1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 4
Текст из файла (страница 4)
До этого приходится говорить о множестве (х ~ Р(х)), не зная заранее, будет это множество пустым или нет. В теории множеств пустое множество играет роль, аналогичную той, которая в арифметике принадлежит нулю. 1.1.2. Пусть А и  — произвольные множества. Говорят, что А содержитпся в В или, иначе, А является подмиожесгпвом или чаетпью В, если всякий элемент множества А является элементом множества В.
При этом используют либо запись А С В, либо запись В З А (первая читается «А содержится в В», вторая— «В содержит А»). Тем самым для множеств определено отношение, обозначаемое знаками С и Э и называемое включением. Принято считать, что пустое множество содержится в любом множестве, то есть Я С А, каково бы ни было множество А. 14 Гл. 1. Введение в математический анализ Говорят тахже, что элементы пустого множества удовлетворяют любому наперед заданному условию, поскольку в пустом множестве нет никаких элементов.
(Как говорил один из профессоров, у которых автор учился: «Все элементы пустого множества зеленые, так как у него нет никаких элементов».) Отметим счев ные с в о й с т в а отношения включения. (1) Для всякого множества А верно включение А С А. (2) ЕслиАСВнВСС, тоАСС.
Говорят, что множества А и В равны, и пишут А = В, если всякий элемент множества А принадлежит В и всякий элемент множества В принадлежит А. Иначе говоря, А = В в том и только в том случае, если АСВиВСА. Отметим счев ные с в о й с т в а авенства множеств. (3) Для любого множества А имеет место равенство А = А. (4) ЕслиА=В, тоВ=А. (5) ЕслиА=В, В=С, тоА=С.
1.2. ЛОГИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА Основное содержание математики обычно организуется в виде отдельных утверждений, выражающих те или иные факты. Как и при подходе к понятию множества, мы не будем задаваться целью дать строгое определение тому, что следует относить к утверждениям, а опишем, что под этим следует понимать. 1.2.1. Условимся называть высказыванием какое-либо повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается об упоминаемом в нем объекте. О каждом высказывании мы должны знать, истинно оно или ложно.
Из высказываний по правилам логики образуются составные высказывания или утверждения, истинность которых по известным правилам определяется в зависимости от истинности составляющих утверждение высказываний. Пусть Р и Я вЂ” произвольные высказывания. Конъюнкцией высказываний Р и Я называется высказывание «Р и 9», которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания Р и Я одновременно.
Конъюнкция Р и Я обозначается символом Р й Я или Р Л Я. Днзъюннлией высказываний Р и Я называется высказывание <Р или Я», истинное в том и только в том случае, когда истинно хотя бы одно из высказываний Р или Я. Дизъюнкция Р, Я обозначается через Р Ч св. З 1. Понятие множества Если Р— высказывание, то высказывание «не Р» (обозначается — Р) называется отрицанием Р. Отрицание Р истинно, если Р ложно, и ложно, если Р истинно. Хотя в дальнейшем мы обычно не употребляем термины «дизъюнкция, конъюнкция», но достаточно часто используем зависимость истинности составного высказывания от истинности его составляющих.
Утверждение «Р Ч Я» может оформляться также в виде: «либо Р, либо Я». 1.2.2. Пусть Р и Я вЂ” высказывания. Под импликаиией Р =» Я понимается утверждение «из Р следует Я», которое может также оформляться одним из следующим равнозначных выражений: ° из Р вытекает Ч; ° если выполнено Р, то выполнено ф ° для выполнения Р необходимо выполнение Я; ° Р выполнено только в том случае, если выполнено Я; ° Р выполнено только тогда, когда выполнено Я; или, если поменять порядок обращения к Р и Я, то одним из таких равнозначных выражений: ° Я следует из Р; ° 9 вытекает из Р; ° Я выполнено, если выполнено Р; ° для выполнения Я достаточно выполнения Р; ° Я выполнено в том случае, если выполнено Р; ° Я выполнено тогда, когда выполнено Р. Импликация Р =» Я ложна, если Р истинно, а (~ ложно, и истинна во всех остальных случаях.
Если из Р следует 9 и одновременно из Я следует Р, то символически этот факт записывают в виде Р «» Я и употребляют для его словесного выражения одно из следующих равнозначных словосочетаний: ° Р и Я равносильны; ° для того чтобы (было выполнено) Р, необходимо и достаточно, чтобы (было выполнено) Я; ° Р выполнено тогда и только тогда, когда выполнено Я; ° Р выполнено в том и только в том случае, если выполнено Я. Мы часто будем пользоваться тем фактом, что импликации «из Р следует Я» и «из (не Я) следует (не Р)» равносильны. В этом легко узнается хорошо знакомый прием доказательства, называемый доказательством от противноео.
Гл. 1. Введение в математический анализ 1.3. КВАНТОРЫ В математических утверждениях часто употребляются словосочетания «для всякого», «для любого» и т. п., а также слова «существуетз, «найдется» и т. п. Иногда удобно вместо них использовать спепиальные знаки, называемые кванторами. А именно, вместо словосочетаний «для любого» и т. п. пишут знак Ч, а вместо слов «существует» и т.
п.— знак 3. Мы будем применять эти символы, главным образом, при следующих обстоятельствах. Пусть дано множество Х и мы составляем утверждение «для любого элемента х из Х выполнено условие Р». Тогда это утверждение будем записывать в виде: (Чх Е Х) Р. С другой стороны, утверждение <найдется элемент х множества Х, для которого выполнено условие Р» будет записываться так: (Лх Е Х) Р. Многочисленные примеры указанных употреблений кванторов читатель найдет достаточно скоро.
1.4. ОПЕРА ИИ НАЛ МНОЖЕСТВАМИ Пусть А и  — некоторые множества. АоВ Рис. 1 Объединением множеств А, В называется совокупность всех объектов х, каждый из которых является элементом, по крайней мере, одного 17 З 1. Понятие множества из множеств А и В. Объединение множеств А и В обозначается символом: А 0 В (см. рис. 1). Пересечением множеств А и В называется совокупность всех объектов х, каждый из которых принадлежит обоим множествам А и В одновременно. Пересечение множеств А, В обозначается символом А П В.
Если у данных множеств А и В нет общих элементов, то их пересечение АОВ представляет собой пустое множество: АПВ = И. В этом случае говорят, что множества А и В не пересекаются или дизъюнктны. Разностью множества А и множества В будем называть совокупность всех элементов А, не принадлежащих В. Разность множеств А, В обозначается символом А 1 В (см. рис. 1). Из определения, очевидно, следует, что для любых множеств А, В справедливы соотношения А~В С А, (А~ В) ОВ = Я. 1.5.
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ 1.5.1. Пусть даны два произвольных объекта х и у. Говорят, что они образуют упорядоченную пару (х,у), если объект х считается первым, а у — вторым. Об упорядоченной паре нередко говорят просто как о «паре», опуская прилагательное «упорядоченная». Первый элемент пары называют иногда ее первой компонентой, а второй, соответственно, — второй компонентой пары. Отличительная особенность упорядоченной пары состоит в следующем. Две пары (хыу1), (хг,уг) считаются совпадающими в том и только в том случае, если хг = хг, у1 = уг Мы подошли к понятию пары как к первичному понятию, хотя нетрудно показать, что для любых х, у множество (х, (х, у)) удовлетворяет указанному выше условию и тем самым упорядоченная пара может быть определена как множество (х, (х, у)). Пусть А,  — произвольные множества.
Совокупность всех пар (х, у), где х Е А, у Е В, называется (прямым) произведением множеств А и В и обозначается символом А х В (см. рис. 2). Если множества А и В конечны, например, А = (хыхг,...,х„), В = (уг,уг,...,ув,), то элементы прямого произведения могут быть выписаны в виде таблипы: (хму1) (хм уз) ... (Хг,у ) (хг, у1) (Х2, у2) ...
(Хг~ утп) (Хв, УГ) (Хв ~ У2) ° ° ° (Хв ~ Утп) ° 18 Гл. 1. Введение в математический анализ В том случае, когда одно из данных множеств А и В пусто, произведение А х В также пусто. Рис. 2 1.5.2. Понятие упорядоченной пары распространяется на случай любого конечного набора объектов. Это можно сделать, например, следующим образом. Пусть дано произвольное целое число п > 2.
Предположим, что каждому натуральному числу Й такому, что 1 < Й < и, сопоставлен некоторый объект аь. В этом случае говорят, что задана упорядоченная совокупность (аыаг,...,а„) или, иначе, кортеж длины и или просто упорядоченная и-ка объектов, состоящая из и компонент аь. При этом аь называется и-й компонентой системы (ам аз,..., а„). Пусть Аы Аг,..., А„— произвольные множества. Прямым или декартовым произведением множеств Аы Аг,..., А„ будем называть множество А1хАгх ..хА„= = ((хыхг,...,х ) ~ х1 Е Аыхг Е Аг,...,х„Е А 1.
Прямое произведение множеств АыАг,...,А„обозначается либо символом АгхАгх хА„, либо посредством выражения: ~2, функции Данное определение не исключает случай, когда все множества Аь совпадают. Если А1 = Аз = . = А„= А, то множество А1 х Аз х х А„ обозначается также символом А". В соответствии с определением произведения множеств, А" есть совокупность всех упорядоченных наборов, у которых каждая компонента является элементом множества А.
~2. Функции Понятие отображения — одно из основных в современной математике. С ним мы поступим так же, как с понятием множества, а именно, воспримем его как первичное понятие математики, хотя нетрудно дать определение функции (отображения), используя определения множества и произведения множеств. Просто нам зто в данном курсе не требуется. 2.1. ПОНЯТИЕ ФУНК ИИ ИЛИ ОТОБРАЖЕНИЯ Пусть А и  — произвольные множества. Отображением Х множества А в множество В называется всякое правило или закон, согласно которому каждому элементу х множества А соответствует один определенный элемент у множества В. Этот элемент у обозначается символом Дх) и называется значением отображения у на элементе х.
Множество А как совокупность тех объектов, на которые распространяется действие правила |, называется областью определения отображения ~, а совокупность всех значений у(х) при х, пробегающем область определения, — множеством значений отображения ~. Область определения отображения У нередко обозначается символом РЦ), а множество его значений — символом Е(у). В тех случаях, когда в качестве области определения и множества значений отображения выступают множества определенной природы, вместо термина «отображение» используют другие. Например, если отображение определено на подмножестве числового множества и действует в числовое множество, то вместо термина «отображение» обычно используют термин «функция». В некоторых случаях вместо отображения говорят об операторе, функционале и т.
д. Тот факт, что у есть отображение множества А в множество В, символически записывается следующим образом: у: А — В (читается: «у отображает А в В»). Для записи отображения у используют также следующие обозначения: у(х), у = У(х), У: х й А ~ У(х) й В. Ясно, что в обозначении отображения у типа у = у(х) или просто у(х) 20 Гл. 1. Введение в математический анализ участвует не только правило у, то есть собственно отображение, но и его значения на элементах х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
