1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В силу леммы 1.9, 1пп х„= р, так что последовательность (х )„ев и есть требуемая. З 1. Определение н простейшие свойства предела Предположим, что точка р й Й такова, что для нее существует последовательность (т„)„еп точек множества М такая, что ж„ф р при каждом и и р есть предел этой последовательности. Пусть р — конечно. Зададим произвольно окрестность У точхи р. Если р — конечно, то У = (р — е,р+ е), где е > О. Согласно лемме 1.6, найдется Н такое, что если и > й, то ~я„— р~ ( е.
Для всех таких и имеем я й У. Если р = оо, то У = (К, со), где .К Е 2. Применяя определение предела в этом случае, получим, что найдется номер Н такой, что для всех п > й будет х„> К и, значит, я„Н У для любого такого значения к. Аналогично рассуждаем в случае р = — оо. Таким образом, любая окрестность У точки р содержит элементы множества М, отличные от точки р и такие, что я„е У. Согласно определению, это и означает, что р есть предельная точка множества М. Лемма доказана. ° 1.8.
ПОНЯТИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРЕДЕЛА ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКПИй Оп елим понятия е ела и неп е ывности ля нк й с комплексными значениями. Пусть дано множество М с Й и р Е Й есть предельная точка М. Предположим, что задана функция у, определенная на М и принимающая значения в множестве всех комплексных чисел С. Число с й С называется предепод 4ункцип у" при х, стремящемся к р по множеству М, если выполнено следующее условие: Бпз !~(х) — с/ = О.
х р,хам Комплексная функция у: М вЂ” ~ С, где М С Й, называется непрерывной в точке яс й М, если каждая из вещественных функций В.еу и 1щу непрерывна в этой точке. Обозначения и терминология, введенные ранее для случая вещественных функций, автоматически переносятся на случай комплексных функций. Отметим, что для комплексных функций понятие бесконечного предела не определяется. ° Теорема 2.6.
Пусть даны множество М С Й, число р й АдглМ и комплексная функция ~, определенная на множестве М. Лля того чтобы комплехсное число с было пределом функции г(х) при я, стремящемся 108 Гл. 2. Теория предела к р по множеству М, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись со- отношения: Ве с = 1пп Ке /(х), оп с = 1пп 1гп /(х) . х рЛЕМ х р,хЕМ Комплексная функция, определенная на множестве М с К, может иметь не более одного предела при х, стремящемся к р е Гата(М) по множеству М. Если комплексная функция имеет предел при х — р по множеству М, то она является асимптотически ограниченной при х — р по М. Доказательство.
Заметим, что для произвольного комплексного числа х = р+ щ, где р е й и д е К, справедливы следующие легко проверяемые неравенства: !Ф <!4 !4 < Ф !4 < Ф+!ч!. (1.8) Положим: Ве/(х) = и(х), 1ш У(х) = р(х), а = Вес и Ь = 1тс. Применяя неравенства (1.8), получим, что справедливы неравенства: 1и(х) — а/ < !/(х) — с), !р(х) — Ь| < !/(х) — с!, (1.9) //(х) — с/ < 1и(х) — а/ + !р(х) — ЬЬ (1.10) Из соотношений (1.10) следует необходимость условий теоремы. Докажем их д о с т а т о ч н о с т ь.
Пусть а = 1пп и(х), Ь = йш р(х), с = а+1Ь. Зададим произвольно е > О. Согласно определению предела, найдутся У, е О(р) и У2 Е с (р) такие, что если х б У1 П М ~ (р), то (и(х) — а~ < е/2, а если х Е Уд й М ~ (р), то (р(х) — Ь| < е/2. По лемме 1.1 найдется У е 0(р) такое, что У1 з 1/ и У2 э У. Для всякого х Е Уй М Цр), в силу неравенства (1.10), имеем: )/(х) — с) < е/2+ е/2 = е. Так как е > О произвольно, то тем самым доказано, что 1пп (/(х) — с! = О, х р,хЕМ то есть с= 1пп /(х). р,хЕМ Пусть сг = 1пп /(х) и с2 = йш /(х).
Тогда из доказанного слех р,хЕМ х р,хЕМ дует, что Ке с1 — — 1пп Не /(х), 1п1 с1 = !па 1п1 /(х), х р,хЕМ х р,хЕМ Весх = 1пп Ве/(х), 1шс2 = йш 1т 5(х). х р,хЕМ х р,хЕМ 'З 2. Теоремы об операциях нап пределами Как показано выше, вещественная функция может иметь не более одного предела. Отсюда вытекает, что В.ес1 = В.е си и 1ш сг = 1ш си, и, значит, с1 = сг.
Справедливость утверждения теоремы об асимптотической ограниченности при х -+ р по М функции у : М вЂ” С устанавливается рассуждениями, дословно повторяющими доказательство теоремы 1.4, и мы их опускаем. Теорема доказана. Ь ~2. Теоремы об операциях над пределами Основные результаты этого параграфа — теоремы, которые кратко можно сформулировать так: предел суммы (соответственно, произведении) двух и более функций, каждая иэ которых имеет предел, равен сумме (соответственно, произведению) пределов исходных функций; предел частного двух функций равен частному пределов этих функций.
(Последнее утверждение верно лишь при условии, что предел функции, стоящей в знаменателе, отличен от нуля.) Другой важный результат, который устанавливается здесь, — это теоремы о пределе суперпозиции двух функций, каждая из которых имеет предел. 2.1. ОПЕРА ИИ С БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ 2.1.1. Зададим произвольно непустое множество М С Й и его предельную точку р. Все функции, рассматриваемые здесь, предполагаются определенными на множестве М и принимающими значения либо в множестве всех вещественных чисел К, либо в множестве всех комплексных чисел С. Всякую такую функцию мы будем именовать числовой функцией, определенной на множестве М.
Напомним, что числовая функция Дх) называется бесконечно малой при х -+ р по множеству М, если 11ш у(х) = О. В этом случае р р,хам используется также обозначение: Дх) = о(1) при х — р, х Е М. ° Теорема 2.1. Пусть даны числовые функции Д, у = 1,2,...,т, определенные на множестве М. Если )1(х) = о(1) при х — ~ р по множеству М для каждого и' = 1, 2,..., т, то также и У1(х) + Уг(х) + . + ) (х) = о(1) при х — р по множеству М.
По Гл. 2. Теория предела Доказательство. Пусть функции Д, у' = 1, 2,..., т, удовлетворяют условиям теоремы. Зададим произвольно е > О. Положим е1 = е/гп. Тогда е1 > О и, стало быть, при каждом у = 1, 2,..., тп найдется окрестность У точки р такы, что для всякого х Е У й (М 1 (р)) выполняется неравенство: ~Ях) ~ < е1. Согласно лемме 1.1, найдется окрестность У точки р, содержащаяся в каждой из окрестностей Уг, у = 1, 2,..., т.
Возьмем произвольно х Е М такое, что х Е У и х ф. р. Тогда х Е Уу для любого у = 1, 2,..., тп и, значит, для всякого у имеет место неравенство ~~г(х) ~ < е1. Отсюда следует, что для любого х Е У П (М 1 (р)) выполняется неравенство: (~1(х) + ~г(х) + ° ° + ~ (х)~ < ~~1(х)~+!Уг(х)(+ ° + )У (х)~ < пге1 = е. Так как е > Π— произвольно, и для выполнения последнего неравенства требовалось лишь, чтобы х Е М, отличное от р, принадлежало окрестности У точки р, то тем самым установлено, что О = 1пп(Ях)+ Б(х) +" + ~„,(х)).
Теорема доказана. ° Выше (см. и. 1.5) было введено понятие функции, асимптотически ограниченной при х, стремящемся к р по множеству М. Напомним, что, согласно определению, функция Г: М вЂ” С называется асимптотически ограниченной при х -+ р по М, если существует окрестность У точки р такы, что функция у является ограниченной на множестве У П М 1 (р), то есть можно указать положительную постоянную К < оо, для которой при любом х Е У й М 1 (р) выполняется равенство: ~Дх)~ < К. Тот факт,что функция У удовлетворяет данному условию, сокращенно записывается следующим образом: у(х) = О(1) при х — р по М. Согласно теореме 1.4, если вещественны функция у имеет конечный предел при х — ~ р по М, то она является асимптотически ограниченной при х, стремящемся к р по множеству М.
В силу теоремы 1.6, то же самое верно и для функций со значениями в С. ° Теорема 2.2. Пусть даны числовые функции У и д, определенные на множестве М. Ясли функция У является бесконечно малой, а д — асимлтотически ограничена при х -+ р, то произведение ~д есть функция, бесконечно мелая при х — р ло множеству М. Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы. Так как д(х) = 0(1) при х -+ р, то найдутся окрестность У1 точки р и 'З 2.
Теоремы об операциях над пределами число Ь < оо такие, что для любого х Е Уз й (М 1 (р1) выполняется неравенство ~д(х)~ < Ь. Зададим произвольно е > О. Пусть ез = е/(Ь+ 1). Так как ~ есть бесконечно малая при х — ~ р функция, то найдется окрестность Пз точки р такая, что для всякого х Е Ор П (М 1 (р)) имеет место неравенство: ~У(х)~ < ез.
Пусть У есть окрестность точки р, содержащаяся в каждой из окрестностей У~ и Уз. Возьмем произвольно точку х Е У П (М ~ (р)) такую, что х ~ р и одновременно х Е У. Так как У С Уз, то х Е Уз и, значит, для этого х верно неравенство ~д(х)~ < Ь. Так как У С Уз, то х Е Уз, откуда следует, что для данного х имеет место неравенство: ~У(х)~ < = Я1+1). В результате получаем, что для всякого х Е У П М 1 (р) выполняется неравенство: )~(х)д(х)) < < е.
Так как е > О было выбрано произвольно, то из доказанного, согласно определению предела, вытекает, что О = Бщ у(х)д(х), то есть я Р,яям у(х)д(х) = о(1) при х — р по множеству М. Теорема доказана. ° Следствие я. Пусть функция д имеет конечный предел, а фунхпия 1 является бесконечно малой при х — р. Тогда у(х)д(х) = о(1) при х — ~ р. Действительно, если предел 1пп д(х) существует и конечен,то, сох я гласно теореме 1.3, фунхция д является асимптотически ограниченной при х — ~ р, откуда и вытекает требуемое утверждение.
У Следствие 2. Если у(х) = о(1) при х — р, то для всякого Л Е С также и Л1(х) = о(1) при х -+ р. Очевидно — в силу следствия 1. Т Следствие 3. Числовая фунхция 1: М вЂ” + С, определенная на множестве М С Й, является бесхонечно малой при х -+ р в том и тольхо в том случае, если выполняется соотношение ~~(. )~ = о(1) при х — р по множеству М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
