1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.6. ГРАФИК ФУНК ИИ Пусть А и  — произвольные множества. Рассмотрим их прямое произведение А х В. Предположим, что задано отображение г": А — В. Множество всех пар (х, ~(х)) Е А х В, где х Е Р(~), называется графином отображения У и обозначается символом Г(~).
Иначе говоря, график отображения à — это множество упорядоченных пар (х, у) Е А х В таких, что у = У(х), х Е РЯ (см. рис. 3). Гл. 1. Введение в математический анализ а Предложение 2.1. Множество Г С А х В является графиком некоторого отображения ~: А — ~ В в том и только в том случае, если для любого х Е А существует у Е В такой, что (х, у) Е Г и из (х, у1) Е Г, (х, уз) Е Г вытекает равенство р1 = рз. Доказательство.
Действительно, если множество à — это график некоторого отображения у: А — В, то оно, очевидно, удовлетворяет данному условию. Обратно, предположим, что для множества Г С А х В указанное условие выполняется. Возьмем х е А. Согласно условию, найдется у Е В, для которого (х, у) Е Г, причем такое у единственно. Сопоставим каждому х Е А элемент у Е В такой, что (х, у) Е Г.
В результате получаем некоторое отображение множества А в множество В, графиком которого, очевидно, является данное множество Г. Предложение доказано. Ф ~3. Вещественные числа и числовые множества Числовые множества играют важнейшую роль в математике. Есть несколько путей я определению таких множеств. В этом параграфе мы остановимся на аксиоматичесхом подходе, при котором множество вещественных чисел определяется как множество, на котором определены злгебраичесхие операции и отношение порядка, обладающие свойствами, содержицимися в перечисляемых ниже аксиомах.
Множество вещественных чисел будем обозначать символом К. З 3. Вещественные числа и числовые множества 3.1. АЛГЕВРАИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА ВЕ ЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Будем считать, что на К определены операции сложения и умножения. Это означает, что заданы некоторые отображения в: К х К вЂ” К и р: К х К вЂ” К, обладающие приводимыми ниже свойствами А.1 — А.4, М.1 — М.4, АМ. При этом для пары х, у число в(х, у) обозначается символом х+ у и называется суммой чисел х и у, а р(х, у) — символом х у или просто ху и называется их произведением. 0 свойствах операций в и р будем говорить как об аксиомах алгебраической структуры множества К или аксиомах действий над ветаеств енными числами. А.1 (ассоциативность сложения).
Для любых х,у,г Е К имеет место равенство ( +у)+ =х+(у+ ). А.2 (существование нуля). Существует число 0 Е К такое, что для всякого х Е К х+0=0+х=х. А.З (существование противоположного числа). Для всякого х Е К существует число — х Е К такое, что х+( — х) =О. Число — х называется числом, противоположным х. А.4 (коммутативность сложении). Для любых х, у Е К х+у=у+х.
М.1 (ассоциативность умножения). Для любых х, у, г Е К имеет место равенство (х у) г=х (у г). М.2 (существование единицы). Существует число 1 Е К такое, что для всякого х Е К 1 х=х 1=х. М.З (сутцествование обратного числа). Для любого х ф 0 из 1 К существует число — такое,что х 1 1 х — = — х = 1. х х 28 Гл. 1. Введение в математический анализ 1 Число — называется числом, обратным к х. М.4 (коммутативиость умножения). Для любых х, у Е К АМ (дистрибутивность). Для любых х,у,г б К выполняется равенство х (у+с) =х.у+х ю Если х Е К, у б К, то число х+( — у) называется разностью чисел х 1 и у и обозначается символом х — у. Если у ф О, то число х — обозначается у х через — и называется частным х и у.
у Перечисленные а к с и о м ы достаточны для того, чтобы вывести из вих все известные тождества элементарной алгебры. 3.2. ПОРЯДКОВАЯ СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА К 3.2.1. На множестве К определено отношение, обозначаемое символом < и называемое отношением порядка. Это означает, что для каждой пары вещественных чисел х, у указано, верно ли для нее высказывание х < у или нет, и если оно верно, то будем говорить, что х не больше у, или что х не превосходит у, или, наконеп, что х предшествует у. В случае, если х < у, будем также писать у > х и говорить, что у не меньше х, или у больше или равно х, или у следует за х. Таким образом, высказывания х < у и у > х означают одно и то же условие.
С в о й с т в а отношения по ка в К описываются еле ю ми аксиомами по я ка. О1. Для всякого х Е К справедливо отношение х < х. О2. Если х, у, е Е К таковы, что х < у и у < е, то х < ю ОЗ, Еслих<уиу<х,тох=у. О4. Для любых х, у Е К всегда либо х < у, либо у < х. ОА. Если х < у, то для любого г Е К имеет место неравенство х+х < у+и ОМ. Еслих<уиб<г,тохх<ую Пусть х,у Е К. Если х < у и х ~ у, то будем писать х < у или у > х и говорить, что х меньше у или что у больше х. 29 З 3. Вещественные числа и числовые множества Формулы, содержащие знаки <, >, < и >, называются неравенствами.
Неравенства, содержащие знаки < и >, называются строгими, неравенства со знаками < и > — нестрогими. 3.2.2. Из аксиом по я ка легко вывести п остейшие с в о й с т в а отношения по ка нап име сл ю е. (1) Для любых двух элементов х, у Е ж выполняется одно и только одно нз следующих трех соотношений: х<у; х=у; у<х. (2) Пусть х, у, г Е И таковы, что либо х < у и у < х, либо х < у и у < г. Тогда х < г. В частности, если х < у н у < г, то х < г.
(3) Если х < у, то х + г < у+ г для всякого г Е 2. (4) Если х < у, то хг < уг для всякого г такого, что О < г. (5) Для любого х Е К имеет место неравенство х > О. 3.3. РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ. ПРОМЕЖУТКИ ОТРЕЗКИ 3.3.1. В некоторых ситуациях, связанных с отношением порядка в К, удобно использовать множество вещественных чисел, дополненное двумя так называемыми бесконечными элементами. А именно, добавив к множеству К два элемента — со и +ос («минус бесконечность» и «плюс бесконечность») такие, что — оо < х < оо для любого х Е К, мы получаем расширенное множество вещественных чисел (или расширенную числовую прямую), обозначаемое символом Й. Считаем также, что -оо < оо. Согласно определению, Й = К 0 1 — оо, +со). Вместо символа +сю далее мы будем писать просто оо.
Элементы множества Й также будем называть числами. При этом число х Е Й будем называть конечным если х Е И. Числа — оо и оо будем называть бесконечными элементами множества Й. Определение бесконечных злемедтов по существу содержит распространение отношения порядка в Ж на множество Й. Нетрудно проверить, что при этом выполняются утверждения аксиом 01 — 04. Соотношения х < у и х > у для элементов из Й определяются так же, как и для элементов из Ж.
зо Гл. 1. Введение в математический анализ 3.3.2. Пусть даны произвольные числа а Е Й и Ь Е Й такие, что а < Ь. Множество, обозначаемое символом (а, Ь) и совпадающее с одним из множеств (а, Ь) = (х Е Й ] а < х < Ь), [а, Ь] = (х Е Й ] а < х < Ь), [а, Ь) = (х Е К [ а < х < Ь), (а, Ь] = (х с Й [ а < х < Ь), называется промежутком с концами а, Ь (расширенной) числовой прямой. При етом множество (а, Ь) называют открытым промежутком или интервалом, а множество [а, Ь] — замкнутым промежутком или сеементом с концами а, Ь. Промежутки [а,Ь) и (а,Ь] называют полуоткрытыми. Промежуток (а, Ь) будем называть оераниченным, если его концы суть конечные числа, то есть — оо < а < Ь < со. Ясно, что [а,Ь] = = (а,Ь) 0 (а) 0 (Ь), [а,Ь) = (а,Ь) 0 (а), (а,Ь] = = (а,Ь) 0 (Ь). Отметим, что (-сс, а], где а < со, есть множество всех чисел х Е К таких, что х < а, а ( — оо, а) есть множество всех х Е ф, для которых х < а.
Аналогично [а, оо) = (х Е К [ х > а), (а,оо) = (х Е К ~ х > а), где а е И. Наконец, ( — со, оо) = зс, [ — со, оо] = Й. 3.4. АВсолютнАЯ ВеличинА. ПоложительнАЯ и ОтРи АтельнАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА Абсолютной величиной или модулем числа х Е Й называется число [х[, равное х при х > О и — х при х < О.
е свойства мо ля. 3.4.1. Легко оказываются сл 1. Для любых х и у из К [ху[ = [х[ [у[. В частности, для всякого х Е К [ — х[ = [ — 1[. [х] = [х[. 2. Пусть а Е Й, а > О. Тогда а) неравенство ]х[ < а равносильно системе неравенств — а < х < а; б) неравенство ]х] < а равносильно системе неравенств -а < х < а. З 3. Вещественные числа и числовые множества 3. Для любых чисел х, у Е К !х + у! < !х1 + 1у1. Действительно, -1х! « * 1х! -Ь1 < у < 1у1.
Складывая эти неравенства почленно, получим -(1х1+1у1) < '+у< 1х1+Ь1, откуда, в силу свойства 2, следует,что 1х + у! < 1х! + !у!. 4. Для любых х, у Е К 11х! — Ь11< 1: - у1. Действительно, имеем х = (х — у) + у; у = (у — х) + х. Отсюда, в силу свойства 3, 1х! < !х — у1 + !у1; !у! < !у — х! + 1х!. Из первого неравенства получаем 1х1 — !у! < 1х — у1, а из второго— 1х! — Ь1 > — 1х — у1.
Отсюда, в силу свойства 2, вытекает, что 1!х1 — !у1! < !х — у1. 3.4.2. Пусть х Е Й. Положительной частью числа х называется число х+, равное х, если х > О, и О, если х < О. Отпрнцательной частпью числа х называется число х, равное О, если х > О, и — х, если х < О. Гл. 1.
Введение в математический анализ а Предложение З.М. Для всякого х е Й справедливы равенства х = х+ — х, ф = х+ + х . (3.1) Если х > О, то х+ = х, х = О, (х( = х, и оба равенства для такого х верны. Пусть х < О. Тогда х+ = О, х = — х, (х~ = — х, откуда ясно, что и в этом случае равенства (3.1) верны. Предложение доказано.
Ф Из соотношений (3.1) для х Е К вытекают следующие равенства: И+ — И†' х 7 х 2 ' 2 для произвольного х е Й полагаем 1, еслих>0; зяпх= О, еслих=О; — 1, если х< 0. Величина зкп х (читается «сигнум хз, з1яппш — знак (лат.)) называется знаком насда х. Для всякого х Е К, очевидно, имеем )х! = хзяпх, х = (х~зйпх. ~4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
