1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Доказательство. Пусть Ь Е ( — со, оо) есть предел данной последовательности. Выберем произвольно некоторое число. В случае, когда Ь вЂ” конечно, это число мы обозначим е и потребуем, чтобы выполнялось неравенство е > О. Если Ь = оо, то это число обозначим символом К и от него будем требовать только, чтобы оно было конечно. Согласно определению предела, найдется окрестность У точки оо такая, что для всякого и Е У й Ыь в случае конечного Ь выполняется неравенство ~х„— Ц < е, в случае Ь = оо — неравенство х„> К. Окрестность У есть полуинтервал вида (Н,оо). Выберем произвольно й Е г1ь такое, что й > Н.
Если и > й, то и Е У, и, значит, для этого и выполняются неравенства, требуемые определением предела, то есть |х„— Ь~ < е в случае конечного Ь, и х > .К, если Ь = оо. Необходимость условия леммы установлена. Покажем д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть Ь конечно. Предположим, что для всякого е > О можно указать номер й такой, что для любого и > й выполняется неравенство: ~х — Ц < е. Зададим произвольно е > О и найдем соответствующее значение й Е г1ю Положим У = (й, оо).
Если и Е У, то и > й, и, следовательно, (х„— Ц < е. Итак, для всякого е > О существует окрестность У точки оо такая, что для любого и Е У й Иь выполняется неравенство: ~х„— Ь~ < е. Тем самым доказано, что Ь есть предел последовательности (х„) ен . В случае Х = оо рассуждения аналогичны. Лемма доказана. ° 1.2.4.
Рассмот им некото ые п и м е ы. ХХример Х. Пусть М есть произвольное подмножество Й и пусть р Е й есть предельная точка М. 93 з 1. Определение и простейшие свойства предела Предположим, что функция ~: М вЂ” К постоянна на множестве М, то есть существует число Ь Е я1 такое, что Дх) = Ь для всех х Е М. Тогда число Ь и является пределом функции Дх) при х — р. Действительно, пусть дано е > О. Пусть У есть произвольны окрестность точки р.
Для всякого х Е М, принадлежащего окрестности У и отличного от р, ~~(х) — Ь~ = О < е. Согласно определению предела, это означает,что Ь = 1пп у(х). х р,хЕМ Пример 2. Пусть М вЂ” произвольное множество вещественных чисел, р — предельны точка М. Пусть ум есть отображение вложения множества М в К, ум(х) = х для всякого х Е М. Тогда для всякой точки р б Е1т(М) предел Ищ ум(х) существует и равен р. х р,хЕМ Докажем это утверждение. Пусть р Е Егрп(М) — конечно. Зададим произвольно е > О.
Положим 6 = е и У = (р — б,р+ 6). Тогда для всякого х Е М ~ (р) такого, что х Е У, имеет место неравенство: Цм(х) — р~ = )х — р~ < 6 = е. В силу произвольности е > О, р есть предел ум(х) при х — р по М. Пусть р = оо. Зададим произвольно К < оо. Пусть У есть окрестность (.К, оо) точки р. Тогда для всякого х Е М П У выполняется неравенство: ум(х) = х > К.
В силу произвольности К < оо, справедливо р = оо = 11п1 1м(х). х р,хЕМ Пусть р = — оо. Докажем, что в этом случае ыщ ( — ум(х)] = оо. х р,хЕМ Зададим произвольно К Е К и положим У = [ — со, —.К). Очевидно, У Е О( — оо). Для всякого х Е У П М имеем: зм(х) = х < — К и, значит, — ум(х) > .К. В силу произвольности К Е В этим доказано, что 1пп (-зм(х)] = оо х -ох,хЕМ и, следовательно, 1пп ум(х) = — оо.
х -хх,хЕМ Иржмер 3. Применяя результат примера 2 к случаю, когда М = 1х', получим, что предел последовательности (х„)„еп такой, что х„= и для Гл. 2. Теория предела всех и, равен оо, то есть Вш и = оо. Согласно определению, отсюда следует, что 1пп ( — а) = — со. 1 Воспользуемся результатом леммы 1.5. Имеем: Я+(и) = — для п всех и. На основании леммы 1.5 получаем, что последовательность () 11 1 — ) имеет предел, равный нулю, 11ш — = О. хек х:х и 1.3.
Попятив нкпркрывной функ ии 1.3.1. Пусть дана функция у:М вЂ” й, где М С Й. Функция у называется непрерывной в точке р Е М„если выполнено следующее условие: каково бы ни было е > О, по нему найдется окрестность У точки р такая, что для любой точки х множества М, принадлежащей окрестности У, выполняется неравенство ~У(х) — У(р) ~ < е. Это определение может быть записано следующим образом: (функция у: М вЂ” + 1к непрерывна в точке р Е М) с» ср (Че > 0) (3 У Е О(р))(чх Е У П М) ~У(х) — у(р) ~ < е.
Говорят, что функция у: М вЂ” К непрерывна, если она непрерывна в каждой точке множества М. Понятие непрерывности, как и понятие предела, мы определяем только для функпий с конечными значениями. Это не связано с какими- либо трудностями принципиального характера, а вызвано только соображениями простоты изложения. ° Теорема 1.2. Пусть дано множество М С Й и р Е М является предельной точкой множества М. Для того чтобы функция у": М вЂ” + К была непрерывна в точке р, необходимо и достаточно, чтобы ее значение в этой точке было пределом у(х) при х, стремящемся к р по М. Доказательство.
Пусть р Е М есть предельны точка множества М. Предположим, что функция У непрерывна в точке р Е М. Зададим произвольно е > О. Согласно определению функции, непрерывной в точке р, найдется окрестность У точки р такая, что для всякого х Е М, принадлежащего окрестности У, выполняется неравенство: ~У(х) — у(р) ~ < е. В частности, это неравенство выполняется и для точек х Е (У й М) 1 1р), как это требуется определением предела. Так как е > 0 было выбрано произвольно, то тем самым доказано, что У(р) = 1 У(х). х р,хам 95 З 1.
Определение и простейшие свойства предела Теперь пусть для функции Х: М вЂ” К справедливо соотношение: Х(р) = 1пп Х(х). Зададим произвольно е > О. По нему найдется окрестность У точки р такая, что если х Е УП(М~ (р)), то Щх) — Х(р) ~ < е. Это неравенство выполняется для всех х Е У П М. Если х ф р, то неравенство верно, в силу выбора окрестности У. Если же х = р, то ~У(х) — Х(р) ~ = О < е. Так как е > О было выбрано произвольно, то тем самым установлено, что функция Х непрерывна в точке р.
Теорема доказана. ° 1.4. ТЕОРЕМА О ПРИ ЕПЬНОМ ПЕРВХОПЕ В НЕРАВЕНСТВЕ. ЕПИНСТВЕННОСТЬ ПРЕПЕПА 1.4.1. Доказательство основного результата этого раздела существенно опирается на следуюшую лемму. ° Лемма 1.7. Пусть даны функция У: М вЂ” Е и число Х е Й. Предположим, что Х = 1пп Х(х). в раем Тогда для любого числа К ~ Х можно указать окрестность У точки р такую, что для всякого х й М, принадлежащего множеству У и отличного отр, в случае К < Х, выполняетсянеравенство К < Х(х), аз случае К > Х вЂ” неравенство К > У(х). (Иначе говоря, если х Е У й (М 1 (р)), то величина Х(х) лежит по ту ж е с т о р о ну от К, что и предел Х функции Х.) Лоиазательстно.
Пусть Х = 1пп Х(х) и К ~ Х, К Е Й. в р,вЕМ Предположим сначала, что Х вЂ” конечно. Тогда найдется число е > О такое, что если Х < К, то Х + е < К, а если Х > К, то Х вЂ” е > .К. Согласно определению предела, найдется окрестность У точки р такая, что для всех х Е УПМ, отличных от р, выполняется неравенство: ~Х(х) — Ц < е, то есть Х вЂ” и < Х(х) < Х + е для любого х Е У й М, отличного от р.
Отсюда, в силу выбора е > О, следует, что для всех таких х в случае К < Х, выполняется неравенство К < Х(х), а если К > Х, то неравенство К > Х(х), и для случая конечного Х требуемое утверждение доказано. Пусть Х = оо и пусть К ~ Х. Тогда К < Х и, значит, согласно определению предела, равного со, найдется окрестность У точки р такая, что для любого х Е ХХ й (М 1 (р)) выполняется неравенство: Х(х) > К. Данная окрестность У точки р, очевидно, и есть искомая. 9б Гл. 2.
Теория предела Пусть Е = — оо. По определению это означает, что 1пп [ — у(х)) = оо. я реем Зададим произвольно К Е Н и положим К1 = — К. Согласно определению предела, равного оо, найдется окрестность У точки р такая, что длЯ всех х Е У й (М ~ (Р)) выполниетсЯ неРавенство: — 1(х) > .Кы и, значит, у(х) < — Кг = К для всех таких х. Лемма доказана. ° Следствие 1. Пусть даны произвольное множество М С Й и функция 1: М вЂ” + и. Предположим, что функция У непрерывна в точке хо б М. Если хо — конечно, то для всякого числа К ф У(хо) найдется число 6 > О такое, что для всех х Е М, для которых [х — хе[ < 6, при К < У(хе) выполняется неравенство К < У(х), а при К > Х(хо)— неравенство К > У(х). Если хе = оо, то для любого К ф У(хе) найдется число Н < оо такое, что если х Е М и Н < х, то при К < 1(хе) выполняется неравенство .К < 1(х), а при К > у(хе) — неравенство К > у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
