1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Политик комплкксного числа. Опгклклкник и основнык свойствА 6.1.1. Пусть м~ — прямое произведение множества й на себя, то есть совокупность всех пар (х, у) вещественных чисел. расширения множества вещественных чисел до такого множества, в котором можно извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Исторически непосредственным поводом для введения комплексных чисел послужила знаменитая формула Кардано для решения кубического уравнения хз + рх + о = О. Это уравнение имеет самое болыиее три вещественных корня. При этом в том случае, когда указанное уравнение имеет ровно три вещественных корня, формула Кардано приводит к выражению, требующему извлечения квадратного корня из отрицательного числа, и никаким преобразованием формулы Кардано избежать этого не удается.
59 З 6. Комплексные числа Определим в К~ операции сложения и умножении для любых элементов я = (и, у), ю = (и, и) Е 1к, полагая я+ю = (и+и,у+и), к ю =(ху — ии,то+ну). Множество К~ с введенными операциями называется множеством компленсныт чисел и обозначается символом С. Элементы множества С называются комплексными числами. 6.1.2. Все свойства алгебраических операций на множестве К сохраняются и для алгебраических операций на множестве С, однако теперь они не носят характера аксиом, а вытекают из определений. Пе ечислим с в о й с т в а опе ий сложения и множения комплекс- ных чисел. А.1.
Для любых к = (т, у), ю = (и, и) и 1 = (г, в) из С (к + ю) + г = я + (ю + г). А.2. Сществует число 0 Е С такое, что для всякого к Е С к+0=0+я=ю А.З. Лля всякого я Е С существует число — к Е С такое, что г+( — к) =О. Число — к, удовлетворяющее условиям предложения А.З, называется противоположным числу и А.4. Для любых г и ю из С имеем: М.1. Для любых я = (т, у), ю = (и, и) и 1 = (т, в) из С имеет место равенство (к ю) ~=к.(ю ~). М.2. Существует число 1 Е С такое, что для~всякого к Е С 60 Гл. 1. Введение в математический анализ 1 М.З.
Для любого г ф 0 из С существует число — такое, что 1 Число — называется числом, обраознььн к г. М.4. Для любых г и ю из С справедливо равенство АМ (свойство дистрибутивности). Для любых трех чисел г, ю и Ф нз С выполняется равенство: г (ю + Ф) = х ю + х . г. Если х б С, ю Е С, то число г + ( — ю) называется разностью насев в и ю и обозначается символом г — ю. 1 Если ю ф О, то число г — называется часпзнььн з и ю и обозначается ю г символом —.
ю Произведение произвольных комплексных чисел з и ю в дальнейшем обозначается просто гю. окажем пе ечисленные свойства. Справедливость свойств А.1, А.З, А.4 и М.4 вытекает сразу из определений. Для обоснования свойства А.2 легко проверить, что число 0 = (О, 0) удовлетворяет требуемым равенствам. При проверке свойства М.2 достаточно взять 1 = (1, 0). П ов ем несложные вычисления я п ове ки остальных свойств. М.1. Пусть г = (х, у); ю = (и, и); 1 = (т, з). Тогда гю = (хи — уе,хо+ уи), юФ = (ит — ив,из+от), (гю)г = (хит — ует — хев — уиз, хив — уев + хит + уит); в(ю$) = (хит — хив — уив — уст,хиз+ хит+ уит — уев). Сравнивая полученные выражения для (гю)г и г(юг), получаем: (гю)г = х(юг).
М.З. Пусть х = (х, у); х ф 0 = (О, 0). Тогда хг + уг ф О. Положим х у г+уг' .г+уг 61 З б. Комплексные числа Тогда хг+уг ' .г+уг 1 и, следовательно, в качестве искомого числа — можно взять ю. АМ. Пусть г = (х, у), ю = (и, п) и г = (г, з). Тогда по определению ю+1 = (и+ т,п+ з) и, значит, г(ю+ $) = (х(и+с) — у(с+ з),х(е+з) +у(и+с)) = = (хи — уп, хе+ уи) + (хг — уз,хз+ ут) = гю+ гФ, что и требовалось доказать. Ф Предложение 6.1. Число 1, удовлетворяющее условию М.2, единственно.
Число О, удовлетворяющее условию А.2, единственно. Доказательство. действительно, пусть числа 1' и 1" таковы, что 1'г = г, г1" = г для любого г Е С. Полагая в первом равенстве г = 1", получим: 1' 1" = 1". Полагая во втором равенстве г = 1', будем иметь: 1' 1" = 1'. Отсюда 1' = 1", что и требовалось доказать.
Аналогично устанавливается единственность числа О, удовлетворяющего условию А.2. Предложение доказано. Ф ф Предложение 6.2. Для всякого г ~ 0 число ю такое, что гю = юг = 1, единственно. Лля всякого г Е С число ю Е С такое, что ю + г = г + ю = О, единственно. Доказательство. Предположим, что числа юг и юг таковы, что гюг = 1, югг = 1. Тогда юг = юг1 = юг(гюг) = (юга)юг = 1юг = юг, что и требовалось доказать.
Аналогично устанавливается единственность числа ю такого, что ю+г=г+ю=О. Предложение доказано. ф 6.1.3. Определим отображение .7: 2 — С,полагая для х Е К ,7(х) = (х,О). Непосредственно проверяется, что для любых х и у из К выполняются равенства: ,7(х+ у) = 7(х) +,7(у);,7(х у) = 7(х) 3(у),7(О) = О; 7(1) = 1. 62 Гл. 1. Введение в математический анализ Отображение о взаимно однозначно. Будем называть его каноническим вложением множества й в С. Вещественное число х будем отождествлять с комплексным числом ,У(х). Иными словами, условимся считать, что комплексное число (х, 0) и вещественное число х представляют собой один и тот же объект.
В дальнейшем число 1 будем обозначать символом 1. Комплексное число (О, 1) обозначается символом 1. Непосредственно проверяется, что имеет место равенство: 1 =( — 1,0)= — 1. Таким образом, уравнение х~ = — 1, которое не имеет решений в В, оказывается разрешимым в множестве комплексных чисел С. 6.1.4. Пусть е = (х, у).
Имеем: (х, 0) + (О, 1) (у, 0) = (х, у) . Комплексные числа (х,О) и (у, 0) отождествляются с вещественными числами х и у, соответственно, что позволяет записать число з = (х, у) следующим образом: з = х + (О, 1)у = х + 1у. Это есть основная форма представленея комплексноео числа, которую мы будем использовать в дальнейшем. 6.2.
ВЕ ЕСТВЕННАЯ И МНИМАЯ ЧАСТИ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. МОЛУЛЬ. СОПРЯЖЕННОЕ ЧИСЛО 6.2.1. Пусть г = х+ гу — комплексное число. Число х называется вещественной частью числа е и обозначается символом Ве е. Число у называется мнимой частью числа е и обозначается 1ше. При записи .комплексных чисел вида х = х + гу арифметические действия над ними можно выполнять как над обычными двучленами, принимая во внимание, что 1 = — 1. 2 Пусть е = х + гу. Число х — гу называется сопряженным к е и обозначается Е.
л * = * «- ь ~Е = «/ ' тю'. Величина ~я~ называется модулем комплексноео числа ю Очевидно, что ф ) 0 для всякого е Е С и ~е( = 0 в том и только в том случае, когда з = О. 63 г 6. Комплексные числа 6.2.2. Отметим некоторые свойства модуля комплексного числа и опе- рации перехода к сопряженному числу. (Т) = 2.
(6.1) (6.2) (6.3) (6.4) Действительно, для 2 Е С имеем: ъ~ '+Р'г ~~У= Ь~. (3) Лля любых двух комплексных чисел 21 и гг справедливы соотНОтЕНИЯ1 (1) Лля всякого 2 Е С имеет место равенство: (2) Лля любых 21, 22 Е С справедливы равенства: 21+22 = 31+22 я12г = 3132. (3) Для всякого 2 Е С !2 Действительно, для 2 = х + гу имеем: кй = (х + зу)(х — гу) = х — (гу) = х + у . (4) Для всякого г Е С имеют место неравенства: ! ВЕ2! < !2!, ! 1гп2! < !2!. !212г! = !21! !22!; !21+"!<! !+!"!.
(6.5) (6.6) 64 Гл. К Введение в математический анализ В самом деле, в силу (6.3), |едег! = (едгг)(едгг) = гдгггдгг = гдгдгггг = !гд! !гг!, откуда, очевидно, следует равенство (6.5). Применяя равенство (6.3), получим: !гд + ег! = (гд + ег)(Ь~ + гг1 = (гд + гг)(йд + йг) Отсюда !яд+ ег! = гдйд+гдйг+йдгг+ггйг = !гд! +едйг+йдгг+ !гг! . г г г Заметим, что гдйг = йд(ег) = йдег, так что гдйг+ йдгг = 2йе(едйг) Е В Применяя первое из неравенств (6.4), получаем: гдйг+ йдег = 2Неедйг < 2!гд!!гг!, откуда !ед + гг! < !ед! + 2!гд!!гг! + !ег! = (!гд! + !гг!) . Неравенство (6.6) доказано.
Из неравенства (6.6) так же, как и в случае вещественных чисел, выводится, что для любых г, до 6 Г имеют место неравенства: !!г! — !о1~ < ! — о! (6 7) 6.3. ГеОметРическОе пРелставление кОмплексных чисел На плоскости зададим декартову ортогональную систему координат. Пусть Π— начало системы координат. Комплексному числу г = х + ду сопоставим вектор на плоскости, началом которого служит точка О, а конном — точка А с координатами (х,у) (см.
рис. 7). Вектор ОЯ назовем изображением комплексного числа г = х+ ду. Пусть даны комплексные числа г = х + ду и до = и + де, и пусть О 4 и Оед — их изображения. 65 З 6. Комплексные числа Тогда изображением суммы к + ге будет служить вектор ОО = ОА+ ОВ, где сложение векторов определяется известным правилом параллелограмма (см. рис. 8). Рис. 7 Модуль комплексного числа к = х+ гд равен длине вектора ОА, который изображает к. Неравенства (6.6) и (6.7), в силу этого, допускают простое геометрическое истолкование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
