1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это обычно не вызывает недоразумений и нередко достаточно удобно, поскольку здесь явно указывается символ аргумента. Отметим два частных случая общего понятия отображения. Пусть дано множество А. Отображение 1: А — + А такое, что Дх) = х для любого х Е А, называется тождественным отображением множества А и обозначается символом 1ЙА. Отображение 1': А — 1 В называется постоянным, если существует Ь Е В такое, что у(х) = Ь, каково бы ни было х Е А. 2.2. ОБРАЗ и ВРООБРАз. НАкРыВАю ее и ВзАимнО ОНИОзнАчнОе ОТОБРАЖЕНИЯ 2.2.1. Пусть даны множества А и В и отображение У: А — В. Пусть Š— произвольное подмножество А.
Совокупность всех элементов у б В, каждый из которых является значением отображения 1 хотя бы на одном элементе множества Е, называется образом множества Е при отображении 1" и обозначается символом ДЕ]. Символически: ~[Е] = (р Е В [ (3х Е .Е) р = У(х)). Отображение у": А — 1 В называется отображением множества А-. на множество В, если ДА] = В (предлог «на», таким образом, несет' определенную терминологическую нагрузку). Иногда такое отображение называют накрывающим. Рассмотрим отображение у: А — В и произвольное множество М. Совокупность всех элементов х Е А, для которых значения у(х) при отображении 1 принадлежат множеству М, называется прообразом М при отображении у: А — В и обозначается символом 1 1[М]. В том случае, когда множество М состоит из единственного элемента, то есть М = (у), прообраз У ~[(у)] обозначается просто через У ~(у).
Заметим, что множество 1 1[М] может быть пустым. Это, очевидно, имеет место в том и только в том случае, когда 1 [А] О М = к . В данном вьппе определении прообраза множества М при отображении у: А — В не требуется, чтобы М было подмножеством В. Очевидно, что если В Г) М = Я, то 1 1[М] — пустое множество и в общем случае у ' [М] = 1 ' [М П В]. ~2. Функции Символически определения прообразов множества и элемента выглядят так: Х (М) = (х Е А ! Х(х) Е М); 1 ~(у) = (х Е А / ~(х) = д), 2.2.2. Отображение У: А — + В называется взаимно однозначным, если для любых различных элементов хм хг Е А значения Дх1), у(хг) различны.
Иначе говоря, 1': А — ~ В взаимно однозначно, если оно удовлетворяет условию: (Чхг Е А)(Чхг Е А)(х1 ~ хг =~ У(х1) ~ 1(хг)). Ясно, что условие взаимной однозначности 1 можно сформулировать так: отображение 1: А -+ В взаимно однозначно, если для любого у Е В множество 1 (д) состоит не более чем из одного элемента. Отметим сл ю часто использ ем ю те минологию. Накрывающее отображение называют сюръентивным, взаимно однозначное — инъентивным и, наконец, сюръективное и одновременно инъективное отображение — биентивным.
2.3. СУПЕРПОЗИ ИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ 2.3.1. Пусть даны отображения ~: А1 — Вм д: Аг — Вг. Сдперпоэи- циеб или композицией отображений у, д называют отображение Й: х ~-~ д®х)). Суперпозиция отображений 1, д обозначается символом д о у (порядок, в котором записываются символы 1 и д, существен). Область определения суперпозиции д о ~ является совокупностью всех х Е Ам для которых 1(х) е Аг, то есть множество 1 1[Аз] (возможно, пустое).
Отметим что с е пози я есть о ин из основных способов пост ое- ния новых нк ий из же имею хся. 2.3.2. Операция образования суперпозиции обладает одним важным свойством, которое называется ассоциативностью. ° Теорема 2.1 (об ассоциативности суперпозиции). Пусть даны отображения у": А1 — + В1, д: Аг — + Вг, Ь: Аз -+ Вз. Тогда отображения у = а о (д о 1), гР = (а о д) о 1 совпадают, то есть имеют одну и ту же 22 Гл. 1. Введение в математический анализ Доказательство. Положим д о 1 = Ьы Ь о д = 11. Требуется доказать, что Ь о Ь1 = 11 о 1. Возьмем произвольно х Е Аы Тогда Ь1(х) определено в том и только в том случае, если у = 1(х) Е Аз, и ~о(х) будет определено для данного х, лишь если з = Ь1(х) = д(у) = д®х)) принадлежит Аз.
При этом ~о(х) = Ь(я) = Ь(д®х))). (2. 1) Итак, область определения функции у(х) есть совокупность всех х Е А1 таких, что Дх) Е Аз, а д(~(х)) Е Аз, и для каждого такого х значение ~р(х) определяется формулой (2.1). Область определения 11 есть множество всех у Е Аз, для которых д(у) е Аз Лля х е А1 значение у(х) определено, лишь если у = У(х) принадлежит области определения 1ы то есть если з = д(у) Е Аз.
Таким образом, область определения ф есть совокупность всех х Е А1 таких, что у = 1(х) Е Аз, а г = д(у) = д®х)) Е Аз. Мы видим, что области определения функпий р и У~ совпадают. При этом ф(х) = Г1(1(х)) = Ь(д(((х))) (2.2) на каждом х, для которого 4~(х) определено. Из равенств (2.1) и (2.2) следует, что <р(х) = у (х) на каждом х, для которого величины у(х) и ф(х) определены. Теорема доказана. ° 2.4.
ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 2.4.1. Пусть даны произвольные непустые множества А и В и отображения 1: А -+ В, д:  — А. Отображение д называется левым обрашным к г", если для всякого х Е А выполняется равенство д(1(х)) = х, и правым обрагпным к У, если для всех у Е В У(д(у)) = у. Иначе говоря, отображение д является левым обратным к У, если д о ~ = Ыл, и правым обратным к 1, если ~ о д = Ыв, где Ыл и Ыв— тождественные отображения множеств А и В, соответственно. область определения и у(х) = у1(х) для всякого х из их общей области определения.
23 З2. Функции Ясно, что если д — правое обратное к 1, то 1' является левым обратным к д, а если д — левое обратное к 1, то 1 является правым обратным к д. Отображение д:  — А будем называть обратным н отображению У: А — В, если д является одновременно левым и правым обратным к 1, то есть для всякого я Е А и йдЬ)) =д для любого у Е В, или, что то же самое, если д о 1 = Ыя, 1 о д = Ыв. Отображение д, обратное к отображению 1, обозначается 1' 2.4.2. Установим необходимое и достаточное условие существования обратного отображения. Предварительно докажем следующее утверждение.
° Лемма 2.1. Пусть даны отображения ю: Т вЂ” П и Ф: П вЂ” Т. Если ~од = Ыт, то у взаимно однозначно, а 4 есть отображение «на». Доказательство. Возьмем 1~, Фз Е Т, ~г ~ ~з. Пусть и~ — — <р(1г), из = у(Ьз). Тогда в силу условия леммы ф(иг) = ~~, ф(из) = 1з. Отсюда следует, что и~ ~ из, ибо в противном случае мы получили бы, что Фг = 1з, вопреки предположению. Итак, если 1г ф 1з, то ~о(Фг) ~ у(Фз), то есть отображение ~р взаимно однозначно.
Возьмем Ф Е Т. Пусть и = у(г). По условию ф(и) = ф(у($)) = Ф. Таким образом, для любого Ф Е Т существует и Е П такое, что ю(и) = 1, а именно и = р(~) удовлетворяет указанному условию. Это означает, что 4 есть отображение П на Т. Лемма доказана. ° 2.4.3. Докажем теорему об условии существования обратного отобра- жения.
° Теорема 2.2. Пусть дано отображение у": А — + В. Для того чтобы существовало отображение д: В -+ А, обратное к 1', необходимо и достаточно, чтобы отображение 1 было биективным, то есть взаимно однозначным отображением множества А на множество В. В случае, если обратное отображение существует, оно единственно. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что отображение у имеет обратное отображение д. Тогда д о 1' = Ыя. Отсюда, полагая в лемме 2.1 Т = В, П = А, р = 1', ф = д,получим,что 1 взаимно однозначно.
По условию имеем также 1 о д = Ыв. Полагая Гл. 1. Введение в математический анализ в лемме 2.1 Т = А, У = В, 4 = У, Зз = д, заключаем, что 1 есть отображение «на». Необходимость доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что 1 биективно. Возьмем у Е В. Так как 1 — отображение А на В, найдется и Е А такой, что 1(х) = у. Поскольку 1 взаимно однозначно, такой х — единственный.
Тем самым для всякого у Е В существует и притом только один элемент х множества А такой, что У(х) = д. Пусть д — отображение множества А в В, которое элементу у Е В сопоставляет х Е А такой, что 1(х) = у. Докажем, что д есть отображение, обратное к 1. Действительно, пусть у Е В. Положим х = д(д).
Тогда согласно определению д имеем 1(х) = у, то есть |(д(у)) = д для любого у Е В. Это означает, что д — правое обратное к у. Далее, пусть х — произвольный элемент множества А. Положим д = 1(х). Отображение д по определению элементу у сопоставляет элемент х, то есть д(д) = х. Таким образом, дух)) = х для всякого х Е А, то есть д — левое обратное к 1. Итак, д является одновременно левым и правым обратным к 1 и, следовательно, д есть обратное к 1.
Достаточность установлена. Докажем е д и н с т в е н н о с т ь обратного отображения. Предположим, что отображение 1 удовлетворяет всем условиям теоремы, и пусть д1 и дз суть отображения, обратные к 1. Возьмем у Е В. Пусть х1 = д1(у), хг = дз(у). Тогда 1(хг) = д, Дхз) = д. Так как у взаимно однозначно, то хг = хз. Значит, дз(у) = дз(у) для любого у Е В и, следовательно, отображения дз и дз совпадают. Теорема доказана.
° Пусть д = у ~. Согласно определению, это означает, что отображение д является левым и одновременно правым обратным к 1. Отсюда следует, что у является одновременно правым обратным и левым обратным кд, то есть у — отображение, обратное кд, 1 = д ~. Мы получаем, таким образом, что 1 = (1 ') Поскольку, согласно теореме, необходимым и достаточным условием существования обратного отображения является биективность исходного, то тем самым обратное отображение, как и исходное, биективно.
Отметим, что мы используем один и то же символ как для обозначения прообраза множества, так и для обозначения обратного отображения. Ясно, что при рассмотрении прообраза, в отличие от обратного з2. Функции отображения, не требуется взаимной однозначности данного отображения. Как правило, использование символа ~ 1 в указанных ситуациях не приводит к недоразумениям. 2.5. СУжение и НРОЛОлжение ФУнк ии Понятие функции или отображения представляет собой совокупность трех объектов: области определения, множества, в котором оно принимает значения, и правила соответствия.
Если хотя бы один из указанных трех объектов меняется, то мы получаем другое отображение. Это находит свое отражение, например, в том, что свойства отображения быть взаимно однозначными или быть отображением «на» при таких изменениях, вообще говоря, не сохраняются. Полезно отразить в соответствующих определениях и обозначениях некоторые ситуации, возникающие в тех случаях, когда меняются либо область определения, либо множество, в котором принимаются значения отображения. Здесь мы ограничимся только случаем, когда изменяется область определения. Пусть даны непустые множества А, М и В, причем М С А, и отображения ~: А — В, д: М -+ В.
Будем говорить, что д есть оеранинение или сужение отображения У на М, если У(х) = д(х) для каждого х Е М. В этом случае будем также говорить, что ~ есть продолжение д на А. Сужение отображения у: А — В на М будем обозначать д = Дм или д = ~~М. Пусть д = Дм. Тогда д= ~одм, где дм — вложение М в А, то есть отображение, определенное на множестве М, действующее в А и сопоставляющее каждому элементу х Е М этот же самый элемент (но рассматриваемый как элемент множества А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
