1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Знакомство с такой версией теории множеств есть необходимый шаг при ознакомлении с ее более продвинутыми вариантами (онн в этой книге не используются). Теория вещественных чисел излагается аксиоматически. Такой способ изложения в настоящее время является, по-видимому, общепринятым. Основная задача, которая возникает перед лектором на этом пути, — как сформулировать аксиомы, характеризующие свойство непрерывности множества вещественных чисел.

В настоящей книге в качестве аксиомы непрерывности принято условие существования точной верхней и точной нижней гранид у всякого числового множества. В главе 1 определяется также понятие комплексного числа. Здесь излагаются основные сведения о бесконечных счетных множествах (материал, относящийся к этой теме, потребуется в главе 5, посвященной интегральному исчислению).

Глава 2 — «Теории предела». Понятие предела определяется сначала для функции, областью определения которой является произвольное подмножество множества всех вещественных чисел )в. Понятие предела последовательности появляется как частный случай, когда область определения функции есть множество всех натуральных чисел. В этой же главе определяется понятие непрерывной функции и устанавливаются основные теоремы о непрерывных функциях вещественной переменной.

Курс математического анализа, ч. 1, кн. 1 Задача главы 3 — «Элементарные функциив — дать определение основных элементарных функций — показательной, логарифмической и степенной, основанное на строгой теории вещественных чисел. Сначала вводится функция ехр х, которая, как будет показано, есть показательная функция, основанием которой служит число е = ехр 1. Для произвольного х величина ехр х определяется как предел выражения (1+ — *)" при п, стремящемся к оо.

С помощью функции ехр последовательно определяются логарифмическая, степенная и общая показательная функции. Автор не посчитал возможным включить в курс «строгую» теорию тригонометрических функций в полном объеме, ввиду ее громоздкости. За основные приняты те определения тригонометрических функций, которые опираются на представления, относящиеся к элементарной геометрии. В заключительной части главы 3 приводятся соображения относительно определения тригонометрических функций, основанного на строгой теории вещественных чисел. Предел, посредством которого была определена величина ехр х, существует также и в случае, когда х есть произвольное комплексное число.

Это дает возможность продолжить показательную функцию ехр на множество всех комплексных чисел. Используя полученное продолжение, можно определить синус и косинус вещественного аргумента, а через них и остальные тригонометрические функции. В дополнение к основному материалу, в главе 3 приводятся теоремы о характеристике основных элементарных функций как решений некоторых функциональных уравнений. Основы главы 4 — «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» вЂ” излагаются более или менее традиционным путем.

Приводится определение производной функции, описывается техника вычисления производных, доказываются теоремы о среднем значении; даются стандартные приложения теорем о среднем значении к выводу правил Лопиталя и формулы Тейлора. Затем рассматриваются задачи об отыскании экстремумов функции одной переменной. Описывается техника исследования функций одной переменной методами дифференциального исчисления. Определяется также понятие выпуклой функции и устанавливаются некоторые важные неравенства. В той части главы 4, которая посвящена теории выпуклых функций, вопрос о критерии выпуклости функции исследуется в общей форме. О содержании следующих четырех глав части 1 — с 5-й по 8-ю — будет рассказано в предисловии к книге 2 первой части «Курса математического анализах . В предисловии ко второй части учебника «Курс математического анализа» будет описано содержание глав, входящих во 2 часть.

Каждая глава книги сопровождается задачами по теме этой главы. Основную часть из них составляют те, которые включались в разное время в экзаменационные билеты на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. При отборе задач автор старался подбирать такие, решение которых способствовало бы лучшему пониманию теоретических аспектов данного «Курса». В книге принята следующая система нумерации.

Главы делятся на параграфы, имеющие порядковую нумерацию. В свою очередь, каждый параграф разбивается на пункты (или разделы), которые имеют двойную нумерацию: первая цифра — номер параграфа, вторая цифра — порядковая. Формулируемые в книге утверждения (предложения, теоремы и леммы) и формулы имеют — в пределах параграфа — аналогичную двойную нумерацию.

Рисунки имеют порядковую нумерацию в пределах главы. В конце книги приведены указатель обозначений и предметный указатель. Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ° Понятие множества, включение множеств, прямое произведение ° Общее понятие фунхции или отображения ° Взаимно однозначные (инъективные) отображения и отображения «нав (сюръективные или надьективные), обратное отобразкение ° Множество вещественных чисел ° Ахсиомы действий над вещественными функциями ° Аксиомы порядка е Точная верхняя и точная нижняя границы числового множества ° Ахсиома непрерывности ° Множества натуральных, целых и рапиональных чисел ° Принцип математическойй индукции ° Принцип Архимеда ° Вещественные функции и алгебраические операции с вещественными функциями ° График функции я Точнач верхняя и точная нижняя границы вещественной функции ° Комплексные числа.

Алгебраические операции нзд комплексными числами ° Модуль комплексного числа, сопряженное число ° Счетные множества, свойства счетных множеств, теоремы об операциях со счетны- ми множествами ° 12 Гл. 1. Введение в математический анализ ~1. Понятие множества В этом параграфе излагаются нехоторые элементарные сведения из теории множеств и математичесхой логики, хоторые будут применяться в дальнейшем.

Приводятся основные начальные сведения из теории множеств. В частности, определяется понятие включения множеств, описываются операции объединения, пересечения и прямого произведения множеств. Операции эти обычно имеют простой наглядный смысл и при доказательстве тех или иных их свойств следует каждый раз попытаться сначала понять, что означает то или иное утверждение о мно- жествах наглядно.

Нужные сведения нз математической логики не идут д лее описания логической символики, употребляемой в этой хниге, хак способ сокращенного описания отдельных математических высхазываний. В современной математике понятие множества играет роль своего рода строительного материала, из которого конструируются все основные математические объекты. 1.1. МНОЖЕСТВО И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ 1.1.1. В курсе математического анализа обычно ограничиваются тах называемым «наивным» подходом к определению множества. Это вызвано тем, что множество используется здесь как вспомогательный, терминологический объект и не является предметом изучения. Мы также не будем задаваться целью дать строгое аксиоматическое определение множества, ограничившись разъяснением понятия множества и описанием действий, в хоторых это понятие принимает активное участие. Для нас множество будет одним из первичных математических понятий, не выражаемым через другие математические понятия.

Обычно, говоря слово <множество», мы будем под этим понимать совокупность объектов произвольного рода, рассматриваемую как единое целое. Вместе с термином множество будут употребляться и его синонимы типа набор, система, совокупность и т. и. Например, можно говорить о множестве решений некоторого уравнения, о коллекции картин, хранящихся в музее, совокупности точек круга и т. д.

Объекты, составляющие то или иное множество, называются его элеменглами. Множество считается заданным, если для любого объекта можно установить, является он элементом данного множества или нет. З 1. Понятие множества Множество иногда задается указанием всех его элементов. Если таких элементов немного, то для их перечисления используют обозначение: (х, у, г,...

) — это множество, элементами которого являются объекты х, у, е и т. д. (их перечень должен быть достаточно ясен из контекста). Кстати, порядок упоминания элементов при таком задании множества несуществен (в отличие от упорядоченных наборов, определяемых ниже). Более распространен способ задания множества путем указания свойства, которому должны удовлетворять все его элементы: запись (х б Х ~ х обладает свойством Р(х)) выделяет те элементы множества Х, которые удовлетворяют условию Р(х).

Пусть А — произвольное множество, а х — какой-либо объект. Если х есть элемент А, то юворят, что х приподлежити А и пишут х е А (читается: «х принадлежит А», «х — элемент А», «х из А»). Если же х не является элементом множества А, то юворят, что х не принадлежит А. В обозначениях последняя ситуация выражается следующим образом: х ф А (читается: «х не принадлежит А» или «х не есть элемент А»). Удобно говорить о множестве, у которого нет элементов.

Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом З. Например, множество всех прямоугольных равносторонних треугольников пусто, так как не существует ни одного такого треугольника. Часто возникает такая ситуация, когда вводя множество математических объектов, удовлетворяющих определенному условию Р(х), мы заранее не можем сказать, существует ли хотя бы один х, соответствующий этому условию Р(х). Существование или несуществование таких х часто устанавливается лишь в конце исследования.

Характеристики

Список файлов книги