1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 9
Текст из файла (страница 9)
З 4) и, стало быть, сю = впр Иь. Отметим, что множество Ив, в частности, есть множество, получаемое из 1Ч добавлением одного элемента — числа О. Очевидно, что Иг = И. Пусть М есть произвольное множество. Последовательностью элементов множества М называется всякая функция х, о б л а с т ь о п р е д е л е н и я которой есть одно из множеств Иь, а о б л а с т ь з н а ч е н и й — множество М.
Значение, принимаемое этой функпией на элементе и Е Иь, мы будем обозначать символом х . Часто говорят также, что х„есть п-й член последовательности и число п называют номером этого члена. 42 Гл. 1. Введение в математический анализ Для сокращенной записи последовательности х: и е Иь ~-~ х„е М применяется одно из следующих выражений: или, наконец, выражения: (х„), и=к,/с+1,/с+2,..., (х„), иеИы Из принципа математической индукции вытекает следующий принцип индукционного построения последовательностей. Предположим, что для некоторого й и У, определен элемент хь множества М и задано п р а в и л о, которое позволяет указать х„~1 е М в случае, если уже определено х„.
Тогда последовательность х„определена полностью. Действительно, пусть М есть множество всех натуральных чисел и таких, что х„+ь, определено. Тогда, как нетрудно видеть, множество М иидуктивно и, значит, М совпадает с И. Осталось заметить, что когда и пробегает множество И, то номер и+)с — 1 пробегает Иы Из доказанного поэтому следует, что х„определено для всех и и Иы 4.4.Т.
Установим некоторые дальнейшие свойства подмножеств множе- ства всех натуральных чисел И. И Теорема 4.4. Всякое непустое подмножество множества И имеет наименьший элемент. Доказательство. Пусть Е с И, причем Е ~ о. Пусть й = шГЕ. Так как для любого и е И имеет место неравенство и > 1 (напомним, что 1 есть наименьший элемент множества И), то и > 1. В силу свойства точной нижней границы (теорема 4.1, п.
4.2.1), найдется х е Е такое, что й<х<к+1. Пусть у — произвольный элемент множества Е. Докажем, что у > х. Действительно, допустим, что у < х. Тогда, в силу (4), у < х — 1 < и, что противоречит тому, что 1 есть нижняя граница Е. Итак, для всякого у е Е имеет место неравенство у > х. Это и означает, что х есть наименьший элемент множества Е.
Теорема доказана. ° 43 ~ 4. Точные границы числового множества Следствие 1. Для всякого числа х е й сушествует целое число р такое, что р < х < р + 1. Такое число р единственно. Доказательство. В силу принципа Архимеда (теорема 4.3), найдется т е И такое, что ~х~ < т. Тогда — т < х < т и, значит, О<х+т<2т. Обозначим через Е совокупность всех чисел и е И таких, что х+т < и.
Множество Е непусто, так как, например, 2т Е Е. Пусть и есть наименьший элемент множества .Е. Тогда х+т < и. Поскольку и есть наименьший элемент множества Е, то и — 1 ф Е, и потому условие, посредством которого определено Е, для и — 1 ие выполняется, то есть и — 1 < х+ т. Число р = и — 1 — т и есть искомое. Пусть р и ц — целые числа такие, что р < х < р+ 1 и а < х < а+ 1. Тогда р < а+ 1 и, значит, в силу замечания к предложению (4) п. 4.4.4, имеем р+ 1 < а+ 1, то есть р < а. Аналогично заключаем, что а < р, откуда р = ц.
Следствие 1 доказано. и 3 а м е ч а и и е. Для произвольного х е )й число р е )й такое, что р < х < р+ 1, называется целой частью числа х. Обозначим его Е(х). (В литературе целая часть числа часто обозначается символом [х).) и Следствие 2. Каковы бы ви были числа а,6 и й такие, что а < 6, найдется рациональное число х, для которого а < х < 6. Так как 6 — а > О, то, в силу следствия теоремы 4.3, существует значение и е И такое, что 1 < п(6 — а). Согласно следствию 1 (см. выше), найдется т е У, такое, что т < ап < т+ 1. Для этого т выполняются неравенства: О < т + 1 — ап < 1 < п(6 — а).
Отсюда О < т+ 1 — ап < п(6 — а). Далее, ап < т+ 1 < Ьп. Разделив обе части последнего неравенства на и, заключаем, что т+1 а« 6, и т+1 так что число х = — и есть искомое. Следствие 2 доказано. 44 Гл. 1. Введение в математический анализ 4.4.8. Покажем, как интуитивные представления о конечном множестве и числе его элементов соотносятся с данным здесь определением натурального числа. Лля произвольного и Е г1 символом 2„далее обозначается множество всех натуральных чисел т таких, что т < н, то есть Множество 2 будем назьгвать и-и отрезном множества всех натуральных чисел Я. Если т < н, то тем более т < п + 1. Отсюда вытекает, что при каждом п Е 11 имеет место включение: 2„С 1„+1.
Если т Е 2„+1 и т ~ и+ 1, то т < п+ 1 и, значит, в силу предложения (4) п. 4.4.4, т < и и, следовательно, т Е 1 . Это позволяет заключить, что 2„+г = 1„01п+ Ц. Непустое множество А называется нонечныи, если существует число н Е г1 такое, что А допускает взаимно однозначное отображение на множество 1„. Это п называется числом элементов множестеа А.
Пустое множество также будем считать конечным множеством. Число его элементов, естественно, считаем равным нулю. Выясняя число объектов, образующих какую-либо совокупность (например, число банкнот в пачке денег, число студентов, присутствующих на занятиях, число автомобилей на стоянке и т. п.), мы по очереди указываем на каждый из этих объектов, произнося при этом слова: «один», «два», «три» и т. д. Когда будет указан последний из данных объектов, слово «н», которое мы при этом произнесем, и будет обозначать число объектов, входящих в данную совокупность. Математически этот обычный пропесс счета есть не что иное, как построение взаимно однозначного отображения рассматриваемого множества объектов на отрезок 1„множества г1.
В связи с данным определением конечного множества возникают некоторые вопросы, без ответа на которые это определение не может считаться удовлетворительным. Главный из них таков: не может ли оказаться, что для некоторого множества существуют взаимно однозначные отображения на различные отрезки 1„и 2 множества натуральных чисел Я? Иначе говоря, не может ли получиться, что, подсчитывая число элементов конечного множества в разном порядке, каждый раз мы будем получать разные результаты? З 4.
Точные границы числового множества 45 4.4.9. Покажем, что описанная неприятная ситуация не может иметь места. П едва ительно становим некото ые и остые с в о й с т в а П . (К1) Всякое взаимно однозначное отображение множества П„в себя является отображением П„на себя. Лействительно, в случае п = 1 множество П„состоит из единственного элемента — числа 1. Существует только одно отображение множества Пг в себя — тождественное отображение Пг.
Оно взаимно однозначно и является отображением Пг на себя. Предположим, что для некоторого и Е 1Ч справедливость доказываемого утверждения установлена. Пусть |3: П„+г — П +г есть взаимно однозначное отображение П„+з в себя. Предположим, что Д(и+ 1) = и+ 1. Обозначим через а ограничение,б на П„.
Отображение гг — взаимно однозначно. Если т Е П„, то т ф и + 1 и, значит, а(т) = ~3(т) ~ ~3(и+ 1) = п+ 1. Отсюда следует, что а(т) < и, то есть а(т) Е П„для всякого т Е П„и, следовательно, а отображает П„в себя. В силу индукционного предположения, а есть отображение множества П„на себя.
Отсюда вытекает, что ~3 есть отображение множества П ~г на себя. Рассмотрим случай, когда ~3(и+ 1) ~ п+ 1. Пусть Д(и+ 1) = т. Зададим отображение т множества П„~.з на себя, полагая т(т) = п + 1, г(п+ 1) = т и г(к) = к в случае, если к Е П +г отлично от т и п+ 1. Мы видим, что т есть взаимно однозначное отображение множества П„~.г на себя. Полагаем: у = т о Д. Очевидно, у есть взаимно однозначное отображение П„.~г в себя.
При этом у(п+1) = гф(п+1)] = = т(т) = и + 1. По доказанному, отсюда вытекает, что у есть отображение множества П„~г на себя. Это позволяет заключить, что ~3 также является отображением множества П„+г на себя. В силу принципа индукции, предложение доказано. (К2) Пусть даны числа и, т Е гз. Если существует взаимно однозначное отображение П„в П, то и < т. ППействительно, пусть а: П„- П есть взаимно однозначное отображение. Требуется доказать,что п < т. В случае п = 1 это верно, поскольку 1 есть наименьшее натуральное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
