1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Возьмем произвольно д' < Ь и докажем, что найдется х Е А такой, что а' < х. Если д' < а, то в качестве требуемого х можно взять любой элемент из А. Если же а < д', то А = (а, 6) содержит в себе интервал (а', 6) и, значит, любая точка х Е (д', 6) принадлежит А, при этом а' < х. Тем самым Ь удовлетворяет условию (6) теоремы 4.1 и, следовательно, Ь = япр(а,Ь). Аналогично устанавливается, что а = шГ(а, 6). Лемма доказана. ° Т Следствие. Если числа а < Ь и с < 4 таковы, что имеет место включение (а, 6) С [с, а), то с < а, Ь < а.
Пействительно, предположим, что а < Ь и (а,Ь) С [с,4). Тогда для всех х Е (а, 6) имеют место неравенства с < х < а и, значит, с — нижняя, а 4 — верхняя границы интервала (а,Ь). Следовательно, с < шГ(а, 6) = а, Ь = яцр(а, 6) < д, что и требовалось доказать. Т 4.3. СНОЙОтеО монотонности Относительно вклнзчении точнОЙ ВЕРХНЕЙ И ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ ГРАНИ ° Теорема 4.2. Пусть даны множества А С Й и В С Й. Тогда в случае А С В справедливы неравенства ш1А ) ш1В, янрА < яцрВ.
Наглядно смысл теоремы таков: при увеличении множества его точная верхняя граница не уменьшается, а точная нижняя не увеличивается. Доказательство теоремы. Если множество А пусто, то неравенства выполняются очевидным образом. Будем считать, что А — непусто. Тогда и В ф. Я. Пусть р = шГВ, д = ядр В. Тогда для всякого х Е В имеем: (4.1) р < х < д. Так как А С В, то любой элемент множества А является элементом множества В, и, значит, для всякого х е А выполняются неравенства 38 Гл.
1. Введение в математический анализ (4.1). Это означает, что р есть нижняя, а й — верхняя граница мно- жества А и, следовательно, й > пйп Г+(А) = енр А. р < шах Г (А) = шГА; Теорема доказана. И 4.4. МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЕЛЫХ И РА ИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 4.4.1. Выделим в К три подмножества, играющие определенную самостоятельную роль. Начнем с множества натуральных чисел. Множество А с К назовем индуктивным, если 1 е А и для любого х н А элемент х+ 1 также принадлежит А. Ясно, что множество К всех вещественных чисел индуктивно, так что совокупность всех индуктивных множеств непуста.
Пересечение любой совокупности индуктивных множеств является индуктивным множеством. Действительно, единица входит в каждое из множеств такой совокупности,и, значит, входит и в их пересечение. Если же какое-то число х принадлежит пересечению, то оно принадлежит и каждому из составляющих совокупность множеств, а поскольку все они по предположению индуктивны, то и х+ 1 принадлежит каждому из этих множеств и, стало быть, их пересечению.
Тем самым пересечение любой совокупности индуктивных множеств есть индуктивное множество. Из доказанного, в частности, следует, что пересечение совокупности всех индуктивных множеств есть индуктивное множество. Это пересечение называется множеством натуральных чисел и обозначается символом 1ч (1,2,3,...). Элементы множества 1ч называются натуральными числами. Таким образом, можно сказать, что множество натуральных чисел — это наименьшее из множеств А с К, содержащих единицу и таких, что А + 1 с А, где А + 1 = (х + 1 ~ х е А). В частности, если множество М с 1ч индуктивно, то оно совпадает с 1ч, М=1ч.
Действительно, из определения 1ч' следует, что 1ч с М. Из соотношений М с 1"'( и г( с М вытекает, что 1ч = М. 4.4.2. Из данного выше определения вытекает следующее предложение, называемое принципом математической индукции. 1пе(. Пусть дано некоторое утверждение Р(п), истинность которого зависит от натуральных чисел. Предположим, что З 4. Точные границы числового множества 39 1) Р(1) истинно; 2) нз истинности высказывания Р(п) следует, что истинно также и Р(п + 1). Тогда утверждение Р(п) верно для всех и Е И. 4.4.3. Множество К = И вЂ” И = (х — у ~ х е И, у е И) называется мнохсе- стеом целых чисел. Число х е к называют рациональным, если существуют такие целые числа р и д, что а ~ О и р = ах (то есть х есть частное р(д целых чисел р и а).
Поскольку при любом а ~ О справедливо равенство можно считать, что а есть натуральное число. Множество всех рациональных чисел обозначается символом Я. Всякое число, не принадлежащее Я, называется иррациональным. 4.4.4. Установим несколько важных с в о й с т в множества И. (1) Единица является наименьшим элементом множества И. Действительно, промежуток [1,оо) является индуктивным множеством и, значит, И ~ ~1, со).
Отсюда следует, что для всех и е И выполняется неравенство и > 1 и, стало быть, единица есть наименьший элемент множества И. (2) ЕслипеИни>1, топ — 1ЕИ. Действительно, пусть М есть совокупность всех и е И таких, что либо п = 1, либо п — 1 е И. По условию, 1 е М. Предположим, что и е М. Тогда (и+ 1) — 1 = п Е И и, значит, и+ 1 Е М. В силу принципа индукции, получаем, что М совпадает с И.
Таким образом, всякое число п е И принадлежит М, то есть либо п = 1, либо п — 1 Е И, что и требовалось доказать. (3) Если числа п е И и т е И таковы, что п < т, то разность т — и является натуральным числом. Для п = 1 предложение верно в силу (2). Предположим, что и е И таково, что для всякого натурального т > п разность т — и принадлежит И. Пусть т > п + 1, т е И.
Тогда т > п и, значит, т — п е И. В этом случае т — и > 1. В силу (2), отсюда вытекает, что т — (и+1) = (т — п) — 1 Е И. Мы получаем, что если доказываемое утверждение верно для некоторого и, то оно также остается верным, если заменить и на и+1. В силу принципа индукции, предложение (3) доказано.
40 Гл. 1. Введение в математический вналнэ (4) Пусть числа х Е У и у Е Ж таковы, что х < у. Тогда разность у — х есть натуральное число и справедливо неравенство: х < у — 1. 3 а м е ч а н и е. Неравенство х < у — 1 равносильно неравенству х+ 1 < у. Предложение (4), таким образом, равносильно следующему.
Если числа х, у Е У таковы, что х < у, то у — х Е И и х+ 1 < у. Действительно, пусть х и у суть целые числа, причем х < у. Согласно определению, это означает, что х = р — д, а у = т — з, где р, о, т, з — натуральные числа. Имеем: р — д < т — в, откуда р+ з < т + д. Числа р+ з и т + о — натуральные и, значит, согласно (3), разность (р+ в) — (т+ д) есть натуральное число и потому (т+ д) — (р+ в) > 1. Осталось заметить, что (т + д) — (р+ в) = (т — в) — (р — д) = х — у, и предложение 4 доказано. Из предложения (3) следует, что если х есть целое число, то имеет место одна и только одна из следующих трех возможностей: а)хЕИ; Ь)х=О; с) — хЕИ. Действительно, пусть х Е У,.
Тогда, по определению, х = тп — и, где тп Е И и п Е И. Если х > О, то тп > и и потому согласно (3) х Е И, то есть имеет место случай а). Если х = О, то мы имеем случай Ь). Наконец, если х < О, тот < п и — х = п — тп > О. В силу предложения (3), отсюда вытекает, что — х Е И, то есть для данного х выполнено условие с). Для произвольного множества А С К символом — А будем обозначать множество всех х Е 2 таких, что — х Е А. Формально: — А = (х Е И ~ — х Е А). Из доказанного нетрудно вывести, что выполняется равенство: Ж = И О (О) О ( — 1Ч).
4.4.5. Следующее предложение, которое в соответствии с существующей традицией мы будем называть приннипом Архимеда, характеризует расположение множества натуральных чисел среди вещественных. ° Теорема 4.3 (принцип Архимеда). Множество 1Ч не ограничено сверху в й. Доказательство. Допустим, что И ограничено сверху в К, и пусть Ь = впр И < оо. Для каждого и Е И имеем: и < 1 и, в частности, 41 З 4. Точные границы числового множества 1 < Х. Положим Х' = Х вЂ” 1. Тогда Х,' < Х, и, значит, найдется и Е И такое, что Х,' = Х вЂ” 1 < и. Отсюда Х < п + 1. Число п+ 1 — это элемент И, и поскольку Х = апр И, то п+ 1 < Х.
Итак, с одной стороны, Х < п + 1, а с другой — и + 1 < Х,. Полученное противоречие доказывает теорему. ° Следствие. Каковы бы ни были числа х > О и у > О, х, у Е К, существует п Е И, для которого у < пх. Доказательство. Множество 1Ч, согласно принципу Архимеда, не ограничено сверху и, значит, число у/х не является его верхней границей. Отсюда вытекает, что найдется п е И такое, что у/х < и, то есть у < пх, что и требовалось доказать. Т 4.4.6.
Оп е елим об ее понятие посл овательности. Предварительно опишем некоторый класс подмножеств множества всех целых чисел У.. Пусть й — произвольное целое число. Тогда символом Иь будем обозначать множество всех целых чисел, удовлетворяющих условию в > й. Формально данное определение можно записать так: Иь = ~в Е У ~ г > Ц. Для всякого з Е Иь число г — й + 1 — целое положительное и, следовательно, и = г — Й + 1 есть натуральное число.
Обратно, если и Е 1Ч, то г = и + й — 1 Е Иь. Из определения следует, что й есть нижняя граница множества Иь. Его точная верхняя граница есть оо. Действительно, возьмем произвольно число Х < оо. В силу принципа Архимеда, найдется и Е И такое, что Х вЂ” к < и. Тогда Х, < и+ й. Число в = и+ й — целое. При этом в > й и, значит, з Е Ию Мы видим, что здесь выполнены все условия критерия точной верхней границы множества (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
