1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Верхний н нижний пределы последовательности 171 Теперь рассмотрим случай, когда 1 < оо. Пусть У есть окрестность точки 1 Е Й. Множество 17 есть некоторый промежуток в множестве Й. Пусть р есть левый конец этого промежутка, д — его правый конец. Если 1 = — оо,, то р = 1 = — оо. В этом случае х„> р для всех п Е И, поскольку мы рассматриваем только такие последовательности, все члены которых конечны. Пусть 1 > — оо. Тогда р = 1 — е, где е > О. Утверждение П1 леммы 6.2 позволяет заключить, что найдется 1' Е И(х) такое, что 1 — е < 1' < 1.
Согласно определению нижнего числа, найдется номер й > т такой, что для всех п > й выполняется неравенство: х„> р. В случае 1 = — оо будем считать й = тп. Пусть задан номер т Е И . Положим т = п1ах(т, й). Докажем, что найдется п > т, п Е И, для которого х < д Допустим, напротив, что такое п не существует. Тогда для всякого номера п > т выполняется неравенство х„> о. Это по определению означает, что д есть нижнее число последовательности (х ) ен . Так как 1 есть точная верхняя граница множества всех нижних чисел И(х) данной последовательности, то имеет место неравенство: 1 > д, что, однако, противоречит тому, что, по условию, о > 1.
Итак, допустив, что не существует номер п Е И такой, что и > т, а х„< о, мы приходим к противоречию. Следовательно, такое п существует. Пусть и Е И таково, что и > т и в то же время х < д. Из определения т следует, что и > т. Далее, имеем также: и > й и, значит, х„> р. Таким образом, мы получаем, что для данного п выполняются неравенства: р < х„< о. Отсюда следует, что х„Е У.
Лемма доказана. И ° Теорема 6.2. Для всякой последовательности вещественных чисел (х„)„ен ее верхний и нижний пределы являются ее частичными пределами. Доказательство. Пусть 1 есть нижний предел последовательноСти (хн)нею, Пусть (У„(1))„ен есть последовательность окрестностей точки 1, образующая ее каноническую базу (см.
и. 1.7 этой главы), то есть 1 11 0„(1) = (1 — —, 1+ — ~ в случае, если 1 конечно, У„(1) = [ — оо, — п) в случае 1 = — оо и, наконец, У~ = (п, оо] для 1 = оо. По индукции, определим некоторую строго возрастающую последовательность номеров (пь) ьею В качестве п1 выбираем произвольный номер п Е И такой, что хв 6 У1(1). Таковой существует, в силу леммы 6.3. 172 Гл. 2. Теория предела Предположим, что для некоторого Й Е г1 номер пй определен, причем х й с Уй(1). Полагаем т = пй + 1. Согласно лемме 6.3, найдется п Е Ы такое, что и > г и в то же время х„Е Уй+1(1).
Из таких значений и выберем произвольным образом одно и полагаем его равным пй+1. В силу принципа математической индукции, таким образом определена последовательность (пй)йен. При этом, как следует из построения, при каждом й пй+1 > пй+ 1 > пй, так что указанная последовательность номеров является строго возрастающей.
При каждом й имеем: хой Е ХХй(1). Отсюда, как было показано выше (см. лемму 1.9), вытекает, что 1 = йш х„,. й оо Все утверждения, касающиеся верхнего предела, мы выведем из доказанного, применяя результат, установленный для нижнего предела к последовательности (у„)„ен, где у„= — х„при каждом и. Пусть Х есть верхний предел последовательности (х„) „ен. Тогда К = — Х есть нижний предел последовательности (у„)„еи. По доказанному существует строго возрастающая последовательность номеров (пй)йен такая,что К = 1пп у„, = 1пп ( — х„,), й-~со й со откуда получаем, что Х = 1пп х„„. й со Таким образом, у с т а н он л е но, что верхний предел последовательности вещественных чисел также является ее частичным пределом. Теорема доказана. И Из теоремы 6.2, в частности, следует,что у всякой последовательности вещественных чисел существует подпоследовательность, которая имеет предел.
Если последовательность (х„)„ен ограничена, — со < р < х„< д < < оо для всех и, то предел любой ее подпоследовательности, как следует из теоремы о предельном переходе в неравенстве (теорема 1.3), также лежит между р и д и, стало быть, — конечен. Таким образом, мы имеем новое оказательство тео емы выбо а в а а~си~. 6.3.2.
Здесь мы докажем теорему, которая позволяет дать некоторое новое определение верхнего и нижнего пределов последовательности. 173 З 6. Верхний я нижний пределы последовательности ° Теорема 6.3. Всякий частичный предел произвольной последовательности вещественных чисел лежит между ее нижним и верхним лрвделами. Доказательство. Пусть дана последовательность (х ) ен и Ь = 1пп х„.
1= 1пп х„, Предположим, что К есть частичный предел последовательности (х„)„ен. По определению, это означает, что существует строго возрастающая последовательность номеров (пь Е Ы,„)вен такая, что Х = = 1пп х„„. ь ао Возьмем произвольно Ь' Е М(х). По нему, согласно определению нижних чисел последовательности, найдется й Е г1 такое, что для всех п > 6 выполняется неравенство: х„> Ь'. При к — + оо будет пь — + оо, и, значит, найдется номер хв такой, что для всех й > йв выполняется неравенство: пь > й. Пля всех й > йв имеет место неравенство: х > Ь'.
На основании теоремы о предельном переходе в неравенстве (теорема 1.3), отсюда вытекает, что К = 1пп х > Ь . ь со Так как Ь' Е г1(х) было взято произвольно, то тем самым доказано, что К является верхней границей множества Ф(х) всех нижних чисел последовательности (х„)„ен и, значит К > зпрг1(х) = 1пп х„=1. Аналогичными рассуждениями определяется неравенство: К < Ь. Теорема доказана.
И Пусть (х„) ен есть произвольная последовательность вещественных чисел, 1 — ее нижний, Ь вЂ” ее верхний пределы. Совокупность всех частичных пределов данной последовательности обозначим символом Л(х). В силу теоремы 6.2, 1 Е Л(х) и Е Е Л(х). В силу теоремы 6.3, для любого К Е Л(х) выполняются неравенства: 1 < К < Ь.
Мы получаем, таким образом, следующий результат. Ф Предложение 6.1. Дпя всякой последовательности вещественных чисел множество Л(х) ее частичных пределов непусто и имеет наименыпий и наибольший элементы. При этом наименьший из частичных 174 Гл. 2. Теория предела пределов последовательности есть ее нижний предел, а наибольший из частичных пределов является ее верхним пределом. Показательство, в силу теорем 6.2 и 6.3, — очевидно.
Ф 6.4. ХАРАКТЕРИСТИКА ВЕРХНЕГО И НИЖНЕГО ПРЕЛЕЛОВ ПОСЛЕЛО- ВАТЕЛЬНОСТИ окажем тео е кото вя ает некого ый с и о с о б оп еления ве хнего и нижнего и елов. ° Теорема 6А. Пусть дава последовательность вещественных чисел (х„)„ев . Определим по ней последовательности (Р ) ев и (К*) .ев, полагая для и 6 И, Р» = 1п> х«» >» = зпр х> ° «ев > «ев« Если 1пп х„= — со, то Р„= — оо для всех и Е Ы Ясли же 1пп х„> — оо, то при каждом и 6 В1 число Р— конечно, последовательность (Р„)„ев является возрастающей и 1пп Р„= 1пп х . Если Бт х„= оо, то К, = оо для всех п Е 1>1 Ясли же Йгп х„( оо, то У конечно при каждом и и последовательность (У„)„ев является убываклцей, причем 11п1 П» — 1пп я1оиазательстно. Введем обозначения Р = 1пп х„, У = 1пп х„.
» «> »»О Покажем, что для всех и выполняется неравенство: Р > Р„. Если Р„= — оо, то это очевидно. Пусть .0 конечно. Зададим произвольно е > О. При каждом и > п имеем: х„> Р„> Є— е. Мы получаем, что Р— е есть нижнее число последовательности (х ) ев и, значит, Р > Є— е. Так как е > О произвольно, отсюда следует, что Р > Р„. Из доказанного, в частности, вытекает, что если Р = — оо, то Ро = — оо для всех и. 175 З 6. Верхний н нижний пределы последовательности Коли пз < пз, то г1„, Э Р1,. В силу известных свойств точной верхней гранины функции, отсюда вытекает, что при каждом и Е 1Ч имеют место неравенства: Р +г > Р„и Рв+г < У„.
Предположим, что Р > — оо. 1 Зададим произвольно число и Е 1Ч и положим К„= Р— — в случае, и если Р конечно, и К = и, если Р = оо. В силу известных нам свойств нижнего предела, найдется номер по Е о1 талой, что при каждом и > по выполняется неравенство х„> К„. Из определения величины Р вытекает, что при каждом и > по имеет место неравенство: Р„> К„. Обозначим через К' наименьшее из чисел х, х +ы ..., х„„К„.
Число К' конечно и х„> К' при каждом и. Значит, Р„> К' > — оо для всех п Е о1 . Из определения Р„следует, что при каждом и выполняется неравенство: Р„< х„. Следовательно, мы получаем, что Р„ конечно при каждом и Е Р1 Пусть Р' = 1пп Р„. Так как Р„< Р при каждом п, то, в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве (см.
п. 1.4.2, теорема 1.3), Р' < Р. (6.7) Для всяхого и > по выполняется неравенство Р„> К„. Отсюда вытекает, что имеет место неравенство К„< Р'. Число п Е г1 было выбрано произвольно. При и — со выполняется К„-+ Р. Переходя в неравенстве Р' > К„к пределу, получаем: .Р' > Р. (6.8) Из неравенств (6.7) и (6.8) следует, что Р' = Р. Утверждение теоремы, касающееся нижнего предела, таким образом, доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
