1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть )': А — «К и д: А — К вЂ” конечные вещественные функции, определенные на множестве А. Суммой и произведением функций 1 и д называют функции в:А — «К и р:А — «К, определенные следующим образом: в(х) = У(х) + д(х), р(х) = У(х)д(х) для всех х Е А. Функцию в обозначают символом 1+ д, а функцию р— символом ~'д. Для функций 1, д определим их частное Ь, принимая в качестве его области определения множество всех х Е А, для которых д(х) ~ О, и для всякого такого х полагая Ь(х) = —. Их) д(х) 53 З 5.
Вещественные числовые функция Пусть а Е К вЂ” произвольное число и у: А — 1к — числовая функция, определенная иа множестве А. Символами ау и у + а будем обозиачать функции, определенные условиями (ау)(х) = а Ях), (~+ а)(х) = у(х) + а для всякого х Е А. Если дана функция У: А — Й, то символами Щ, у+ и у будем обозначать функции, определенные следующими соотношениями: ф: х ~ Щх)~, у~: х ~-+ (Дх))+, у: х + (Х(х)) Очевидно, что имеют место равенства: У = У+ — Х Ш = У+ + У . 5.1.2. Пусть множество А С Й непусто.
Фувкция У: А — ~ К называется возрастающей или неубывающей, если для любых х1,хг из А таких, что х1 < хз, выполняется неравенство У(х1) < з (хг). Функция ~: А — К называется убывающей, если для любых х1, хг из А таких, что х1 < хг, имеет место неравенство у(х1) ) у(хг) Функция, удовлетворяющая этому условию, называется также невозрастающей. Если для любых х|,хг из А таких, что х1 < хг, выполняется неравенство у(х1) < у(хг) (иеравеиство у(х1) ) у(хг)), то будем говорить, что функции Г строго возрастает (соответствеиио, строго убывает).
Фуикция у": А — К называется монотонной, если оиа либо возрастающая, либо убывающая. Если фуикция у: А — К строго возрастающая или строго убывающая, то будем говорить, что у — строго монотонная у уннция. 5.2. Ггяфик вк кствкцц0Й числовой ьуик ии 5.2.1.
При изучении вещественных фуихций, определенных иа подмиожествах К, полезны некоторые геометрические представлении. Осью на плоскости или осью в пространстве называется всякая прямая, иа которой указаны две различные точки, одной из которых присвоено наименование нулевой, а другой — единичной.
Пусть | — произвольная ось, Π— ее нулевая точка, Š— единичная точка (см. рис. 5). М О О М Е 54 Гл. 1. Введение в математический анализ Каждой точке М на оси ( может быть сопоставлено некоторое вещественное число х(М), называемое коордвнатпоб гаечка М на оси 1. Число х(М) определяется следующим образом. Пусть с > О— отношение длин отрезков ОМ н ОЕ, (ОМ! )ОЕ) Тогда х(М) = С, если точки М и Е лежат по одну сторону от точки О, и х(М) = — с, если М и Е лежат по разные стороны от точки О. Справедливо следующее утверждение.
Ф Предложение 5.1 (первый основной постулат аналитической геометрии). Отображение х: М е ( х(М) взаимно однозначно отображает прямую 1 на множество всех вещественных чисел й. Ф ,-.5) Рис. б Аналитическая геометрия в своих построениях существенно опирается на данное предложение. Обычно оно приводится без доказательства, поскольку последнее возможно лишь на основе точного аксиоматического изложения геометрии. В связи с этим мы и называем данное предложение «постулатом». 5.2.2. Напомним понятие декартовой ортогональной системы координат на плоскости, известное из школьного курса геометрии. Зададим произвольный отрезок е. Проведем две взаимно перпендикулярные прямые ОХ и ОУ, пересекающиеся в точке О (см.
рис. 6). На прямых ОХ и ОУ отложим отрезки ОЕ, и ОЕю равные отрезку е, и будем считать точку О нулевой на каждой из прямых ОХ и ОУ, а точки Е, и ń— единичными. З 5. Вещественные числовые функции 55 Каждая из прямых ОХ и ОУ является осью и, следовательно, определено понятие координаты для точек на этих осях. Пусть М вЂ” произвольная точка на плоскости, Мг и Мг — ее оргаогональные проекции на прямые ОХ и 01, соответственно.
Пусть х(М) — координата точки М1 на оси ОХ, у(М) — координата точки Мг на оси ОУ. Точке М, таким образом, отвечает пара вещественных чисел (х, у), где х = х(М), у = у(М), то есть некоторый элемент множества К = К х К. Числа х и у называются координатами точки М. При этом число х называют абсциссой, а число у — ординатой точки М. Сформулируем теперь другой основной постулат аналитической геометрии. ф Предложение 5.2 (второй основной постулат аналитической геометрии). Отображение М ~-~ (х(М), у(М)) плоскости в прямое произведение К х К = К взаимно однозначно и является отображением г плоскости на множество К .
й Это предложение означает, что если точки М1 и Мг различны, то соответствующие им пары (хы уг) и (хг, уг) также различны, и для любой пары чисел (х, у) существует точка М, абсцисса которой равна х, а ордината равна у. Отображение плоскости в множество пар вещественных чисел Кг, получаемое с помощью описанного здесь построения, называется декартовой ортогональной системой координат на плоскости, а оси ОХ и ОУ называются осями этой системы координат.
5.2.3. Пусть А С К, А ф Я. Пусть дана функция у: А — К. Зададим на плоскости декартову ортогональную систему координат. Графиком функции у в этой системе координат называется множество всех точек М, у которых первая координата х(М) принадлежит А, а вторая координата у(М) равна у(х(М)). Использование графика функции часто позволяет представить те или иные свойства вещественной функции в наглядной, обозримой форме. График функции обычно изображается в виде некоторой линии на плоскости.
Следует сказать, что, вообще говоря, график вещественной функции может оказаться множеством, мало поддающимся наглядному восприятию. Впрочем, такого рода «плохие» функции, если и будут представлены в дальнейшем, то лишь в качестве примеров, иллюстрирующих те или иные ситуапии общего характера. 5.3. ТОЧНЫЕ ГРАНИ Ы ВЕ ЕСТВЕННОЙ ФУНК ИИ 5.3.1. Пусть дана функция у: М вЂ” К, где М вЂ” произвольное множе- ство. Предположим, что А — непустое подмножество М. Гл. 1. Введение в математический анализ Число Ь е Й называется верхней границей функции ~ на множестве А, если для всех х е А выполняется неравенство У(х) < Ь.
Аналогично К Е Й называется нижней границей функции у" на множестве А, если для всех х Е А имеем у(х) ) К. Ясно, что верхняя (нижняя) граница функлии — это верхняя (нижняя) граница образа 1[А] множества А при отображении ~. Очевидно, что — оо является нижней, оо — верхней границей функции ~: М вЂ” Й на любом множестве А с М. Функция У: М вЂ” Й называется ограниченной сверху (снизу) на множестве А С М, если она имеет хотя бы одну конечную верхнюю (нижнюю) границу на множестве А.
Функция г": М вЂ” +Й называется ограниченной на множестве АС М, если она ограничена на нем сверху и снизу. Иначе говоря, функция у: М -+ Й ограничена на множестве А с М, если существуют числа К, Ь е И такие, что для всех х е А выполняются неравенства К < у(х) < Ь. Можно также сказать, что функция ограничена на А, если образ этого множества ограничен. Очевидно, что функция У: М вЂ” Й ограничена на множестве А С М в том и только в том случае, если существует такое конечное число Ь, что для всех х Е А выполняется неравенство ]~(х)] < Х,. 5.3.2.
Точная верхняя граница впр~(А) множества ДА] называется точной верхней границей функции г на множестве А и обозначается через впр Дх) либо, короче, через впр ~. хЕА А Точная нижняя граница шГУ(А) множества у[А] называется тпочной нижней границей функции )' на множестве А и обозначается через ш1' ~(х) либо, короче, через ш1'у. зЕА А Согласно определению, зпрк(х) = зпрк]; ш1' У(х) = шГДА]. зЕА зЕА 5.3.3.
Сформулируем признаки точной верхней и точной нижней границ функции, представляющие собой переформулировки для данной ситуации соответствующих признаков точной верхней и точной нижней границ числового множества, заключенных в теореме 4.1. в ПредлОзкпнип 5.3. Пусть даны функция Г: М вЂ” Й и непустое множество А С М. Число Ь Е Й является точной верхней границей функции ~ на множестве А в том и только в том случае, если выполнены следующие условия: (а) ~(х) < Ь для любого х Е А; 57 З 5.
Вещественные числовые функции (б) для любого р < А" существует х Е А такой, что р < у(х). Число К является точной нижней границей функции у на множестве А в том н только в том случае, если выполнены следующие условия: (а') Х(х) > К для любого х Е А; (6') для любого д > К найдется х Е А такой, что д > ~(х).
Ф 5.3.4. Отметим-некото ые с в о й с т в а точных г ани ве ествен- ной лекции. (1) Пусть даны функция ~: М вЂ” + Й и множества А,В С М. Тогда в случае А С В.выполняются неравенства вцр у(х) < вцр у(х); шГ у(х) > шГ у(х). яЕА нвн нЕА хвв ДОкАзАтельстВО. Действительно, если А С В, то у[А] С у[В], и результат вытекает из теоремы 4.2. (2) Пусть даны множество М и функции у': М вЂ” ~ Й и д: М вЂ” + Й. Если для всех х из множества А С М выполняется неравенство у(х) < д(х), то шГ у(х) < шГ д(х), вару(х) < вцрд(х).
иЕА кЕА нЕА кЕА ДОказательстВО. Положим Х = 1Ы у(х). Тогда для всех х Е А иЕА имеем К < ~(х) < д(х). Число К тем самым есть нижняя граница функции д на множестве А, значит, К < шЕ д(х). нЕА Первое неравенство доказано. Второе доказывается аналогично. (3) Пусть даны функция у': М вЂ” Й и множество А С М. Тогда ш1 ~(х) = — вир[ — У(х)], вцр Дх) = — шГ [ — У(х)]. нЕА яЕА хЕА ДОказательстВО.
Положим р = шГ У(х), р1 = — вар[ — у(х)]. Для ив А яЕА всякого х Е А имеем р < у(х), — у(х) < — р. Таким образом, — р есть верхняя граница функции — У на множестве А и вар[ — у(х)] < -р, яЕА 58 Гл. 1. Введение в математический анализ откуда рз = зпр[ У(х)[ ~ р. (5.1) зЕА Далее, — р1 = зпр[ — у(х)], откуда вытекает, что — у(х) < — рз для аЕА всех х Е А, так что у(х) > рз для всех х Е А. Таким образом, рз есть нижняя граница г на А и, следовательно, р1 < ш1 у(х) = р.
хЕА (5.2) Сопоставляя неравенства (5.1) и (5.2), заключаем, что р = ры и первое равенство доказано. Второе равенство получим как следствие первого. Равенство шГ у = — зпр[ — у[ выполнено для любой функции у. По- А А этому оно остается верным, если заменить | на — у. Производя такую замену, получим шГ [ — у(х)[ = — зпр у(х), зЕА зЕА откуда зир у(х) = — шГ[ — у(х)], ив А зЕА что и требовалось доказать. ~6. Комплексные числа Понятие комплексного числа возникло в связи с необходимостью 6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
