1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

А именно, неравенство (6.6) равносильно утверждению: длина стороны треугольника не превосходит суммы двух других его сторон, неравенство (6.7) — утверждению: разность длин двух сторон треугольника не превосходит третьей его стороны. Операция умножения на комплексное число также допускает простое геометрическое истолкование. Пусть дано комплексное число с = а+гЬ. Будем считать, что с ф О.

На плоскости зададим декартову ортогональную систему координат. Произвольное комплексное число г = х + зу отождествим с точкой (т,д) на плоскости. Так как с ~ О, в силу установленных свойств операции умножения комплексных чисел, отображение Р,: к Е С ск взаимно однозначно отображает множество С на себя.

Тем самым определено некоторое взаимно однозначное отображение плоскости на себя, которое мы будем обозначать тем же выражением Р,. Выясним, что представляет собой зто преобразование геометрически (см. рис. 9). Воспользуемся некоторыми результатами аналитической геометрии. Сначала рассмотрим случай, когда ~с~ = 1. Имеем: с = а+ гй и (с( = ~(аз + Ьз = 1.

Как известно из тригонометрии, для данных а и Ь существует число у такое, что 0 < у < 2т и выполняются равенства а = соз р и Ь = зш <р. Гл. 1. Введение в математический анализ Рис. 9 Геометрический смысл числа ~р таков: это есть угол, на который надо повернуть вектор ез = (1, 0), чтобы совместить его с вектором с, вращая вокруг начала координат О в направлении против часовой стрелки. Лля произвольного х = х + гу Е С имеем: Р,(в) = ск = ха — уЬ+ з(хЬ+ уа). Тем самым преобразование Р, переводит точку с координатами (х,у) в точку с координатами (и,и), где и = ха — уЬ = х сов ~р — у вш у, и = хЬ+ уа = х вш у + у сов р.

(6.8) Из курса аналитической геометрии известно, что если и = (и, и), где и и и выражаются равенствами (6.8), то вектор зв получается из вектора з вращением вокруг начала координат на угол, равный у, в направлении против часовой стрелки. Итак, если ~с~ = 1,то преобразование Р, есть вращение плоскости вокруг начала координат на угол, равный <р. с Пусть г = ~с~ ~ 1. Положим у = —. Тогда З 7. Счетные множества Мы видим, что в этом случае преобразование Р, есть результат последовательного выполнения преобразований Р, и Р„. Так как Ц = 1, то преобразование Р,„как показано выше, есть вращение плоскости вокруг начала координат.

Осталось выяснить, что представляет собой преобразование Р,. Если г = О, то Р,(з) = О. Пусть я = х+ гу ф О. Имеем: и = гз = гх+ 1гу. Точки Я = (х, у) и гу = (гх, гу), как легко проверяется, лежат на одном луче, исходящем из начала координат О, и отношение длин отрезков ОЯ и ОИ' равно г. Преобразование плоскости, определенное таким образом, называется преобразованием подобия относительно точки О с коэффициентом подобия, равным г.

Таким образом, мы приходим к следующему выводу. Умножение на комплексное число с ф О геометрически сводится к последовательному выполнению следующих преобразований: сначала плоскость поворачивается вокруг начала координат О на угол х, а затем подвергается преобразованию подобия с коэффициентом г относительно точки О. Числа г и х при этом находятся из представления с = г(сову + гешу) комплексного числа с.

~7. Счетные множества Одна нз основных идей Георга Кантора — создателя теории множеств — это идея классификации бесконечных множеств по степени их «обширностн>. Бесконечные множества могут быть более нлн менее обширными. Счетные множества занимают самое низшее место в иерархии бесконечных множеств, построенной Г. Кантором. (Приложения вводимого ниже понятия счетного множества будут даны в главе 5: «Интегральное исчисление для функций одной переменной».) т.1. Определение счетноГО мнОжестВА Т.1.1. Пусть А — произвольное множество.

Говорят, что А не более чем счетно, если существует взаимно однозначное отображение п множества А в множество натуральных чисел И. Всякое такое отображение п: А — + 1Ч называется нумерацией элементов А. Число п(х), отвечающее элементу х множества А, называется номером элемента х в данной нумерации. Пустое множество И также будем считать не более чем счетным. Множество А не более чем счетно, если каждому его элементу можно присвоить определенный номер и притом так,что разные элементы Гл. 1. Введение в математический анализ всегда получают различные номера. При этом не требуется, чтобы значения этих номеров пробегали подряд все множество И или какой-либо его отрезок.

Напомним, что множество А называется конечным, если существует биективное отображение А в отрезок 1„= (1,2,...,и) множества И. При этом число и называют числом элементов множесгпва А. Всякое конечное множество, очевидно, не более чем счетно. Бесконечное не более чем счетное множество называется счетным. Множество Ы всех натуральных чисел, очевидно, счетно. Пусть А — не более чем счетное множество и и: А — Я вЂ” его нумерация.

Отображение и взаимно однозначно и, следовательно, ограничение и на любое подмножество А также является нумерацией. Отсюда следует, что любое подмножество не более чем счетного множества не более чем счетно. В частности, любое подмножество множества г( не более чем счетно. 7.1.2. Докажем некоторые утверждения о сохранении свойства множества быть не более чем счетным при отображениях. Первое утверждение таково.

Ф Предложение 7.1. Пусть дано взаимно однозначное отображение 1: А — В. Если множество В не более чем счетно, то множество А также не более чем счетно. Доказательство, Так как В не более чем счетно, то согласно определению существует взаимно однозначное отображение у:  — И. Положим и = о о 1. Очевидно, что и есть отображение А в Я. Покажем, что и взаимно однозначно. Действительно, пусть х, ~ ~ хэ хмхг Е А.

Тогда у~ = 1(х~) ф ув —— Дх~), так как 1 взаимно однозначно. Отсюда следует, что и(х~) = р(у~) ф р(ув) = и(хв), и взаимная однозначность и установлена. Предложение доказано. Ф 7.1.3. Теперь докажем второе утверждение о сохранении не более чем счетности при отображениях. Ф Предложение 7.2. Пусть |: А —  — отображение А на В. Если А не более чем счетно,то и В не более чем счетно. Доказательство. Зададим нумерацию и множества А, то есть взаимно однозначное отображение и: А — Ы.

Возьмем у е В. Так как 1 — отображение А на В, то множество 1 '(у) непусто. Обозначим через р(у) наименьший из номеров элементов множества 1 '(у). Этим З 7. Счетные множества определено отображение д:  — И. Отображение р взаимно однозначно. Действительно, если д1 ~ уз, то множества 1 ~(у1) и г ~(рз) не имеют общих элементов. Имеем: д(уг) = м(хг), р(уз) = м(хз), где х1 Б ~ ~(уг), а хз Е Е ~ ~(уз). Так как множества г" ~(уг) и г" (уз) не имеют общих элементов, то х1 ~ хз. Так как и — взаимно однозначное отображение, отсюда следует, что и(х1) ф и(хз), так что д(у1) ф р(уз), и взаимны однозначность отображения д, установлена.

Предложение доказано. Ф Следствие. ПустьданоотображениеУ: А- В. Еслимножество Е С А не более чем счетно, то и его образ г (Е) есть не более чем счетное множество. Для доказательства достаточно заметить, что сужение отображения ~ на множество Е есть отображение Е на г(Е). 7.1.4. Все бесконечные не более чем счетные множества устроены, в определенном смысле, одинаково. Справедливость этого утверждения вытекает из следующей теоремы. ° Теорема Т.1. Всякое бесконечное подмножество множества И допускает взаимно однозначное отображение на И.

Доказательство. Пусть М С И вЂ” бесконечное множество. Построим сначала взаимно однозначное отображение множества И на М. Отображение, обратное к нему, очевидно, и будет искомым. Обозначим через хг наименьший элемент множества М. Предположим, что для некоторого п элементы хг, хз,..., х„определены. Пусть ̄— множество, состоящее из всех остальных элементов множества М.

Так как М бесконечно, то М„непусто. Обозначим через х„+г наименьший элемент множества М„. В силу принципа математической индукции тем самым определена некоторая последовательность (х„)„ен элементов множества М, то есть отображение х множества И в М. Построенное отображение х: И вЂ” М взаимно однозначно. Действительно, пусть па и пз — произвольные натуральные числа, причем п1 ф пз. Будем считать, что пг < пз. Положим пз — 1 = п. Тогда х„, есть одно из чисел хм хз,...,х„, а х„, = х„+1 Е М„и тем самым х„, не равно ни одному из чисел хг,хз,...,х„.

В частности, а2 7 ха1' Докажем, что х есть отображение И на М. Допустим, что это не так. Тогда найдется т Е М такое, что гв ф х„, каково бы ни было п. Из построения последовательности 70 Гл. 1. Введение в математический анализ (я„) ен следует, что гл Е М„при любом и, значит, х„+г = пцпМ„< т для всех и. Так как я„+г ~ т, то я +г < т. Очевидно, что хг < т, и в силу принципа математической индукции получаем, что я„< гл для всех и.

Отображение х: И вЂ” + М, как доказано, взаимно однозначно, н числа т„все натуральные. Для всякого и Е 1Ч функция к Е 1 + хь есть взаимно однозначное отображение 1„в 1 . В силу сказанного в п. 4.4.8, отсюда следует, что и < т для любого и Е И, что противоречит принципу Архимеда.

Итак, допустив, что х не является отображением 1Ч на М, мы приходим к противоречию. Таким образом, установлено существование взаимно однозначного отображения И на М, и теорема доказана. й У Следствие Х. Всякое счетное множество допускает взаимно однозначное отображение на И. Доказательство. Пусть А — счетное множество.

Тогда А бесконечно и допускает взаимно однозначное отображение и в множество И. Пусть М = и(А). Очевидно, М есть бесконечное подмножество И и согласно теореме существует биективное отображение р: М вЂ” + И. Суперпозиция р о в, как нетрудно видеть, и является требуемым отображением. Следствие доказано. Следствие 1 показывает, что элементы счетного множества могут быть занумерованы так, что их номера будут пробегать все множество И без пропусков, причем разные элементы будут иметь различные номера. Ч Следствие 2.

Для любых двух счетных множеств А и В сущевует бнектнвное отображение: у: А — ~ В. Действительно, пусть А и В суть произвольные счетные множества. Тогда, в силу следствия 1, существуют взаимно однозначные отображения а: А -+ 1Ч и В:  — И такие, что а(А) = И и В(В) = И. Тогда, как нетрудно видеть, отображение 1с = ~3 ~ о а: А — + В биективно, что и требовалось доказать.

Характеристики

Список файлов книги