1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 16
Текст из файла (страница 16)
есть предел Дх) при х, стремящемся к р по множеству М. Пругое важное понятие, которое будет здесь введено, — это понятие непрерывной функции. Говорит, что функция ~(х) непрерывна в точке х своей области определения, если при малом изменении точки х значение Дх) изменяется мало. Исследование общих свойств понятий предела и непрерывной функции составляет центральную задачу настоюцей главы. Палее будут даны точные определения этих понятий и установлены некоторые их основные свойства.
1.1. ПОНЯТИЕ НРЕ ЕЛЬКОЙ ТОЧКИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА 1.1.1. Пля всякого вещественного числа р е Й определена некоторая совокупность множеств, называемых окрестнослзями этого числа. Если р — конечно, то окрестностью точки р мы будем считать всякий интервал вида (р — е,р+ е), где е ) 0 произвольно, е Е м. Если р = со, то окрестностью точки р называется всякий промежуток вида (К, оо), где К конечно. Для точки р = — оо окрестностями р мы будем считать всевозможные промежутки вида [ — со, К), где К конечно. 83 З 1. Определение и простейшие свойства предела Совокупность всех окрестностей точки р 6 Й мы будем обозначать символом 0(р). Формула П е 0(р) — это сокращенная запись высказывания «П есть окрестность точки р».
° Лемма 1.1. Пусть р й Й. Для любого конечного множества (Пы Пз ° ° °, Пт) окрестностей точки р существует окрестность У этой точки, содержа- щаяся в каждом нз множеств П,, г = 1, 2,..., т. Доказательство. Пусть р — конечно. Тогда при каждом з = = 1,2,...,т выполнено У; = (р — е;,р+ е,), где е; > О.
Пусть е есть наименьшее из чисел емез,...,е . Очевидно, е > О. Положим П = = (р — е,р+ е). При каждом ь' = 1,2,...,т имеем: е < е;, откуда р — е* < р — е, р+ е < р+ е; и, значит, У с П; при каждом г'. Множество У вЂ” это искомэл окрестность. Пусть р = оо, Тогда У; = (.К;, оо) при каждом з' = 1, 2,..., т. Если К вЂ” это наибольшее из чисел Х,, г = 1, 2,..., т, то (К, оо) будет той окрестностью точки р = оо, которая содержится в каждой из данных окрестностей У,. Аналогично рассматривается случай р = — оо. Лемма доказана. ° 1.1.2. Оп елим понятие ельной точки числового множества. Пусть дано произвольное множество М С Ж.
Число р й Й называется предельной точкой множества М, если каждая окрестность П точки р содержит точку х множества М, отличную от р. В аннотации к этому параграфу предельная точка числового множества была охарактеризована как точка, сколь угодно близко к которой можно найти иные элементы данного множества. Выражение: «сколь угодно близко к точке р существует число х, удовлетворяющее некоторому условию», как видно из данного выше определения понятия предельной точки, следует трактовать так: «во всякой окрестности точки р существует элемент х, удовлетворяющий этому условию». В данном случае условие, о котором идет речь, таково: «хйМих~р». Условие «х Е М и х ф р» можно переписать как х й М ~ (р). Следовательно, условие: «р есть предельная точка множества М» эквивалентно условию (ЧП Е 0(р))(Зх Е П) х Е М ~ (р) 84 Гл.
2. Теория предела (ЧиЕО(р)) ППМ~~р) ~а. Понятие предельной точки множества можно определить не прибегая к теоретико-множественным представлениям. Пусть р Е Й конечно. Окрестностью точки р является всякий интервал вида (р — б, р+ б). Утверждение: «х Е (р — б, р+ 6)» равносильно следующему: «х удовлетворяет неравенствам р — 6 < х < р+ 6». Последнее, в свою очередь, равносильно условию: «точка х удовлетворяет неравенству ~х — р~ < б».
Следовательно, р Е К есть предельная точка множества М С Й в том и только в том случае, если для всякого б > 0 можно указать х Е М такое, что х ф. р и ~х — р~ < б. Если р = оо, то окрестностями точки р являются промежутки сг вида (К, оо], где — оо < К < оо. Условие х Е У равносильно неравенству х > К.
Окрестностью точки р = — оо является всякий промежуток вида с' = [ — оо, К), где К' Е К. Условие х Е У, в данном случае, равносильно неравенству х < К. Условие «оо есть предельная точка множества М С Й» — равносильно следующему: для всякого конечного числа К существует элемент х множества М такой, что К < х < оо.
Условие « — оо есть предельны точка множества М» — равносильно следующему: для всякого К Е Й существует элемент х множества М такой, что К > х > — оо. Совокупность всех предельных точек множества М будем обозначать символом ЕгтМ. Применяя это обозначение, высказывание: «р есть предельная точка множества М» сокращенно можно записать так: «р Е АдтМ». Пусть дано множество М с Й. Предположим, что число р Е Й не является предельной точкой множества М. Тогда найдется окрестность У точки р, не содержащая элементов множества М, отличных от р. действительно, допустим, что такой окрестности у точки р нет. Тогда всякая окрестность точки р содержит точки множества М, отличные от р, и, значит, согласно определению, р есть предельны точка множества М, что противоречит тому, что, согласно предположению, р не является предельной точкой множества М. Пусть М С Й.
Мы получаем, что если р Е М и р ф ьлтМ, то найдется окрестность У точки р, в которой нет элементов множества М, отличных от р. Это означает, что в данном случае множество У П М состоит из единственного элемента — точки р, то есть с' П М = (р). 85 З 1. Определение и простейшие свойства предела Если р Е М не является предельной точкой множества М, то р называется изолированной пзонной множестпва М. ° Лемма 1.2.
Пусть М и .Š— произвольные подмножества Й. Предположим, что р й Й есть предельная точка множества М. Если Е Э М, то р является предельной точкой также и множества Е. Доказательство. Пусть р Е ьлтМ. Зададим произвольно окрестность У точки р. Тогда, согласно определению предельной точки, для всякой окрестности У точки р множество У П (М 1 (р)) не пусто и так как Е Э М, то также и У й (Е 1 (р)) ~ О, как бы ни была выбрана окрестность У точки р. Это означает, что р есть предельная точка множества Я. Лемма доказана.
° ° Лемма 1.3. Пусть дано множество М с Й. Ясли число р е Й есть предельная точка множества М, то, какова бы ни была окрестность Ув точки р, число р является предельной точкой множества С = М П Ув. Доказательство. Пусть выполнены все условия леммы. Пусть У есть произвольная окрестность точки р. Согласно лемме 1.1, найдется окрестность У~ точки р такая, что Ув Э Уг и У Э Уь Так как, по условию, р есть предельны точка множества М, то найдется и Е М такое, что и Е У~ и в то же время и ~ р. Так как У~ С Ув, то и 6 Ув и, значит, т й Ув П М = С. Так как У~ С У, то т Е У. Окрестность У точки р была задана произвольно. Следовательно, мы получаем, что всякая окрестность У точки р содержит элементы множества С, отличные от р. По определению, это и означает, что р есть предельная точка множества С.
Лемма доказана. ° 1.1.3. Докажем предложение, устанавливающее связь понятия предельной точки с понятиями точной верхней и точной нижней границ числового множества. ° Теорема 1.1. Пусть дано непустое множество М с Й и пусть р = зпр М. Если р не является элементом М, то р — это предельная точка М.
Аналогично, если р = шГМ и р ф М, то р — предельная точка множества М. Доказательство. Сначала докажем утверждение теоремы, относящееся к точной верхней границе множества М. Гп. 2. Теория предела Пусть М есть непустое множество и р = эпр М, причем р не принадлежит М. Так как, по условию, множество М непусто, то существует хотя бы одно х б М.
Тогда х < р. Поскольку р ф М, то х ф р и, стало быть, х < р. В частности, отсюда следует, что — оо < р. Зададим произвольно П Е С(р). Множество П в случае, когда р конечно, есть интервал П = (р — е, р+ е), а если р = оо — промежуток П = (Х, со]. Левый конец промежутка П обозначим символом р'. В обоих случаях р' < р и, значит, согласно признаку точной верхней границы, найдется х Е М такое, что р' < х < р. Пусть точка х такова. Имеем: р' < х < р. Отсюда вытекает, что х Е П. Так как р ф М, то х Ф р. Таким образом, любая окрестность У точки р содержит элементы множества М, не совпадающие с точкой р. Согласно определению, это и означает, что р есть предельнэя точка множества М.
Утверждение, касающееся точной нижней границы, доказывается аналогично. Формально, достаточно в рассуждениях, проделанных выше, надлежащим образом изменить знаки неравенств и заменить « — » на «+». Мы предоставляем читателю выполнить эту работу. Теорема доказана. ° Напомним, что символ г1» означает совокупность всех целых чисел к > Й, где Й вЂ” произвольное целое число. Следствие 1. Число со есть предельная точка множества г1». Лействительно, как показано в гл. 1, со = зпр г1». Так как со не является элементом 1Ч», то, в силу теоремы 1.1, отсюда следует, что оо есть предельнэл точка множества г1», что и требовалось доказать.
Следствие 2. Если М С Й есть отрезок (а, Ь), где а < Ь, то совокупность всех предельных точек множества М совпадает с замкнутым отрезком [а, Ь], то есть аозт((а, Ь)) = [а, Ь]. Доказательство. Положим Мо = (а,Ь). Согласно лемме 4.1 главы 1, а = 1пГМо, Ь = эпр Мо. Так как а ф Мо и Ь ф Мо, то, в силу теоремы 1.1, а и Ь суть предельные точки Мо. Очевидно, Мо С М.
Тогда, как следует из леммы 1.2, а и Ь являются предельными точками множества М. 87 З 1. Определение и простейшие свойства предела Пусть а < р < Ь. Применяя доказанное утверждение к интервалам (а, р) и (р, Ь), получаем, что р есть предельны точка каждого из них и, стало быть, согласно лемме 1.2, р является предельной точкой М.
Мы доказали, таким образом, что все точки замкнутого отрезка [а, Ь) являются предельными точками множества М. Покажем, что других предельных точек множество М не имеет. Пусть р ф [а, Ь]. Тогда либо р < а, либо р > Ь. Рассмотрим случай р < а. Коли р = — оо, то пусть П = [ — оо, а), а если р — конечно, то пусть (7 = (р — е,р+ е), где е = а — р. Множество У есть окрестность точки р и в обоих случаях а является правым концом промежутка У. Отсюда видно, что П не содержит точек множества М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
