1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 22
Текст из файла (страница 22)
112 Гл. 2. Теория предела Доказательство. Пусть дана функция У: М вЂ” С. Определим по ней новую функцию е: М вЂ” С, полагая о(х) = 1, если )'(х) = О, о(х) = при т'(х) ф О. ]у( )! у'(х) 1 Для всех х выполняются равенства ]о(х)] = 1 и — = 1 и, знатт(х) 1 чит, функции и и — являются ограниченными. Отсюда вытекает, что 1 е(х) = 0(1) и — = 0(1) при х — ~ р. о (х) 1 Имеем: ~Дх)] = а(х)1(х), у(х) = — ],1(х)( при всяком х е М. Отсюда тт(х) следует, что если одна из функций т" и ]у] является бесконечно малой при х — р, то и другая будет таковой, как произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции.
Следствие доказано. 2.2. ТкоРкмы ов опкРл иях с пРВ кллми. Случлй конкчных ПРк клев Ь = Нт,т'(х). х р,хеМ Для вещественных функций справедливость данных утверждений следует из леммы 1.4, для функций со значениями в С вЂ” непосредственно из определения предела для комплексных функций. И Теорема 2.3. Предположим, что числовые функции т' н д, определенные на множестве М, имеют предельг. 1пв д(х) = Ь, х р,хЕМ 11пт у(х) = К; х р,хЕМ причем в случае, если у и д — вещественные функции, этн пределы конечны.
Тогда каждая из функций ф, У+ д и Уд также имеет предел при х — р. Прн этом 1пе ~Дх)~ = ]К]; Нш[т(х) + д(х)] = К+ Ь; 1пп у(х)д(х) = КХ. Зададим произвольно непустое множество М с %, и пусть р есть предельная точка М. Пусть даны числовая функция 1, определенная на множестве М, и число Ь е С. Положим и(х) = у(х) — Ь.
Если Ь является пределом у(х) при х, стремящемся к р по множеству М, то и(х) = о(1) при х- р по М. Обратно, если Ь е С и функция у: М вЂ” С таковы, что разность у(х) — Ь = и(х), где и(х) = о(1) при х — р по множеству М, то З 2. Теоремы об операциях над пределами Если д(х) ~ О для всех х Е М и Ь ~ О, то также и функция — имеет предел У д при х — р. В этом случае у(х) К 1ип х р,тем д(х) Ь Доказательство.
Пусть функции г и д удовлетворяют условиям теоремы. Имеем: Ях) = К + и(х); д(х) = Ь + и(х), где и(х) = о(1) и е(х) = о(1) при х — р. Для всякого х б М выполняется неравенство: ]/,г(х)) — ]К]) < '1г(х) — К) = ]и(х)/. Согласно следствию 3 теоремы 2.2, функция ]и(х)] является бесконечно малой при х — р по множеству М.
Следствие 1 теоремы о эахсатой переменной (теорема 1.5) позволяет заключить, что ]]У'(х)] — ]К]] = о(1) при х -+ р и, значит, ]К] есть предел функции ] )'] при х — р. Имеем: у(х) + д(х) = К + Ь + и(х) + е(х). На основании теоремы 2.1, и(х) + е(х) = о(1) при х — р, откуда следует, что К+ Ь = 1пп [у(х) + д(х)], и утверждение, касающееся суммы, доказано. Рассмотрим произведение: 1(х)д(х) = (К + и(х))д(х) = Кд(х) + и(х)д(х) = = КЕ+ Ко(х) + и(х)д(х) = КТ + ш(х), где ю(х) = Ке(х) + и(х)д(х). Следствия 1 и 2 теоремы 2.2 позволяют теперь заключить, что Ко(х) = о(1) и и(х)д(х) = о(1) при х — р.
В силу теоремы 2.1, отсюда следует, что ы(х) = о(1) при х — р, и утверждение, касающееся произведения, доказано. Гл. 2. Теория предела Предположим, что д(т) ф О для всех т Е М и Х ~ О. По доказанно- ]Х! = 11 ]д(: )] му, Так как [Х [ ) [Х [/2, то, как следует из леммы 1.7, найдется окрестность Х7 точки р такая, что для всякого и Е У П (М 1 (р)) выполняется неравенство: [д(т)[ ) ]Х [/2. Для любого такого т, очевидно, [1/д(я)[ ( 2/[Х [. Таким образом, 1/д(т) = 0(1) при т — ~ р. Далее, имеем: /(я) К Х.Х(х) — Кд(т) д(я) Х Хд(я) Х [К+и(х)] — К[А+в(т)] 1 ~ .К Теоремы 2.1 и 2.2 позволяют заключить, что и(т) — — е(х) = о(1) К Х при х — р.
Так как 1/д(т) = 0(1) при т — р, то, в силу теоремы 2.2, отсюда вытекает, что — — — = о(1) /(т) К д(х) Х при я — + р, и, значит, К . Х(я) — = Иш —. Х ж яд(т) Теорема доказана. ° 2.3. Прлвилл злмкны пкркмкнной под знлком пркдклл Один из основных приемов, применяемых при решении различных задач математического анализа, — замена переменной. Формально этот прием состоит в переходе от исходной функции Х(х) к суперпозиции /[у($)].
При надлежащем выборе функции р($), функция /[р(1)] может оказаться устроенной проще, чем /(т) в том смысле, что интересующая нас задача в результате преобразуется в такую, которую мы уже умеем решать. Найдя решение этой новой задачи, мы сможем решить и первоначальную задачу. Приведем здесь теоремы,на которых основано применение указанного приема в теории предела.
115 'З 2. Теоремы об операциях иад пределами 2.3.1. Предварительно докажем следующее предложение. ° Лемма 2.1. Пусть даны множество Е С Й, его предельная точка а и вещественная функция х, определенная на множестве Е. Предположим, что р = 1пп х(~). з яхев Тогда для всякой окрестности У точки р можно указать окрестность У точки а такую, что для всякого Ф Е Е, отличного от а и принадлежащего окрестности Ъ; значение функции х в точке Ф принадлежит окрестности У. Доказательство.
Пусть выполнены все условия леммы. Зададим произвольно окрестность У точки р. Предположим сначала, что р конечно. Тогда У есть интервал (р — е, р+ е), где е > О. Согласно определению предела, найдется окрестность У точки а такая, что для всех 1 Е У й (Е ~ (а)) выполняется неравенство: [х(М) — р[ < е и, значит, х(1) Е У для всех таких Ф.
В случае р = асс требуемое также непосредственно следует из определения предела. Если р = оо, то окрестность У точки р есть промежуток вида (Х,оо]. Согласно определению предела, равного оо, найдется окрестность У точки а такая, что для всех Ф Е $' й (Е ~ (а)) выполняется неравенство х(Ф) > Х и, следовательно, х(1) Е У для всех таких Ф. Если р = — оо, то У = [ — оо,Х), где Х > — оо. В этом случае йщ [ — х(Ф)] = оо и, значит, найдется окрестность Ъ' точки а такая, с а зев что для всякого 1 Е У й Е, отличного от а, выполняется неравенство: — х(Ф) > — Х, и, стало быть, х(1) < Х, то есть х(Ф) Е У для всех таких 1. Лемма доказана.
° ° Теорема 2.4 (о непрерывности суперпозиции непрерывных функций). Пусть даны множества М С Ж, Е С Й, функция ~, определенная на множестве М, и функция х, определенная на множестве Е. Предположим, что х(М) Е М для всех Ф й Е и функция х непрерывна в точке а Е Е. Если функция г непрерывна в точке р = х(Ф), то функция г о х: 1 Е Е У[х(Ф)] является непрерывной в точке а. Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы.
Зададим произвольно е > О. Так как функция х всюду конечна, то р = х(а)— конечно. Значит, согласно определению функции, непрерывной в точке р, найдется б > О такое, что если х Е М и [х — р[ < б, то [У(х) — ~(р) [ < е. 116 Гл. 2. Теория предела Так как функция х, по условию, непрерывна в точке а е Е и б > О, то, согласно определению непрерывной в точке функции, найдется окрестность р точки а такая, что для всякого 1 Е Е, принадлежащего данной окрестности К выполняется неравенство: Возьмем произвольно 1 е У г1 Е. Положим х = х(1). Из условий теоремы следует, что х е М. В силу выбора окрестности К будем иметь: ~х — р~ < б, и, значит, [1[х) — г[р)[ < е.
Так как 1 е р й Е было выбрано произвольно, то мы, следовательно, получаем, что для любого 1 е У й Е выполняется неравенство: [Я[х[$)! — [[х(а)[~ < а Число е ) О было задано произвольно. Мы видим, что для функции 1' ох выполнены все условия определения непрерывности в точке а. Теорема доказана. И ч Следствие.
Пусть даны множество М с Й, точка р е М и множество С ~ М такое, что р Е С. Если функция 1: М вЂ” и непрерывна в точке р, то функция Яо . х е с 1[х) — ограничение функции г' на множество С вЂ” непрерывна в точке р. Доказательство. Отображение 1о: х е С х е К непрерывно. Имеем: 1[о = 1 о 1о. В силУ теоРемы 2.4, отсюда вытекает непРеРывность отображения До — сужения отображения У на множестве С, что н требовалось доказать.
2.3.2. Теперь докажем первую теорему о замене переменной под знаком предела. ° Теорема 2.5 (первая теорема о пределе сложной функции). Пусть даны множества М С Ж, Е ~ Й, функция 1, определенная на множестве М, и функция х, определенны на множестве Е. Пусть а есть предельны точка множества Е. Предположим, что выполнены следующие условию а) х(Ф) Е М для всех 1 Е Е, и существует предел 1пп х(1) =р, с алев причем р Е М; б) функция 1 непрерывна в точке р. Тогда сложная функция У[х(8)) имеет предел при 1 — а по множеству Е. При этом 11т у[х(Ф)[ = у(р). с плен 117 'З 2. Теоремы об операциях вал пределами Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Зададим произвольно е > О. Так как, по условию, функция у непрерывна в точке р, то найдется окрестность У точки р такая, что для всякого х Е У й М выполняется неравенство: [У(х) — У(р)[ < е.
Имеем, по условию, р= 1пп х(Ф). В силу леммы 2.1, найдется Ф а,Фее окрестность 1' точки а такая, что для всякого 8 Е Ъ' й (Е ~ (а)) точка х = х(Ф) принадлежит окрестности У. Окрестность У, по условию, такова, что для всякого х Е У П М выполняется неравенство: [у(х) — у(р)[ < е. В частности, мы получаем, что для всякого Ф Е $" О (Е ~ (а)) выполняется неравенство: [У[х($)] — У(р)[ < е.
Так как е > О было выбрано произвольно, то тем самым установлено, что у(р) = 1пп у [х(г)]. з-яаев Теорема доказана. ° Следствие. Если функция ~, определенная на множестве М с Й, непрерывна в точке р Е М, то для всякой последовательности (х„)„ен точек множества М, имеющей пределом точку р, выполняется равенство: г'(р) = 1пп г"(х„). Панное утверждение есть тот частный случай теоремы 2.5, когда Е = Р1ь и а = со. 2.3.3. Второй результат о замене переменной под знаком предела дается следующей теоремой 2.6. По сравнению с теоремой 2.5, требования на функцию у(х) в ней несколько ослаблены. При этом, однако, требования, налагаемые на х(1), в сравнении с теоремой 2.5, усилены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
