1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 23
Текст из файла (страница 23)
° Теорема 2.6 (вторая теорема о пределе сложной функции). Пусть даны множество М С Й, предельная точка р множества М, множество Е С Й, имеющее предельную точку а, и функции г" и х, определенные на множествах М и Е, соответственно. Предположим, что р = 1пп х($), яхев причем для всех Ф 6 Е, отличных от а, хЯ Е М и р ~ х(1). Если функция 7 имеет предел при х, стремюцемся и р по множеству М, то функция Дх(1)] имеет предел при 1, стремящемся к а по множеству Е. При этом имеет место равенство: Бпз,('[х(г)] = 1пп у(х). 118 Гл. 2.
Теория предела ,Доказательство. Предположим, что все условия теоремы выполнены. Пусть Š— конечно. Зададим произвольно е > О. Так как, по условию, Ь есть предел У(х) при х, стремящемся к р по множеству М, то найдется окрестность У точки р такая, что для всякого х е У П М, отличного от р, выполняется неравенство: [1(х) — Ц < е. Имеем, по условию, р = 1пп х(е). С а,СЕЕ В силу леммы 2.1, найдется окрестность |с точки а такая, что для всякого С Е УП(Е~(а)) точка х = х(Е) принадлежит окрестности сс, причем х(Е) ~ р.
По условию, х(Е) Е М для всех с Е Е. Окрестность У такова, что для всякого х е У П (М ~ (р)) выполняется неравенство: [Дх) — Ц < е. В частности, мы получаем, что для всякого е е Е, отличного от а и принаддежащего окрестности )с, выполняется неравенство: )Дх(й)] — Ь] < е. В силу произвольности е > О, тем самым установлено, что Ь = 1пп ~[х(1)]. С а,СЕЕ Пусть Е = со. Положим Е(х) = В» [1(х)], где функция В+ определена равенствами: 1 — при х > 1; 1 прих<1.
Согласно лемме 1.5, 1пп Е(х) = О. Отсюда, по доказанному, слех р,хеМ дует, что оп Е[х(с)] = О. Имеем: Г[х(с)] = В+[У[х(с)]]. Применяя лемму С-,СЕН 1.5 еще раз, заключаем, что 1пп ([х(~)] = оо. С а,СЕЕ Если Е = 1пп Дх) = — оо, то йш [ — Дх)] = со, и, значит, по дох р,хеы х р,хеМ казанному, Бпс ( — 1[х(1)) = со.
С-а,СЕН Отсюда следует, что 1пп 1[х(С)] = — оо. С а,СЕЕ Теорема доказана. И Следствие Х. Пусть даны множество М с Й, предельная точка р множества М и функция у. Предположим, что у имеет предел при х, стремящемся к р по множеству М, и Ь я К есть значение этого предела. Тогда для всякой последовательности (х„)„ен, точек множества М, 119 'З 2.
Теоремы об операциях иад пределами имеющей пределом точку р и такой, что х„ф р для всех и 6 Ию имеет место равенство: Ь = 1пп 1(х ). а оо Данное утверждение есть тот частный случай теоремы 2.6, когда Е = Иь и а = со. Следствие 2. Пусть даны множество М С Й, предельная точка р множества М и функция у „причем существует предел Ь = 1пп 1(х). р,*ем Предположим, что задано подмножество.Е множества М такое, что р является его предельной точкой. Тогда число Х является также пределом 1(х) при х, стремящемся к р по множеству Е, Ь = 1ип У(х). я р хне Данное утверждение есть частный случай теоремы 2.6, когда х = ух есть отображение вложения множества Е в М, ув: Ф 6 Е»-+ Ф Е М.
Т Следствие 3 (теорема о пределе подпоследовательности). Если последовательность (х„)„ен имеет предел, то для всякой последовательности (и ) ен элементов множества Иь такой, что 1пп и = оо, т оо имеет место равенство: хп — 1пп х»„, ° о со т ао Данное предложение есть частный случай теоремы 2.6, получаемый при М = Иь, Е = И~. 2.4. ПРЕДЕЛЫ СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО. СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНЫХ ПРЕЛЕЛОВ Зададим произвольно непустое множество М С Й и его предельную точку р. Все функции предполагаются здесь определенными на множестве М и принимающими значения в 1к. Пусть В+ есть функция, определенная на множестве К следующим образом: 1 — при х) 1; 1 прих<1.
12О Гл. 2. Теория предела функция В+ — убывающая и О < В+(х) < 1 для всех х Е 1к. Согласно лемме 1.5, функция Х имеет равный оо предел при х, стремящемся к р по множеству М, в том и только в том случае, если 1пп В+[Х(х)] = О. я-+р,яЕМ ° Лемма 2.2. Если функция Х: М вЂ” Ж имеет равный хоо предел лрих- р, то 1пп ]Х(х)[ = оо. (2.1) Доказательство. Предположим, что функция Х имеет равный оо предел при х, стремящемся к р по множеству М.
В силу леммы 1.7, найдется окрестность У точки р такая, что для всякого х Е У П (М ~ (р)) выполняется неравенство: Х(х) > О. Для всех таких х будет [Х(х)] = Х(х), то есть Х(х) = Щх)[ для любого х Е УПМ, отличного от р. Отсюда, на основании следствия 2 теоремы о зажатой переменной (теорема 1.5), вытекает, что 1пп Щх)[ = оо, х р,я ЕМ что и требовалось доказать. Пусть 11п1 Х(х) = — оо. Положим: х1(х) = — Х(х).
Тогда я рЛЕМ Нщ [ — У(х)] = оо я р,яЕМ и, значит, по доказанному, йп ] — У(х)] = оо. р,яЕМ Так как ] — Х(х)] = ]Х(х) [, то тем самым установлено, что 1пп ] Х(х)[ = оо я р,яЕМ и в этом случае. Лемма доказана. ° ° Лемма 2.3. Предположим, что функция Х: М вЂ” + К имеет предел при х -+ р, равный оо.
Тогда: 1) для всякого конечного Х Е 1я йп [У(х) + Х] = оо; я р,яЕМ 2) для любого конечного Х > О 1пп [Х.Х(х)] = оо. р раем 121 'З 2. Теоремы об операциях иад пределами Лоиазательстно. Х1окажем первое утверждение леммы. Зададим произвольно К < оо и положим К1 = К вЂ” Х. Так как Кг < оо, то, как следует из определения предела, равного оо, найдется окрестность У точки р такая, что для всякого х Е М П ХГ, отличного от р, выполняется неравенство: Кг < У(х).
Возьмем произвольно х е М такое,что х Е У,причем х ф р. Пля этою х имеем: Х(х) + Х > К1 + Х = К. Число К Е 2 было взято произвольно. Таким образом, для всякого К Е К существует окрестность У точки р такая, что для всякою х Е М, отличного от р и принадлежащего этой окрестности У, выполняется неравенство: Х(х) + Х, > К. Тем самым доказано, что 1пп [Х(х) + Х] = оо. х р,хЕМ Второе утверждение леммы доказывается аналогичным образом. К Пусть Х > О. Зададим произвольно К Е 1к и положим К1 = —.
Х' Так как Кг < оо, то, согласно определению предела, равного со, найдется окрестность ХХ точки р такая, что для любого х Е У П (М ~ (р1) выполняется неравенство: К1 < У(х). Для всякого х Е У П (М ~ (р)) имеем Х Х(х) > Х К1 — — К. Число К е И было взято произвольно.
Следовательно, для всякого К Е К существует окрестность У точки р такая, что если х Е У П М, причем х ф р, то выполняется неравенство: Х Х(х) > К. В соответствии с определением предела, равного оо, тем самым установлено, что 1пп [Х Х(х)] = оо. х р,хЕМ Лемма доказана. ° ° Теорема 2.Т. Пусть фунющи Х: М вЂ” + 1к и д: М -х Ж имеют пределы при х -~ р, причем 1пп Д(х) = оо, 1пп д(х) > — со.
р,хЕМ '* р, ЕМ Тогда 11т [У(х)+д(х)] = оо. х р Если 1ш1 Х(х) = -со, а 1пп д(х) < оо, то 1пп [Дх) + д(х)] = — оо. 122 Гл. 2. Теория предела Доказательство. Рассмотрим только случай, когда предел Дх) равен +ос. (Случай, когда указанный предел равен — оо, сводится к этому.) По условию, 1пп д(х) > — со. Пусть Т, таково, что х р -оо < Ь < Иш д(х). х р,хЕМ Так как 1пп д(х) > Ь, то найдется окрестность У точки р такая, х р,хЕМ что если х е У и М, причем х ~ р, то д(х) > Ь, а значит, и ,1(х) +д(х) > Дх) +Ь. Согласно лемме 2.3, 1ш1 (Дх) + Ь] = оо.
Отсюда, в силу признака сравнении для существования бесконечного предела (следствие 2 теоремы 1.5), вытекает, что 1пп (Дх) + д(х)] = оо, х р,хЕМ что и требовалось доказать. ° Пусть |, = асс и К ~ О, К е Й. Определим произведение ЬК, полагая ьК = Ь при К > О и ЬК = — Ь при К < О. !пп у(х)д(х) = ( 11ш Дх)1 ( 11ш д(х) х р,хЕМ раем у ~х рвем Доказательство. Предположим, что !пп Дх) = со; х р,хем 1пп д(х) > О.
х рвем Общий случай сводится к этому, в силу определения предела, равного — со. Работу, связанную с детальным обоснованием соответствующей редукции, мы предоставляем читателю. ° Теорема 2.8. Пусть фунхпни ~: М - !й ид: М - Е имеют пределы при х -+ р, причем 1пп У(х) = асс, а 1пп д(х) ~ О. Тогда произвех р,хЕМ х р,хЕМ дение Уд функций ! и д имеет предел при х — р, причем выполняется равенство: 123 'З 2. Теоремы об операциях вад пределами Пусть Л таково, что О < Л < 1пп д(х). х р,хЕМ В силу установленных выше свойств предела (лемма 1.7), найдется окрестность 01 точки р такая, что для любого х Е М, принадлежащего окрестности У1 и отличного от р, выполняется неравенство: д(х) > Л.
Тах ках 1пп 1".(х) = оо, то найдется окрестность Уз Е 0(р) точх р,хем хи р такая, что 1'(х) > О для любого х Е М, принадлежащего окрестности У и отличного от р. Пусть У есть окрестность точки р, содержащаяся в каждой из окрестностей Уг и 0~. Если точка х Е М принадлежит У и отлична от р, то х Е У1 и, значит, д(х) > Л. Одновременно х Е Уз, и потому у(х) > О. Принимал во внимание сказанное, заключаем, что для любого х Е М, принадлежащего окрестности У и отличного от р, выполняется неравенство: ~(х)д(х) > Л~(х).
Согласно лемме 2.3, 1пп Л~(х) = оо. х рхЕМ Отсюда, в силу признака сравнения существования бесконечноео предела (следствие 2 теоремы 1.5),получаем 1пп у(х)д(х) = оо, х р,хЕМ что и требовалось доказать. ° ° Теорема 2.9. Пусть фуыхдия у': М вЂ” К такова, что у(х) ф О для всех х Е М. Если 1пп У(х) = хоо, то имеет место равенство: х р,хЕМ 1 1пп — = О. *- У(х) Ясли 1пп Дх) = О и существует такал окрестность Ув точки р, что х р,хЕМ Дх) для всех х Е У П (М ~ (р)) имеет один и тот же знак, то: 1 а) Иш — = оо в случае, хогда Дх) > О при х Е Пв П М Л (р); х р,хЕМ э (х) 1 б) 1пп — = — со, если У(х) < О при х Е Ув П М ~ (р). х р,хЕМ Э (Х) Локазательстно. Предположим, что 1пп Дх) = со и для х р,х ЕМ всех х Е М будет Дх) ф О. В этом случае 1пп В+[Дх)] = О.
х-~р,хем 124 Гл. 2. Теория предела Из определения предела, равного оо, вытекает, что найдется окрестность У точки р такая, что для всякого х Е М, отличного от р и принадлежащего окрестности У, выполняется неравенство: 1(х) > 1. Для 1 всякого такого х имеем: Я+[у(х)] = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
