1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Точные границы числового множества. Аксиома непрерывности. Натуральные, целые и рациональные числа Понятия точной верхней и точной нижней границ произвольного множества вещественных чисел играют существенную роль в математическом анализе. В этом параграфе приводятся определения этих понятий и устанавливаются некоторые основные их свойства. Число о называется верхней границей числового множества А, если А расположено слева от р, то есть р > х, каково бы ни было х Е А. Наименьшая из верхних границ есть точная верхняя граница множества А. Аналогично определяется, чтб есть точная нижняя грашща множества.

Утверждение, что среди верхних границ произвольного числового множества есть наименьшая, однако, не вытекает из тех свойств множества вещественных чисел, которые нам уже известны. Оно должно быть З 4. Точные границы числового множества принято в качестве ыовой аксиомы множества К. Здесь приводится точная формулировка этой аксиомы и тем самым завершается построение эксиоматики множества К. Свойство мыожества К, выражаемое приводимой ниже аксиомой, наглядно представляет собой отсутствие «пробелов» в К. Можно схазать, что совокупность всех вещественных чисел представляет собой некоторую «ыепрерывыую протяжеыыостьж Кроме того, приводятся определения множества натуральных, мыожества целых и множества рациональных чисел, опирающиеся ыа аксиоматику множества вещественных чисел.

4.1. ПОНЯТИЯ ТОЧНОЙ ВЕРХНЕЙ И ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ ГРАНИ Ы ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА. АКСИОМА НЕПРЕРЫВНОСТИ 4.1.1. Рассмотрим произвольное множество А С Й. Число 1 Е Й называется верхней (нижней) границей или мажорантой (соответственно, минорантой) множества А, если для любого х Е А выполняется неравенство х < 1 (соответственно, х > 1). Всякое множество А с Й имеет хотя бы одну верхнюю (нижнюю) границу, например, число оо ( — оо) является верхней (нижней) границей любого непустого множества А С Й.

Множество А С Й называется ограниченным сверху (снизу), если оно имеет хотя бы одну верхнюю границу, отличную от оо ( — оо). Множество А С Й называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу в множестве К, то есть если существуют такие конечные числа р и в, что для любого х Е А выполняются неравенства р < х < д. Совокупыость всех верхних (нижних) границ множества А С Й будем обозначать символом Г+(А) (соответственно, Г (А)). Множества Г+(А) и Г (А) непусты, так как — оо Е Г (А), оо Е Г+(А).

Оказывается целесообразным считать, что всякое число р Е Й является верхней и одновременно нижней границей пустого множества. Пусть дано множество А с Й. Число а называется наибольшим (наименьшим) элементом множества А, если а принадлежит А, и является верхней границей множества А, то есть если а Е А и для всех х е А выполняется неравенство х < а (соответственно, х > а). Наибольший (ыаименьший) элемент множества А, если он существует, обозначается символом п1ахА (соответственыо, шшА) (п1ах и ппп от латинских слов шах1шпш — «наибольший» и ппшпппп — «наименьший») .

Число — оо является наимеыьшим элементом, а число со — наибольшим элементом множества Й. Гл. 1. Введение в математический анализ для замкнутого промежутка [а, в) в Й левый конец а является его наименьшим, а правый конец б — наибольшим элементом. Множество А С Й, вообще говоря, может и не иметь наименьшего или наибольшего элемента. Например, интервал А = (О, 1) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Действительно, возьмем произвольно точку а Е (0,1) и положим: а а+1 х= —, р= 2 2 Очевидно, что 0 < х < а < у < 1. Тем самым а не может быть ни наименьшим, ни наибольшим элементом промежутка (О, 1), так что, ввиду произвольности а Е (О, 1), у множества А = (О, 1) нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента.

Ясно, что множество К не имеет ни наименьшею, ни наибольшего элемента (имеется в виду в самом множестве К). 4.1.2. Пусть дано непустое множество А с Й. Наименьшая из его верхних границ называется точной верхней границей множестава А и обозначается символом впрА (впр — сокращение латинского слова зиргешпш, то есть — «наивысшийэ).

Наибольшая из нижних границ множества А называется тиочнов нижней границей множесгава А и обозначается символом ш1А (ш1 — сокращение латинского слова шбшшп, то есть «нижайшийэ). Иначе говоря, д = впрА, если в есть наименьший элемент множества Г+(А) верхних границ множества А, то есть если выполнены следующие условия: 1) д>хдлялюбогохЕА; 2) если в' есть верхняя граница А, то есть в' > х для любого х Е А, то в < д'. Аналогично р = пК А, если р есть наибольший элемент множества Г (А) нижних границ множества А, то есть если выполнены следующие условия: 1) р<хдлялюбогохЕА; 2) если р' есть нижняя граница А, то есть р' < х для любого х е А, то р > р'.

Ф Предложение 4.1. Если множество А С Й имеет наибольший элемент, то этот элемент и является точной верхней границей множества А. Если множество А имеет наименьший элемент, то он является точной нижней границей множества А. 35 З 4. Точные границы числового множества Пусть а = п1вхА. Тогда для любого х Е А выполняется неравенство х < а. Это означает, что а есть верхняя граница множества А. Пусть теперь а' — произвольная другая верхняя граница мыожества А. Тогда для всех х Е А выполняется неравенство х < д', в частности, и а < д', так как а Е А.

Таким образом, а — наименьший элемеыт множества Г+(А), то есть а = зцр А. Часть утверждения, касающаяся точной нижней границы, доказывается аналогично. Предложение доказано. Ф Если мыожество А С Й пусто,то всякое число х е Й является его верхней и одновременно его нижней границей. Наименьший элемент множества Й есть — оо, наибольший есть +ос. Таким образом, в данном случае ыаибольшая из нижних границ множества А равна +со, а наименьшая из его верхних границ равна — оо, то есть 1пГ Я = +со, зцр к1 = — оо.

4.1.3. Завершим перечисление аксиом, характеризующих множество вещественных чисел, а имеыыо, сформулируем аксиому непрерывности множества вещественных чисел. АКСИОМА С. Всякое множество А с Й имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы. Аксиома С утверждает, таким образом, что для всякого множества А с Й множество Г+(А) его верхних границ имеет наименьший элемент, а множество Г (А) всех его нижних граыиц имеет наибольший элемеыт. Аксиома С ые может быть получена как следствие сформулированыых равее свойств вешествеыыых чисел. 4.2.

ПГИВНАки точной Внгхнкй и точной нижнкй ГГАнин ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА 4.2.1. Установим удобный в использовании критерий того, что данное число является точыой верхней (ыижыей) границей числового мыожества. ° Теорема 4.1. Пусть дано ыепустое множество А С Й. Для того чтобы д Е Й было точной верхней границей А, ыеобходимо и достаточыо, чтобы выполнялись условияс (а) д — верхняя граница множества А; (Ь) для любого д' < д существует х Е А такой, что д' < х < д. Для того чтобы р было точной нижней граыицей А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: Гл.

1. Введение в математический анализ (а') р — нижняя граница множества А; (Ь') для любого р' > р существует х Е А такой, что р' > х > р. Доказательство. Мы ограничимся тем, что докажем утверждение, касающееся точной верхней границы. Н е об ход им о от ь. Пусть д = яирА. Тогда а есть верхняя граница А, так что условие (а) соблюдено. Покажем, что а удовлетворяет условию (Ь). Возьмем а' < а. Поскольку число а является наименьшей из верхних границ множества А, то а' не является верхней границей А.

Следовательно, неравенство х < а' не может выполняться для всех х е А, то есть найдется х Е А, для которого это неравенство не выполняется и, значит, для этого х будет а < х. Очевидно, х < а,поскольку а есть верхняя граница множества А, и условие (Ь) тем самым выполняется. Необходимость доказана. Л о с т а т о ч н о с т ь.

Пусть д удовлетворяет условиям (а), (Ь). Согласно условию (а), элемент д есть верхняя граница множества А. Требуется доказать, что д — наименьшая из верхних границ. Согласно условию (Ь), любое число д' < д не является верхней границей А. Поэтому если а' есть верхняя граница А, то а' > д, так что а — наименьшая из верхних границ множества А. Утверждение, касающееся точной нижней границы, доказывается аналогично.

Теорема доказана. ° Наглядно смысл полученного результата таков: число д есть точная верхняя граница множества А в том и только в том случае, если, во-первых, д есть верхняя граница множества А и, во-вторых, сместившись влево от точки а, мы обязательно перескочим через какую-то точку множества А (см. рис. 4). Аналогично, р есть точны нижняя граница А, если р есть нижняя граница А и, сместившись вправо от р, мы обязательно увидим, что слева оказалась какая-то точка множества А. 4.2.2.

В качестве примера применения теоремы 4.1 докажем следующее утверждение. 37 З 4. Точные границы числового множества ° Лемма 4.1. Пусть А = (а, Ь), а < Ь, есть промежуток расширенной числовой прямой. Тогда а = ш1'А, Ь = яир А. Доказательство. Очевидно, что х < Ь для всякого х е (а,Ь), так что Ь есть верхняя граница множества А.

Характеристики

Список файлов книги