1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Пусть Ег С А; Ез С А; Мг С В; Мз С В. Показать, что если Ег С Ез, то ДЕг) С г(Ез); если Мг С Мз, то У-'(Мг) С У-'(Мз). 1.13. Лля произвольной функции ~р: А — ~ й положим: Ео(~р) = ~р ~((0, оо)) = (х Е А: у(х) > 0), Ег(у) = ср ~(( †,О)) = (х б А: у(х) < 0). Пусть даны функции,~: А — К и д: А — ~ К. Пусть Р(х) = г(х)д(х).

Показать равенства Ео(Г) = (Ео(У) И Ео(д)] и (Ег(У) П Ег(д)]; Ег(Г) = (ЕоЦ) П Ег(д)] 0 (Ег(У) й Ео(д)] (теоретико-множественнзя запись правила решения неравенств ница: Дх).д(х) > 0; Дх) д(х) < 0). 1.14. Пусть даны функции Д: А — ~ Ж, 1 = 1,2,...,п. Положим Г(х) = = Л(х) ' Уг(х) . ° Ул(х). Показать, что Ео(Р) = 0 (Е'~(~') й Егз(Я П "П Е~-(Д-)] емгю...,с где каждое из чисел е; принимает только значения 0 и 1 и объединение берется по множеству всех таких комбинаций чисел еы ез,..., е„, сумма которых четна и ео(1); ег(г) имеют тот же смысл, что и в задаче 1.13. 1.15. Пусть А и  — произвольные конечные множества, А имеет и элементов, В имеет пз элементов.

Показать, что общее число отображений множества А в В равно т". 1.10. Пусть А и  — конечные множества, л — число элементов множества А, гл > и — число элементов множества В. Определить число взаимно однозначных отображений множества А в множество В. 1.17. Пусть А — произвольное множество, состоящее из л > и элементов. Пусть аг > О, из > О,..., ль > 0 — такие делые числа, что из+из+ +лв = л.

Показать, что число отображений у: А — ~ 1ь таких, что множество г(1) состоит из иг элементов, множество у г(2) из лз элементов и т. д., -1 л. наконец, 1 (Й) из щ, элементов, равно вг вз. ° ° ° вь ° 78 Гл. 1. Введение в математический анализ 1.18. Дано отображение 1 ) А — В. Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) 1 есть взаимно однозначное отображение; б) 1 ~(1(Е)) = Е для любого Е С А; в) 1(Е П М) = 1(Е) ) ) 1(М) для любых Е С А, М С А; г) 1 (Е) П ДМ) = И для любой пары множеств Е С А, М С А такой, чтоЕПМ=И; д) КЕ'1 М) = ЯЕ) ~ ДМ) для любой пары множеств Е С А, М С А такой, что Е ) М. 1.19.

Пусть даны множества А, В, С, Р и отображения 1 ) А — ) В, д:  — ) С, й ) С вЂ” ) .Р. Доказать, что если каждая из суперпозиций д о 1 и й о д есть взаимно однозначное отображение «на», то и все отображения д, Ь и 1 являются взаимно однозначными отображениями «на». 1.20. Пусть даны произвольные множества А и В и взаимно однозначные отображения,1 ) А -+ В и д )  — ~ А. Доказать, что существуют два подмножества А1, Аз С А и два подмножества В1, Вз С В такие, что В1 = 1(А1), Аз = д(Вз), А10Аз = А, В10Вз = В. 1.21.

Пусть п(А) — число элементов конечного множества А. Доказать следующую общую формулу. Пусть А1, Аз,..., Ао) — конечные множества. Тогда (А А и А )=1 Ь т) [ 1 )ь,пл;,о оА„)~. 1с=1 1 (11 (1з... (1 Ь ( тп Здесь во внутренней сумме суммирование ведется по всем комбинациям индексов: 11, зз,..., 1ю удовлетворяющих условию, стоящему под знаком суммы. 1.22.

Пусть А и  — конечные множества, и — число элементов А, т < и— число элементов В. Обозначим через ьг™ число отображений 1 ) А — ~ В множества А на В. Тогда 11'" = гп!. Вывести формулу, позволяющую вычислять Ь"' по Ь„1, где й < т. 1.23.

Доказать, что для любых двух чисел х и у справедливы равенства 1 щах(х,у) = — (х+ у+ )х — уО = у+ (х — у)+ = х+ (у — х)+, 2 1 тш(х,у) = -(х+ у — )х — уО = у — (х — у) = х — (у — х) 2 1 24 Доказать, что между любыми двумя вещественными числами содержится иррациональное число. 1.25.

Пусть х и у — произвольные вещественные числа. Говорят, что число я яезсит мехсду х и у, если либо х < я < у, либо у < я < х. Множество А С Й называетск выпуклым, если для любых х, у с А всякая точка я, лежащая между х и у также принадлежит А. Доказать, что всякий отрезок 1 = (а, Ь) С Й является выпуклым множеством.

Доказать,что всякое непустое выпуклое множество в Й есть либо одноточечное множество, либо отрезок. 79 Задачи 1.26. Пусть дано произвольное множество сегментов. Доказать, что если любые два сегмента, принадлежащие этому множеству, имеют по крайней мере одну общую точку, то существует число, принадлежащее каждому сегменту данного множества. 1.27 (приниии разделяюивево числа). Пусть А и  — произвольные непустые подмножества множества Я. Предположим, что для всякого х Е А и любого у Е В выполняется неравенство х < у.

Доказать, что тогда найдется число ! Е Я такое, что для всякого х Е А х < ! и для всякого у Е В имеет место неравенство у > !. 1.28. Непустое множество А С Й называется правым лучом, если для всякого х Е А любое у > х, также принадлежит А. Доказать, что всякий правый луч в множестве Й есть либо одноточечное множество (оо), либо промежуток вида (р, оо], где — оо < р < со. 1.29. Говорят, что пара множеств (А, В) образует сечение множества !к, если !к = А О В и для любых х Е А и у Е В выполняется неравенство х < у. Доказать, что если (А, В) — сечение множества !и, то найдется число р Е !к такое, что либо А = ( — оо, р], В = (р, со), либо А = ( — оо, р), В = (р, со).

3 а м е ч а н и е. Доказательства утверждений задач 1.25 — 1.29 существенно опираются на аксиому непрерывности множества всех вещественных чисел. Каждое из них равносильно аксиоме непрерывности, то есть в качестве аксиомы непрерывности можно взять любое из этих предложений и вывести из нее утверждение, принятое нами в качестве аксиомы непрерывности. Отметим, что задача 1.29 содержит классическую форму аксиомы непрерывности, которая чаще всего приводится в руководствах по математическому анализу.

1.30. Пусть А С !к, В С !к — непустые подмножества множества !к и А+ В = = (х = у + я ] у Е А, з Е В). Доказать, что впр(А+ В) = впрА+ впр В; !пЦА+ В) = шГА+ !и!В. При этом считаем, что — со+ х = — со для любого х < со и со+ х = оо для любого х > — оо. 1.31. Пусть а Е Ж и т„: !й — ~ !к — отображение, определенное следующим образом: та(х) = х + а. Доказать, что для любого непустого множества Е С !к имеет место равенство вирта(Е) = впрЕ+ а в том случае, если вирЕ < со, и равенство вирт (Е) = вирЕ, если впрЕ = оо, а также !п1та(Е) = ш!Е+ а, если !п1 Е > — оо, и !п1 та(Е) = !п1 Е, если !пГ Е = — со.

1.32. Зададим функцию ф: !к — ~ !к, полагая ф(х) = — х для любого х Е !и. Доказать, что для любого множества Е С !й имеют место равенства вар 4(Е) = — !п1 Е, !Ы4(Е) = — впрЕ. При этом считаем, что ( — 1)оо = — оо; ( — 1)( — оо) = оо. 1.33. Пусть А — произвольное множество. Доказать, что для любых двух функций 1: А — ~ й, д: А — !и справедливы неравенства !п1 (1(х) +д(х)] > ш1 1(х) + !п1 д(х), яйА зЕА зЕА впр [Дх) + д(х)] < зпр у(х) + впр д(х).

зЕА зЕА яЕА Здесь сумму справа в случае, если адно из слагаемых равно — со (соответ- ственно, оо), следует считать равной — оо (соответственно, оо). 80 Гл. 1. Введение в математический анализ 1.34. Пусть А — произвольное множество. Доказать, что для всякой функции У: А — К и любого числа Л > 0 справедливы равенства: вир Лу(х) = Лепр у(х), ш( Лу(х) = Л ш( у(х). жеА хеА хеА кеА 1.35. Пусть [х) — целая часть числа х Е К, а именно, [х) есть х б У такое, что х < х < з+ 1. Величина (х) = х — [х] называется дробной частью числа х.

Возьмем произвольно иррациональное число а и зададим последовательность (х„)„ел, полагая х„= (па) при всяком и. Доказать, что ш( (х„) = О, енр(х„) = 1. оен оен 1.36. Дана функция у:[а,6] — ~ К. Доказать, что если для любого интервала (с, Н) множество у "((с, Н)) есть интервал, то у' монотонна. 1.37. Доказать, что множество всех отрезков [а, 6], где а и 6 — рациональные числа, счетно. 1.38. На плоскости задана декартова ортогональная система координат.

Доказать, что множество всех точек М, у которых обе координаты х и у — рациональные числа, не более чем счетно. 1.39. Доказать, что всякое множество попарно не пересекающихся интервалов в К не более чем счетно. 1.40. Построить бнективное отображение множества Я в множество Ы. 1.41. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [О, 1] на отрезок (О, Ц. 1.42. Функция у': М вЂ” К такова, что для всякого е > 0 множество значений х б М, для которых ]у(х)[ > е, не более чем счетно. Доказать, что множество тех х Е М, для которых у(х) ф О, не более чем счетно. 1.43. Дана функция у: [О, 1] — ~ К. Предположим, что существует число К < оо такое, что ~ ~~~ у(х)] < К для всякого конечного множества М С [0,1].

Докахем зать, что множество тех х, для которых у(х) ф О, не более чем счетно. 1.44. Пусть А — счетное подмножество множества К. Предположим, что множество А не имеет ни наименьшего, нн наиболыпего элементов, и для любых х, у е А таких, что х < у, существует з е А, для которого х < я < у. Доказать, что тогда существует такая строго возрастающая функция у': А — ~ К, что у'(А) = Я Я вЂ” множество всех рациональных чисел).

1.45. Пусть Š— произвольное подмножество М. По индукции определим функцию ил — К, полагая ин(1) = 1 при 1 Е Е и ин(1) = 0 при 1 ~ Е. Если ил(и) определено для некоторого п е г1, то в случае, когда п + 1 Е Е, пусть ин(п + 1) = ин(п) + 1, а если п + 1 ~ Е,положим он(п + 1) = ин(п).

Доказать,что справедливы следующие утверждения: а) если Е = И, то ин(п) = 0; Ь) если Е есть непустое конечное множество, то ин есть биективное отображение множества Е в отрезок 1„множества Я, где и — число элементов множества Е; с) если множество Е бесконечно, то функция ин взаимно однозначно отображает множество Е на г(. Глава 2 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛА ° Понятия предельной точки множества ° Определения предела и непрерывной функции ° Теорема о предельном переходе в неравенстве ° Единственность предела ° Сугцествоваиие предела и асимптотическвл ограниченность функции ° Теорема о зажатой переменной ° Операции с бесконечно малыми ° Теоремы о пределах суммы, произведения и частного ° Теоремы о замене переменной под знаком предела ° Теорема о существовании предела у монотонной функции ° Теорема о вложенных отрезках ° Понятие одностороннего предела ° Критерий Коши — Больцано существования конечного предела ° Теорема Коши о промежуточных значениях и ее следствия (теорема о существовании непрерывной обратной функции) ° Теорема выбора Вейерштрасса ° Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции ° Теорема Гейне о равномерной непрерыв ности ° Модуль непрерывности функпии ° Критерий Гейне существования предела ° Верхний и нижний пределы последовательности ° 82 Гл.

2. Теория предела ~1. Определение и простейшие свойства предела Понятие предела есть одно из главных средств, с помощью которых определяется большинство основных объектов, изучаемых в математическом анализе, в частности, такие как производная функции, сумма ряда и многие другие. Мы исследуем здесь понятие предела в простейшей ситуации, когда речь идет о функциях, определенных на подмножествах множества всех вещественных чисел Ж.

Сначала определяется понятие предельной точки для произвольного множества М С Й. Наглядно оно может быть охарактеризовано следующим образом. Число р Е К есть предельная точка множества М, если М содержит точки, произвольно близкие к точке р и в то же время с ней не совпадающие. Всякое число р Е К, например, является предельной точкой множества яя. Предположим, что У(х) есть числовая функция, определенная на множестве М С Й, и пусть р Е К есть предельная точка множества М. Если при приближении точки х к точке р по множеству М величина ~(х) неограниченно приближается к некоторому числу Ь, то говорят, что я.

Характеристики

Список файлов книги