1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Предположим, что для некоторого п данное утверждение доказано. Пусть ~П: П„~.г — П есть взаимно однозначное отображение. Гл. 1. Введение в математический анализ Если Д(п + 1) = т, то ограничение Д на 1„будет взаимно однозначно отображать 1„в 1 г. В силу предположения индукции, отсюда следует, что и < т — 1 и, стало быть, и + 1 < т. Предположим, что й = ~3(п + 1) ~ тп. Пусть т есть отображение множества $ на себя, определенное следующим образом: т-(1с) = т, г(т) = Й и г(з) = з в случае, если г Е Й отлично от Й и т. Очевидно, т есть взаимно однозначное отображение множества 1 на себя. Полагаем: у = т о Д.

Отображение у множества 1„+д в П взаимно однозначно. При этом у(п + 1) = гп. По доказанному, отсюда следует, что п + 1 < т. Оба требования принпипа индукпии здесь соблюдены и тем самым предложение (К2) доказано. Пусть А есть непустое конечное множество. Предположим, что существуют биективные отображения а: А — ~ 1„и ~3: А — 1 . Тогда Д о а ~ есть взаимно однозначное отображение множества 1„в множество 1 . В силу (К2), это позволяет нам заключить, что и < гп. Аналогичным образом, а о ~3 ~ есть взаимно однозначное отображение множества 1 в 1„. В силу (К2), отсюда следует, что щ < и и, значит, т = и. Таким образом, для всякого непустого конечного множества А число и б 1Ч, такое что А допускает взаимно однозначное отображение на множество 1„, единственно. Предоставляем читателю доказать самостоятельно, что если множества А и В суть произвольные непересекающиеся конечные множества, п — число элементов множества А, гп — число элементов множества В, то множество А 0 В имеет п + тв элементов.

(КЗ) Всякое непустое подмножество множества 1 является конечным множеством, то есть допускает биехтивное отображение на множество 1 для некоторого т Е Я. Показательство будем вести с помощью принпипа индукции. Пусть и = 1. Имеем: Ьг = (Ц и всякое непустое подмножество Пз совпадает с Ц, а потому конечно. Предположим, что для некоторого и предложение доказано. Пусть А есть непустое подмножество множества 1„.~г. Если и+1 не является элементом А, то для всякого и Е А имеем й < < и+ 1 и, значит, к < п.

Отсюда вытекает, что А С 1„. Следовательно, в силу предположения индукции, множество А конечно. Предположим, что п+ 1 Е А. Пусть А' = А ~ (п + 1). 47 З 4. Точные границы числового множества Если А' пусто, то А состоит из единственного элемента — числа п+ 1. Полагая а(п+ 1) = 1, мы, как очевидно, получим взаимно однозначное отображение А на 1г, так что в этом случае множество А конечно, в смысле данного здесь определения.

Если А' ~ И, то для всякого й Е А', очевидно, имеем: й < и+ 1 и, значит, й < и, то есть А' С 1 . По предположению индукции, множество А' конечно. Следовательно, существует биективное отображение а: А' — 1 . Продолжим о на А, полагая а(и + 1) = гп + 1.

В результате получим биектиеное отображение А в 1„+ы Тем самым конечность множества А доказана. 4.4.10. Установим некото ые свойства конечных подмножеств Ж. ° Теорема 4.5. Всякое нелустое конечное множество вещественных чисел имеет наименьший и наибольший элементы. Доказательство. Пусть А С К вЂ” конечное множество и и(А) — число его элементов. Если п(А) = 1, то А состоит из единственного элемента, который будет и наименьшим и наибольшим элементом множества А.

Предположим, что утверждение теоремы верно, когда п(А) = и. Пусть п(А) = п + 1. Возьмем произвольный элемент х Е А. Множество А 1 (х) состоит из п элементов и, по предположению, обладает наименьшим и наибольшим элементами. Пусть р — наименьший, д — наибольший элемент А 1(х). Тогда меньшее из чисел х и р будет наименьшим элементом множества А. Аналогично большее из чисел х и д является наибольшим элементом множества А. Теорема доказана.

° 4.4.11. Квк приложение принципа математической индукции докажем здесь одно неравенство, которое будет использовано в дальнейшем. ° Теорема 4.6 (о неравенстве Бернулли). Пусть число х Е К таково, что 1+ х > О. Тогда для любого натуральною и справедливо неравенство: (1+х)" > 1+ их. (4.2) Знак равенства при этом имеет место в том н только в том случае, если: либо п = 1, а х > — 1 — произвольно, либо п > 1, х = О. Доказательство. Высказывание Р(п), истинность которого мы должны доказывать для всякого п Е И, состоит в следующем.

Если 1+ х > О, то (1+ х)" > 1+ пх. При и = 1 имеем: (1+ х)" = Гл. 1. Введение в математический анализ = 1+ х > 1+ х, так что высказывание Р(1) — истинно. Пусть и е 1Ч таково, что высказывание Р(п) для данного и истинно, то есть для всякого х е Ж такого, что 1+ х > О, выполняется неравенство: (1 + х)" > 1 + пх. Число 1+ х — неотрицательно. Умножая обе части последнего неравенства на 1+ х, получим: (1+х)"-ь1 > (1+пхн1+х) = 1+(и+1)х+пх2 > 1+ (и+1)х, Это означает, что для данного и истинно также и высказывание Р(п+ 1).

В силу принципа математической индукции, то есть — на основании предложения 1пд — из доказанного следует, что если 1+ х > О, то (1+ х)" > 1+ пх для любого и н 1ч. Для завершения доказательства надо рассмотреть еще, в каких случаях в неравенстве (4.2) имеет место знак равенства? Очевидно, что в случае и = 1 неравенство (4.2) превращается в равенство. Пусть и > 1. Тогда и — 1 е М и, следовательно, (1+х)" = (1+х)" 1(1+х) > (1+ (и — 1)х)(1+х) = 1+ их+(и — Цхв. Отсюда видно, что если х ~ О, то (1+х)" > 1+ пх (неравенство строгое!).

Тот факт, что при х = О неравенство (4.2) превращается в равенство, — очевиден. Теорема доказана. ° 4.5. СУ ЕОТВОВАНИЕ КВА РАТНОГО КОРНЯ Пусть дано число х > О. Квадратным корнем из х называется такое число у, что у2 = х, и арифметическим квадратным корнем из х называется такое неотрицательное число у, что уз = х. Арифметический квадратный корень из х обозначается символом ~/х, и если нет поводов для недоразумений, то об арифметическом квадратном корне говорят просто как о квадратном корне. То, что у, удовлетворяющее данным условиям, существует, читатель воспримет как нечто само собой разумеющееся.

Этот факт, однако, нуждается в доказательстве, и таковое не может быть дано без применения аксиомы непрерывности 49 3 4. Точные границы числового множества (см. п. 4.1.3). Позднее (см. гл. 2, 34) будет доказана общая теорема, из которой, в частности, следует существование квадратного корня из неотрицательного вещественного числа. Здесь мы дадим непосредственное доказательство этого факта. ° Теорема 4. 7. Для всякого числа х > О существует и притом только одно у > О такое, что у2 = х.

Доказательство. Пусть дано х > О. Если х = О, то у = О удовлетворяет всем требуемым условиям. Если у, и у2 таковы, что О < у1 < у2, то у2 < у2. Отсюда следует, что может существовать самое большее одно значение у > О такое, что у2 = х. Пусть А — множество всех у е К таких, что у > О и у2 > х. Покажем, что А непусто.

Действительно, из верного для всякого 1 > О равенства следует, что (4.3) 12 х1 при всяком 1 > О, так что число у = — ~ ~+ — ) для любого 1 > О принадле- 21 1) жит А и тем самым множество А непусто. Положим у = 1пГА и докажем, что зто у искомое. Предположим, что у > х. Тогда у > —, откуда следует, что 2 х у У> 2 У+ — У1. полагая в неравенстве (4.3) 2 = у, получим, что у2 > х и, значит, у1 е А. Это, однако, противоречит тому, что 1пГА = у > у,. Тем самым предположение о том, что у2 > х, ведет к противоречию и, следовательно, у2 < Допустим, что у < х. Положим у2 = у+ Ь, где О < Ь < 1. Имеем у2 у2 + 2у12+ ~2 < у2 + 2уь + й 50 Гл.

1. Введение в математический анализ х — у Теперь выберем значение Ь такое, что Ь < и одновременно 2у+ 1 0<Ь<1. Тогда уг < у +(2у+1)Ь < у + (2у+1) =х. 2у+ 1 Так как у по условию есть точная нижняя граница множества А, найдется у' Е А такое, что у < у' < уз.

Поскольку у' Е А, имеем (у')'> . С другой стороны, из неравенств 0 < у < у' < уз следует, что (У ) < Уэ < хз Итак, допустив, что у < х, мы снова приходим к противоречию. 2 Значит, этот случай также не имеет места. Остается единственны возможность: у = х. 2 Теорема доказана. ° 4.6.

Сокря кннык овознлчкния ля суммы и произвкдкния (4,4) а их произведение — символом а П*' (4.5) В случае п = т имеем единственное число хь, для которого хь = = х = х„, и тогда будем считать, что каждое из выражений (4.4) и (4.5) совпадает с этим числом хь. Из известных с в о й с т в опе ий сложения и множения чисел непос ственно вытекают сл е соотношения. Пустып,1,п — целые числа, причем т < 1 < и. допустим, что любому целому Ь такому, что пз < Ь < п, сопоставлено некоторое число хю 4.6.1. Пусть даны произвольные целые числа т, и, причем т < и.

Предположим, что каждому целому числу Ь Е У. такому, что т < < Ь < п, сопоставлено некоторое вещественное число хь. Сумма всех чисел х, х +з,..., х„обозначается символом 51 'З 4. Точные границы числового множества Тогда и в и в к-=к- к" и"=(п"Цп") й=пь й=та ййн+1 й=ш й=пь й=3+1 4.6,2. Отметим еще о но с в о й с т в о кото ое называют п авилом замены индекса с мми оваяия Пусть т < п. Тогда ,'й хй = ,'~ хй+, —— ,'й хй —, (4.6) й=т-т П"= П *'= П "-' (4.7) 4.6.3.

Пусть и — натуральное число. Положим '=Пй= йай Кроме того, условимся считать, что О! = 1. Выражение и! читается «и-факториал» . Вве ем еще о но обозначение. Пусть и Е !Ч. Тогда символ и!! (читается: «п дважды факториал») означает произведение всех не превосходящих п чисел одной четности с числом п, то есть при п = 2т имеет место равенство и!! = 2 4 .... 2гп, а если и = 2т — 1, то и!! = 1 3.... 2т — 1.

Как нетрудно видеть, при каждом т Е И имеют место равенства: (2т)!! = (2™)т!, (2т — 1)!! = (2т — 1) ! (2т — 2) !! Лля доказательства достаточно заметить, что все три суммы в (4.6) состоят из одних и тех же слагаемых и все три произведения в (4.7) состоят из одних и тех же сомножителей. Иногда удобно говорить о сумме и произведении пустого множества чисел.

А именно, сумму пустого множества слагаемых будем считать равной нулю, а произведение пустого множества сомножителей — единице. 52 Гл. 1. Введение в математический анализ ~5. Вещественные числовые функции В этом параграфе исследуется частный случай общего понятия отображения, в котором областью значений является множество всех вещественных чисел К. Такие отображения называют вещественными функциями или просто функциями. Для них можно определить операции сложения, умножения и деления. С помощью системы координат на плоскости график вещественной функции, заданной на подмножестве К, можно представить в виде некоторого множества на плоскости.

Далее неоднократно будут использоваться понятии точной верхней и точной нижней гранид функции. Здесь приводятся определения этих понятий и доказываются некоторые их основные свойства. 5.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРА ИИ НАД ВЕ ЕСТВЕННЫМи функциями. МОНОтОнные функ ии 5.1.1. Пусть А — произвольное множество. Вещестивенной 4ункиией (или просто Функцией) на множестве А называют всякое отображение 1:А- К. Функцию ~: А — К будем называть конечной, если 1'(х) Е К для всех х е А. В дальнейшем, если не оговорено особо, под вещественной функцией всегда понимается конечная вещественная функция.

Характеристики

Список файлов книги