доказать равенства: (Аг х Вг) й (Аз х Вз) = (Аг й Аз) х (Вг й Вз), (Аг х Вг) ~ (Аз х Вз) = [Аг х (Вг ~ Вз)] о [(Аг ~ Аз) х (Вг й Вз)] = = [(Ад й Аз) х (Вг ~ Вз)] О [(Аг ~ Аз) х Вг]. 1.7. Пусть А — конечное множество, и — число его элементов. Доказать, что число подмножеств множества А, состоящих из гп элемени! тов, где 0 < т ( и, равно С„= т! (и — т)! 1.8. Пусть и(А) — число элементов конечного множества А.
Доказать, что для любых двух конечных множеств А, В справедливо равенство и(А О В) = и(А) + и(В) — и(А й В). Локазать, что для любых трех множеств А, В, С справедливо равенство и(АОВО С) = = и(А) + и(В) + и(С) — и(А й В) — и(А й С) — и(В й С) + и(А й В й С). 1.9. Пусть дано отображение у: А -+ В. Локазать, что для любых двух множеств Р С В, Я С В справедливы равенства: 1.10. Ланы отображение у: х ~-+ х + рх+ д и интервал (гг,)3). Определить множество у г((а, ф)). Задачи 1.11.
Дано отображение 1: А — ~ В. Показать, что Щ ~(М)) С М для всякого М С В. Привести примеры, показывающие, что равенство Д,г ~(М)) = М, вообще говоря, не верно. Пусть Е С А. Показать, что у гЩЕ)) Э Е. Привести примеры, показывающие, что равенство г' ~(ДЕ)) = .Е, вообще говоря, не верно. 1.12. Лане отображение У: А — В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
