1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Основные теоремы о непрерывных функциях В этом параграфе устанавливаются нехоторые общие свойства непрерывных функций, определенных на замкнутом отрезке, играюьцие фундаментальную роль в дальнейшем изложении. К числу задач, часто встречающихся в математике и в различных ее приложениях, относятся задачи на отыскание наименьшего или наибольшего значения какой-либо величины, представленной как функция некоторых переменных. 152 Гл. 2. Теория предела 5.1.

ТЕОРЕМА ВЫБОРА ВЕЙЕРШТРАССА 5.1.1. Подпоследовательностью последовательности (хе)пеппе (5.1) называется всякая последовательность вила (хеь ) Й ах) (5.2) где (пь)ьен есть строго возрастающая последовательность элементов множества И Будем также говорить, что (х„„)ьен есть подпоследовательность, которая извлечена из последовательности (х ) еи Наглядно последовательность (5.2) можно представить как результат следующего построения. Из последовательности (5.1) вычеркивается часть членов так, чтобы номера невычеркнутых членов образовывали бесконечное множество. Затем невычеркнутые члены нумеруются заново в поряцке следования их прежних номеров.

Прежде чем приступить к поиску наибольшего или наименьшего значения функции и определения того, для каких значений переменных функция принимает эти значения, полезно знать, имеет ли эта задача решение или нет. (Выходя на охоту, стоит выяснить сначала, есть ли в лесу, где мы будем охотиться, нужный нам зверь?) Здесь устанавливается, что в том частном случае, когда функция непрерывна, а область ее определения есть замкнутый отрезок, — она принимает свои наименьшее и наибольшее значения. Задача — найти наименьшее и наибольшее значения функции в этом случае — заведомо имеет решение.

Другое свойство непрерывных функций, определенных на замкнутом отрезке, которое устанавливается здесь, — равномерная непрерывность. Согласно определению, функция У непрерывна в точке хо Е К, если для всякого е > О можно указать 6 > О такое, что если (х — хо! < 6, то ~У(х) У(хо)~ < е. Это число 6 > О, в общем случае, зависит не только от е, но также и от выбора точки хо. Оказывается, что если область определения функции есть замкнутый отрезок, а функция )' — непрерывна, то можно выбрать 6 не зависящим от хо.

153 З 5. Основные теоремы о непрерывных функциях ° Теорема 5.1 (теорема выбора Вейерштрасса). Из всякой ограниченной числовой последовательности можно извлечь сходяпОчося подпоследовательность. ,Доказательство. Пусть (х„)„ек„есть произвольная ограниченная числовая последовательность. Тогда найдутся числа а и Ь такие, что — со < а < Ь < со и для всех и е Я выполняются неравенства: а < х„< Ь. Для всякого целого 6 > О построим некоторый отрезок [аьЬь] и номер пь Полагаем [ае Ье] = [а, Ь], ве = т. Предположим, что для некоторого целого 6 > О отрезок [аь 6|] и номер иь определены, причем х„, е [аьЬь], и множество значений и е Ы для которых точка х„принадлежит отрезку [аь6|], является бесконечным. Оба зти условия выполнены в случае Ь = О.

Положим сь = (аь+Ьь)/2. Если х„е [аьсь] для бесконечного множества з н а ч е н и й и е Ы, то полагаем аь~ы = аь Ььы = сь Предположим, что х„е [аь сь] только для конечного числа номеров п е М . Тогда множество тех и е И, для которых х„е [сь Ьь], является бесконечным. Действительно, если бы множество значений и е И таких, что х„е е [сь Ьь], также было бы конечным, то промежуток [аь 6|] содержал бы х„ лишь для конечного числа номеров и, что противоречит предположению. Полагаем в данном случае аь+~ = сь Ьь+~ = Ьь Отрезок [а~,.д, Ьь+~], таким образом, определен. При этом множество значений и е М таких, что х„е [аь,ьЬь,~], является бесконечным. Поэтому среди тех номеров и е М, для которых х„е [аь+ь Ьь„], есть номера, большие иь Более того, таких номеров — бесконечно и н о г о.

Выберем из них, произвольным образом, один и положим и~,.д равным ему. В силу принципа математической индукции, описанное построение определяет некоторую последовательность чисел (иь)ьек и последовательность отрезков ([аь Ьь]) Из определения следует, что тц, < иь+ь х„, е [аь Ьь], [аь Ьь] Э [аы-~, Ььы] и Ьм~~ — аь+~ — — (6| — аь)/2 при каждом й е Я.

Отсюда, по индукции, заключаем, что длина Ьь — аь отрезка [аь Ьь] равна (Ь вЂ” а)/2~, и, следовательно, она стремится к нулю при й — оо. По теореме о вложенных отпрезках (см. следствие 3 теоремы 3.1), найдется точка р, принадлежащая всем отрезкам [аьЬь]. При этом р= 1пп аь = 1пп Ьь так как Ьь — аь — О при й — оо. й 0О ь оо 154 Гл. 2. Теория предела При каждом к Е М выполняются неравенства: аь < х„, < 5ю Отсюда, в силу теоремы о зажатой переменной (теорема 1.5), вытекает, что р = 1пп х„„. ь ао Таким образом, построена подпоследовательность (х„,) ьен, последовательности (х„)„ен ,которая является сходящейся. Теорема доказана.

° 5.1.2. Результат теоремы 5.1 может быть распространен также на случай неограниченных последовательностей, что вытекает из следующего утверждения. Слвдетвие. У всякой числовой последовательности существует такая ее подпоследовательность, которая имеет предел. 3 а м е ч а н и е. В отличие от теоремы 5.1, здесь ограниченность исходной последовательности не предполагается и существование сходящейся подпоследовательности не утверждается. (Напомним, что числовая последовательность называется сходятейся, если она имеет конечный предел.) Доказательство следствия. Пусть (х„) „ен — произвольная числовая последовательность.

Если эта последовательность ограничена, то требуемое утверждение, в силу теоремы 5.1, в е р н о. Предположим, что числовая последовательность (х ) ен не является ограниченной. Тогда либо ее точная верхняя, либо ее точная нижняя граница — бесконечна. Для определенности, предположим, что зпр х„= оо. Положим ченп~ пз — — т. Предположим, что для некоторого Й Е 1ч величина пь определена. Обозначим через Ь| наибольшее из чисел х,х +ы...,х„,.

Так как зпр х„= оо, то найдется значение и Е М, для которого выполнячента ется неравенство х„> Ьь. Из таких значений и выберем, произвольным образом, одно и полагаем его равным пь~ ь Имеем: х„„+, > Ьь и, значит, пью > пю ибо для всякого и такого, что т < и < пю согласно определению числа Ьь, выполняется неравенство: х„< Ью В частности, х, < Ьь и, следовательно, х„„< х,~,. В силу принципа математической индукции, описанное построение определяет некоторую подпоследовательность (х„,)ьен последовательности (х„)„ен . Эта последовательность является возрастающей и, значит, она имеет предел. Нетрудно показать, что этот предел равен оо.

Предоставляем читателю доказать это. Следствие доказано. Т 155 З 5. Основные теоремы о непрерывных функциях 5.2. 'ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА О НАИБОЛЬШЕМ И НАИМЕНЬШЕМ ЗНАЧЕНИЯХ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ Здесь мы докажем первую основную теорему о непрерывных функциях на замкнутых промежутках множества !Й.

Пусть дана функция 1: М вЂ” + !Й. Если можно указать значение о Е М такое, что для всех х Е М выполняется неравенство 1(х) < 1(о), то говорят, что 1 принимает на множестве М свое наибольшее значение и о есть тот элемент множества М,на котором это значение достигается функцией 1'. Аналогично, если существует Д Е М такое, что Щ) < !'(х) для всех х Е М, то говорят, что 1 принимает на множестве М свое наименьшее значение и ф есть тот элемент множества М, на котором это значение достигается функцией 1. Доказательство.

Пусть выполнены все условия теоремы. Положим: р = шГ Дх) = ш1~(1); д = вир ~(х) = вирУ(1). е!а,ь! не !н,ь! Так как функция 1 всюду конечна, то р < оо, а а > — оо. Положим и = 1 п если р = — оо; если р конечно; если а = оо; если д конечно. При каждом п, в силу критерия точной верхней и точной нижней границ функции найдутся х Е 1 и у„Е 1 такие, что р < 1(х„) < и„и о > 1(у„) > и„. При п — + со мы видим, что и„— ~ р, а и„— + д.

В силу таеоремы о зажатой переменной (теорема 1.5), справедливы соотношения: р = !пп 1(х„), д = 1пп 1(у„). ° Теорема 5.2 (теорема Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях). Пусть 1 = [а, о! есть замкнутый отрезок в множестве !к'. Тогда всякая непрерывная функция 1: [а, о! — ~ !к принимает в промежутке 1 свои нанболыпее и наименьшее значения и является ограниченной.

156 Гл. 2. Теория предела В силу теоремы выбора Вейерньтрасса (теорема 5.1), у последовательностей (х„)„ен и (у„) ен существуют, соответственно, подпоследовательности (х „)„ен и (уь„)„ен, хаждвя из которых имеет предел. Пусть а = 1пп х „; 13 = 1пп уь„. Так как а < х „< Ь и а < уь < Ь при каждом ьь Е ь1, то, в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве (теорема 1.3), имеют место неравенства: а < а < Ь и а < 33 < Ь, то есть точки а и ь3 принадлежат замкнутому промежутку (а, 6]. По условию, функция 3 — непрерывна. Значит, при ьь — + со выполняются 3'(х „) — 3'(а) и 1'(уь„) — у(Я. По теореме о пределе нодпоследовательности (следствие 3 теоремы 2.6), справедливы соотношения: р = 1пп 3(хь) = 1пп Дхеь„) = ~(а); д = 11ш у(у„) = 1пп ~(хь„) = Щ). Таким образом, Да) = р и ~(ь3) = д. Так как р есть точная нижняя, а в есть точная верхняя границы функции 3' на множестве (а, 6], то для всех х Е (а, 6] выполняются неравенства р < 3(х) < в, то есть (Чх Е (а, Ь]) У(а) < У(х) < Д33).

(5.3) Это означает, что в точке а функция 3 принимает свое наименьшее, а в точке 33 — свое наибольшее значение на промежутке (а, Ь]. Так как у(а) и 3(ь3) — конечны, то из соотношений (5.3) следует ограниченность функции у на промежутке [а, 6]. Теорема доказана. ° 5.3. Понятик рлвномкрно нкпркрывной функ ии Здесь будет установлено, что непрерывные функции, определенные на замкнутом промежутке, обладают некоторым свойством, называемым равномерной непрерывностью.

Характеристики

Список файлов книги