1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если хе = — оо, то для любого К ~ у(хе) можно указать число Н > — со такое, что если х Е М и х > Н, то при К < У(хе) выполняется неравенство К < 1(х), а при К > 1(хе) — неравенство К > 7(х). Доказательство. Если хе не является предельной точкой множества М, то существует окрестность У точки хе такая, что У й М состоит из одной этой точки. Для всякого х Е У й М имеем: У(х) = У(хе) и, стало быть, для х Е УПМ выполняется любое неравенство, которому удовлетворяет У(хо). Предположим, что хе есть предельная точка множества М. Согласно теореме 1.2, условие — функция У непрерывна в точке хе Е М вЂ” равносильно тому, что У(хе) есть предел функции у по множеству М. В силу леммы 1.7, для всякого К ф.
У(хе) можно указать окрестность У точки р такую, что для любого х Е У й М, отличного от хе, в случае .К < 1(хе) выполняется неравенство К < У(х), а в случае К > 1(хе) — неравенство у(х) < К. В силу выбора К, неравенство выполняется также и для х = хе. Осталось заметить, что в случае конечного хе окрестность У представляет собой интервал (хе — д,хе + 6), где 6 > О, для хе = со множество У является промежутком вида: (Н,ос[, а если хе = — оо, то У= [ — оо,Н). Следствие доказано. Ъ' з 1.
Определение и простейшие свойства предела 97 Следствие 2. Пусть Е, е К есть предел числовой последовательности (х„е К)„ен . Тогда для всякого К ф Ь найдется номер и е 1( такой, что для всякого и > и в случае 7 > К выполняется неравенство х„> К, а в случае Ь < К вЂ” неравенство х„< К. Действительно, пусть выполнены все условия следствия. Согласно лемме 1.7, найдется окрестность У точки со такая, что для всех п е Уг1г( в случае А > К выполняется неравенство х„> К, а в случае Ь < К вЂ” неравенство х„< К.
Окрестность У есть промежуток вида (Н,оо]. Возьмем произвольно не Угой . Если а > й, то и е У, откуда ясно, что номер и и есть искомый. Следствие доказано. 1.4.2. Справедлива следующая ° Теорема 1.3 (о предельном переходе в неравенстве). Пусть даны функции У: М вЂ” К в д: М вЂ” К, каждая из которых имеет предел при х, стремящемся к р по множеству М. (Здесь М ~ К н р е .бгт М.) Предположим, что существует окрестность Уо точки р такал, что для всякого х е М, принадлежащего окрестности Уо и отличного от р, выполняется неравенство: У(х) < д(х).
Тогда )пп у(х) < 1пп д(х). ж р,яем х р,яем ,Доказательство. Для упрощения опустим некоторые детали в обозначении пределов и положим 1пп1'(х) = К, 1ппд(х) = Ь. Требуется доказать, что К < Ь. Предположим, напротив, что К > Ь. Тогда найдется число Н такое,что К > Н > Ь. Поскольку К = 1пп,1(х) и К > Н, то, согласно лемме 1.7, найдется окрестность У~ точки р такая, что для всякого х е У~ и (М >> (р)) выполняется неравенство: У(х) > Н. Так как А = 1ппд(х) и Ь < Н, то, применяя лемму 1.7 к функции д, получим, что существует такая окрестность Уо точки р, что для любого х е Уо » ' (М ~ (р)) имеет место неравенство: д(х) < Н. Согласно лемме 1.1, точка р имеет окрестность У, содержащуюся в каждой из указанных окрестностей Уо, У~ и Уо. Возьмем произвольно точку хо е М, принадлежащую окрестности У и отличную от р.
Такая точка хо заведомо существует, поскольку р есть предельная точка множества М. Очевидно, хо е Уо и одновременно хо Е Уо и хо е Уо. Так как хо е Уо> то У(хо) < д(хо). С другой стороны, хо е У> и, значит, (1.1) .>'(хо) > Н.
98 Гл. 2. Теория предела В то же время хо е Ум и потому д(хо) < Н. (1.2) Из неравенств (1.1) и (1.2) вытекает, что 1(хо) > д(хо). Таким образом, мы получаем, что одновременно У(хо) < д(хо) и Х(хо) > д(хо). Допущение, что К > 1, приводит нас, следовательно, к противоречию. Значит, К < 1, что и требовалось доказать. ° Следствие 1.
Предположим, что каждая из функций у': М вЂ” й и д: М вЂ” К имеет предел прн х, стремюцемся к р по множеству М. Если г(х) < д(х) для всех х е М, то 1пп т'(х) < 1пп д(х). х р,хЕМ х р,хом Доказательство очевидно. Следствие 2. Всякая вещественная функция, определенная ва множестве М С Й, имеет не более одного предела при х, стремящемся к р Е Сттп(М). ,Доказательство. Пусть числа К и б таковы, что К = 1пп Дх) и 1 = 1пп У(х).
Так как для всех х е М выполняется неравенство у(х) < т"(х), то, в силу следствия 1, отсюда вытекает, что К < Ь. С другой стороны, для всех х е М верно также соотношение 1(х) > 1(х). Это позволяет заключить, что К > 1,. Таким образом, мы имеем одновременно: К < 1, и К > 1,. Значит, 1, = К, что и требовалось доказать. 1.5. С ЕСТВОВАНИЕ ПРЕ ЕЛА И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ Всюву в этом разделе М обозначает подмножество множества %, а р — это некоторая предельная точка М. 1.5.1.
Пусть 1 есть или вещественная, или комплексная функция, определенная на множестве М. Говорят,что функция У является асимптпотпичесни оераниченной при х, стпремятиемся и р по мнохсестпву М, если существуют число К е К и окрестность У точки р такие, что для всякого х е Уй (М 1(р)) выполняется неравенство: ~У(х)~ < К. З 1. Определение и простейшие свойства предела Если функция ~ удовлетворяет данному условию, то мы будем писатьс 1'(х) = 0(1) при х — + р, х й М. Пусть дана числовая последовательность (х„)„ен„. Множество Нь имеет предельную точку оо. Если последовательность (х„) ен, является асимптотически ограниченной при и -+ оо,то мы будем говорить,что эта последовательность асильптотичесни ограниченная. ° Лемма 1.8. Всякая аснмптотнчески ограниченная числовая последовательность является ограниченной.
Доказательство. Пусть (х„)„ен, есть асимптотически ограниченная числовая последовательность. Это означает,чтонайдутся число К Е К и окрестность У = (Н, со] точки оо такие, что для всякого номера н Е У выполняется неравенство: ~х„~ < Х. Пусть по Е Мь таково, что Н < но. Обозначим через Хо наибольшее из чисел ахи 1, !хо+11,..., гахн, 1, К. Возьмем произвольно и Е 1Чу,. Если и < по, то )х ( есть одно из чисел (хь(,(хь+г(,..., (х„о(, и, значит, (х„| < Ко Еслижеп > ло, топ > Ни, стало быть, и й УПИТ Следовательно, )х„)<К<Ко.
Итак, мы показали, что существует число Ко < оо такое, что ~х„~ < Ко при всех н Е Мь. Это и означает, что (х„)„ен есть ограниченная последовательность. Лемма доказана. ° 1.5.2. Следующая теорема показывает, что понятие асимптотической ограниченности описывает некоторое свойство функции, имеющей конечный предел. ° Теорема 1А.
Пусть дала функция у": М вЂ” ~ К. Если предел 1пп У(х) существует и конечен, то функция ~(х) асимптотически и р,кем ограничена при х, стремящемся к р по множеству М. Доказательство. Пусть Ь = йш у(х) й К. Положим е = 1. рдем Согласно определению предела, найдется окрестность У точки р такал, что для любого х Е У й (М ~ (р)), отличного от р, выполняется неравенство: ~У(х) — Ц < 1. Пля всякого х Е М, принадлежащего окрестности У и отличного от р, очевидно, имеем: )1(х)! < (Дх) — Ц+Щ < Щ+1. По определению, это и означает, что У(х) = 0(1) при х — р по М. Теорема доказана.
° 1ОО Гл. 2. Теория предела Следствие. Если числовая последовательность сходится, то она является ограниченной. Действительно, если последовательность (х„)„ен„имеет конечный предел, то она, согласно теореме 1.4, является асимптотически ограниченной и, значит, в силу леммы 1.8, зта последовательность ограниченная. 1.6. ТЕОРЕМА О ЗАЖАТОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕЕ СЛЕ СТЕНЯ Докажем теорему, которая во многих случаях является эффективным средством для доказательства существования предела функции. Зададим произвольно множество М С й и его предельную точку р. Все дальнейшие рассуждения относятся именно к зтим множеству и точке.
Пусть Вь(х) есть функция, определенная в п. 1.2.2. Тогда 1 — при х > 1; 1 прих<1. (1.3) Функция В+ — невозрастающая и О < В+(х) < 1 для всех х. Согласно лемме 1.5, функция 7: М -+ К имеет равный оо предел при х, стремящемся к р по множеству М в том и только в том случае, если 1пп В+(,((х)] = О. л->р,жем Ь = 1пв и(х) = 1пп е(х). р->р,*ем1 р-+р,лема Тогда Ь = 1пп 5(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
