1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Точки перегиба функции. 8.5. Критерий выдуклости функции в общем случае............ 3 9. Исследование функции методами дифференциального 9.1. Построение графика функции 9.2. Исследование алгебраических уравнений второй и третьей степени 9.3. Исследование параметризованных кривых .............. Задачи. 377 379 379 384 389 394 398 Задача поеполававил математического анализа есть олва из трулвойших задач науки и педагогики. Все абстолтельства лвллютсз осложвлюшими эту залачу; и самый рост науки с ее вепрерыввым обогашевием новыми фактами и свлзаввое с этим холеблюшеесл повешение, хазалось бы, прочно устаиовлеввых зачал, и, ваховед, йзмевлююийсл уповевь знаний и лотребвостей тех кругов, х хоторым обрашеио слово педагога.
Н. Н. ЛУЗИН Ош авшора (к первой части книги) Предлагаемый вниманию читателя учебник «Курс математическою анализы (часть 1-я в двух книгах и часть 2-я) является итогом работы, выполнявшейся мною на протяжении более тридцати лет на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета (НГУ). Содержание книги — основы дифференциального и интегрального исчислений в вещественной области и смежные вопросы. Дифференциальное и интегральное исчисления составляют основу математического образования. В широком смысле «математнческий анализ» означает часть современной математики, включающую в себя такие ее разделы, как теория функций комплексной переменной, теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, теория функций вещественной переменной, функциональный анализ, теория вероятностей и др. Эти направления теоретической математики интенсивно развиваются в наши дни.
Цель книги — изложение тех начальных сведений из математического анализа, которые необходимы для того, чтобы овладеть достижениями перечисленных направлений математики и успешно работать в них. Дифференциальное и интегральное исчисления имеют большое значение также и с точки зрения приложений математики. Решение многих задач естествознания, в частности, механики, физики, химии и других наук, основано на методе математического моделирования различных явлений и процессов. При этом применяются в основном математические модели, использующие понятия дифференциального и интегрального исчислений.
Эти дисциплины представляют собой язык, на котором формулируется большинство законов физики и механики. Не случайно один из основателей математического анализа Исаак Ньютон является также основоположником современной физики. В эпиграфе приводятся слова выдающегося российского математика, академика Н. Н. Лузина. Когда в 1963 г. в Новосибирском университете мне было предложено взяться за чтение лекдий по математическому анализу, я в полной мере ощутил те трудности, о которых говорил Н. Н. Лузин. К этому времени в нашей стране уже было издано большое число прекрасных учебников по этому предмету, и задача лектора, казалось бы, сводилась к простому озвучиванию уже имеющихся руководств.
Представлялось, что содержание курса математического анализа однозначно определено тем положением, которое дифференциальное и интегральное исчисления занимают в системе математического образования. Исключить или, наоборот, включить что-либо в этот курс, было непросто. Работал над курсом, я не имел каких-либо априорных установок относительно того, каким должен быть курс математического анализа, кроме одной: каждая отдельнзя тема должна наиболее адекватно отражать «сегодняшнее состояние науки». За прошедшее время способ изложения отдельных тем курса неоднократно пересматривался. Предлагаемая вниманию читателя книга в двух частях есть результат этой работы.
«Успехи математических ваувэ, 1989, т. 44, вып. 2(288), с. 3. От автора Усилия, затраченные мною на работу над курсом математического анализа, в свое время были поддержаны моими старшими коллегами, из которых я, в первую очередь, должен назвать тогдашнего заведующего кафедрой математического анализа, члена-корреспондента АН СССР Алексея Андреевича Ляпунова и первого ректора Новосибирского университета, академика Илью Несторовича Векуа.
Я вспоминаю о них с чувством глубокой благодарности. Ранее учебные пособия по отдельным темам читаемого мною курса математического анализа неоднократно издавались в Новосибирском государственном университете. Выпуск книги, содержащей по возможности полное изложение курса, планировался мною давно. Однако найти время для реализации этой идеи мне удалось лишь сейчас. Автор ясно понимает, сколь несовершенны результаты его труда, и критически настроенный читатель несомненно сможет указать примеры, подтверждающие это.
Тем не менее я надеюсь, что книга станет полезным пособием для всех, кто собирается учиться сам или намерен учить других математическому анализу. Буду благодарен читателям за любые замечания и критику. Различные аспекты курса математического анализа я неоднократно обсуждал с коллегами по кафедре математического анализа. Обмен мнениями имел для меня существенное значение. В связи с этим мне хотелось бы поблагодарить сотрудников кафедры математического анализа Новосибирского государственного университета, с которыми я работал многие годы, а также коллектив преподавателей кафедры, ведущих практические занятия.
Их суждение всегда было для меня очень важным при выборе способа и порядка изложения отдельных тем. Безусловно, я также благодарен бывшим студентам — слушателям моего курса — за бесконечное терпение и благожелательное отношение к моим усилиям. Я благодарю коллег — сотрудников Института математики им. С.
Л. Соболева СО РАН вЂ” за конструктивное обсуждение проблем преподавания математического анализа. Я благодарю сотрудников издательства Института математики СО РАН и, прежде всего, Кутателадзе Семена Самсоновича, вложивших много редакторского труда в подготовку учебника, Лятлова Владимира Николаевича, переработавшего первую главу книги и сделавшего ряд полезных замечаний, а также благодарю других сотрудников издательства, работавших над подготовкой книги к изданию. Выражаю большую благодарность ответственным редакторам книги — Шведову Игорю Александровичу, Ионину Владимиру Кузьмичу, прочитавшим первые восемь глав книги и сделавшим много очень ценных замечаний, а также Волокитину Евгению Павловичу, выполнившему необходимые рисунки к книге с помощью компьютерной программы.
Профессору Игорю Александровичу Шведову — моему коллеге по кафедре математического анализа НГУ и по Институту математики СО РАН вЂ” я особенно признателен за обсуждение взглядов на преподавание курса математического анализа, за обстоятельные дискуссии на протяжении более двух десятков лет по различным вопросам математического анализа как принципиального, так и технического характера. Особо благодарю дирекцию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН за практическую помощь в подготовке рукописи «Курса математического анализа» и руководство Новосибирского государственного университета и механико-математического факультета НГУ, где я работаю много лет. С глубокой благодарностью, кроме упомянутых мною выше, я вспоминаю академиков А.
И. Мальцева, С. Л. Соболева и Л. В. Канторовича, которые, — в те годы, когда я начал преподавать, — ознакомились и в целом одобрили мой проект курса математического анализа на механико-математическом факультете НГУ. Я благодарю Екатерину Григорьевну Решетняк за ее неоценимую помощь при подготовке рукописи этой книги. Издание книги финансировалось Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 99-01-14013.
Ю. Г. Решетпняк ПРЕЛИСЛОВИЕ Учебник — «Курс математическою анзлизаз состоит из двух частей, которые содержат 15 глав. Первая часть «Курса математического анализа», состоящая из двух книг, содержит материал, который обычно рассказывается студентам — математикам на первом году обучения на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. В первых главах автор стремился изложить материал в форме, по возможности, доступной для начинающих, уделяя особое внимание мотивировке проводимых рассуждений. Почему принято такое определение того или иного понятия, а не другое, какие трудности возникают, если отойти от принятого автором пути, а также какие трудности могут возникнуть, если пойти по этому пути дальше? Какова роль тех или иных условий в формулировках основных теорем? В какой мере здесь можно найти ответы на эти вопросы, — судить читателю. В книгу включен также и разнообразный материал сверх того, что должно рассматриваться как некоторый «обязательный минимум» для курса математического анализа.
По большей части, калсдая отдельная тема из этого дополнительного материала хотя бы один раз рассказывалась автором на лекциях. В книгу 1 части первой «Курса математического анализа» включены первые четыре главы. В главе 1 — «Введение в математический анализ» вЂ” приводятся начальные сведения о теории множеств и о вещественных числах, используемые при изучении свойств понятий предела и непрерывной функции. Начала теории множеств, в том виде, как они изложены в книге, в настоящее время называют «наивной теорией множеств».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
