1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 35
Текст из файла (страница 35)
2.33). 2.35. Последовательность (х„)„ен называется выпуклой, если для всякого и Е ь1выполняется неравенство хп 2хп ь1 + хп-ьз > О. 182 Гл. 2. Теория предела Бп1 [Дх+ Ь) — /(х)] = О. Показать, что для всякой функции /': [О,со) -~ )и медленного роста предельные точки последовательностей (зшя,/(п))иси заполняют весь отрезок [ — 1,1]. 2.41. Функция / определена в промежутке (О, оо).
Пусть Ьи = зпр /(х). ля[и,ео) Предположим, что существует предел [пп /(х) = Ь. Показать, что Ьи -+ Ь при и — ~ оо. 2.42. Пусть,1: ( — 1,1) -+ К. Пусть шГ,/(х); хй[-1,1) Ь = зпр У(х); хе[-1,1) Х „= япр У(х); [и = шГ,/(х). хе[ — 1+1/и,1 — 1/и) хе[-1+1/и,1-1/и) Показать, что Ьи -+ Ь, [и -+ 1 при и -+ оо.
2.43. Функция / определена на промежутке [ — 1,1] и непрерывна в точке О. Пусть где и Е 1[. Положим: пи = [пЕ,/(х); Д, = зпр /(х). хари хили Показать, что /'(О) = [пп аи = [[ш Д,. и ее и сю 2.44. Функция /: [О, оо) — [О,оо) такова, что / ограничена в окрестности точки х = О и /(х + р) < Дх) + /'(р) для любых х > О, р > О.
Показать, что всякая выпуклая последовательность имеет конечный или бесконечный предел. 2.38. Пусть (хи)иеп — выпуклая иоследоваглельиость (см. 2.35). Показать, что существует конечный или бесконечный предел Игп хи/а. 2.37. Последовательность (аи)иеп определена следующим образом: а1 и аз— ДаННЫЕ ЧИСЛа, аи = (аи 1+ аи З)/2 ПРИ П > 2. ПОКаеатЬ, ЧтО ПРЕДЕЛ И1П аи существует, и найти его.
2.38. Пусть дана последовательность (хи Е [й)иеп„. Предположим, что для всякого е > О можно указать Ь Е К такое, что для любого и > Ь и любого /Е Е 1[ ВЫПОЛНяЕтСя НЕраВЕНСтВО Х„лв — Хи > — Е. ДОКаяатЬ, ЧтО СУЩЕСтВУЕт ПРЕДЕЛ 1[щи еи Хи, ПРИЧЕМ вЂ” ОО < 31П Хи < ОО. 2.39. Пусть (хи)иеп — последовательность вещественных чисел такая,что хи > О для всех и и хи — + О при и — ~ со. Показать, что найдется бесконечное множество значений и Е 1[ таких, что хи1 < хи при всех гп > и.
2.40. Назовем функцию,/: [О,со) — ~ К функцией медленного роста, если / возрастает, [пп /(х) = оо и [/и [/(х+ 1) — Дх)] = О. Показать, что если / — функция медленного роста, то для всякого Ь > О 183 Задачи у(х) Доказать, что существует предел йш х сс 2.46. Функции У: [а,Ь] -+ Н и д: [а,Ь] — + К непрерывны, и одна из них монотонна. Предположим, что некоторая последовательность (х„)„еп удовлетворяет условию: у(х„~.з) = д(х„) для всех и. Доказать, что если последовательность имеет предельную точку, то уравнение У(х) = д(х) имеет решение.
2.48. Доказать, что всякая числовая последовательность имеет монотонную подпоследовательность. 2.47. (а) Лана числовая последовательность (х„)неп. Доказать, что если из любой ее подпоследовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, то последовательность (х„)„еп ограничена. (Ь) Даны число а б Й и числовая последовательность (х„)„ен.
Доказать, что если из любой ее подпоследовательности можно извлечь подпоследовательность,пределом которой является число а,то а = 1пп х„. 2.48. Пусть у: [а,Ь] — ~ К вЂ” непрерывная возрастающая функция, причем 1с(а) > а, у(Ь) < Ь. Для произвольного х б [а,Ь] определим, по индукции, последовательность (~рн(х))вен,полагая <Рг(х) = Р(х) и (Р„+з(х) = ~2(~Рн(х)). Доказать, что последовательность (~Р~(х)) еи является сходящейся при любом х б [а,Ь]. Доказать, что если ~Р(х) > х для всех х б (а, Ь), то 1пп 1о„(х) = Ь, а если ~о(х) < х для всех х б (а,Ь), то 1пп у„(х) = а.
2.49. Пусть (х„)„ен — числовая последовательность. Зададим произвольно й б 1Ч. Индукцией по й определим последовательность (Ььх„)„ен. Именно, полагаем Ь|х„= х„~.г — х„. Если последовательность (б ьх„)„ен определена, то Ьь.ьгх„= Ььхн~.г —,б ьх ь Доказать, что йьх„= ~; ( — 1)ь 1С~~х„.ьу для всякого й у=о Доказать, что если Ььх„> О при каждом и, то для любого целого 1 такого, что О < 1 < й — 1, существует конечный или бесконечный предел 1пп » п~ 2.60. Пусть |: Н вЂ” + К вЂ” непрерывная функция такая, что У( ) . У(') хзз-~-1 хзз+Г 11ш = 1пп =1, йбЯ.
Доказать, что найдется точка х такал, что у(х) = О. 2.51. Доказать, что если непустое множество А С К не есть отрезок, то найдется непрерывная функция ~: А -+ К, принимающая в некоторых точках множества А значения разных знаков и не обращающаяся в нуль ни в какой точке множества А. 2.52. Построить пример немонотионноео пзополоеичесноео отображения у: А — И, где А С Н. 2.53. Функция у: (а, Ь) -+ К строго монотонна.
Пусть Е = у((а, Ь)) и пусть ~Р: Е -+ К есть функция, обратная к ~, х = у Доказать, что функция ~Р непрерывна. (Непрерывность функции у не предполагается!) 184 Гл. 2. Теория предела 2.54. Построить пример непрерывного взаимно однозначного отображения у: А — + К, где А С К, такого, что обратное отображение 1' г не является непрерывным.
2.бб. Построить непрерывную функцию 1: [О, 1] — ~ К такую, что для всякого у Е 1([0,1]) множество 1 г(у) бесконечно и счетно. 2.56. Может ли быть замкнутый отрезок — топологическим образом открытого отрезка? Обратно, может ли быть топологическим образом замкнутого отрезка— открытый отрезок? 2.57.
Функция,г': [а, Ь] — ~ К непрерывна. Что можно сказать о функции 1, если известно, что все ее значения рациональны (иррационзльны)? Какова будет функция 1, если все ее значения пелые числа? Какова будет функция 1, если множество 1([а, Ь]) не более чем счетно? 2.58. Пусть à — множество комплексных чисел я таких, что ]я] = 1.
Пусть Г, = Г1(-1). Доказать, что отображение я = и+ в Е Го ~~ взаимно однозначно. 1+и Определить обратное отображение и доказать его непрерывность. 2.59. Доказать, что не существует непрерывного взаимно однозначного отображения множества К на множество Г (см. 2.58).
Доказать, что не существует непрерывного биективного отображения отрезка [ — 1,1] на множество Г. 2.60. Построить топологическое отображение отрезка (а, Ь) на К. 2.61. Пусть 1: [а, Ь] — + С вЂ” непрерывное отображение такое, что ]1(г)[ ф 0 для любого $ Е [а, Ь]. Доказать, что тогда существует непрерывная функция а(Г) такая, что гг(а) = агк Яа) и гг(1) = агк,г'($) + 2з т, где гп — целое число, для всех 1 Е [а, Ь]. 2.62. Дана функция 1: К -+ К. Предположим, что 1 непрерывна и существуют конечные пределы 1пп 1(а) и 1пп 1(х). Доказать, что 1 равномерно непрерывна на множестве К. Доказать, что при этих условиях функция 1 — ограниченная. 2.63.
Даны функции у: [а, Ь] -+ К и д: [а, Ь] — ~ К. Доказать, что если г' и д непрерывны, то функции р = шах(1, д) и д = ш1п(?, д) также непрерывны. Пусть ыг есть модуль непрерывности 1, ыз — модуль непрерывности д. Доказать, что функпия ы = шах(юы ыз) является модулем непрерывности для каждой из функций р и ф 2.64. Пусть 1: К вЂ” ~ К вЂ” непрерывна.
Предположим, что 1пп 1(х) = 1пп у(х) = оо. Доказать, что функция Г ограничена снизу и принимает свое наименьшее значение. 2.65. Пусть у: К вЂ” ~ К непрерывна. Доказать,что если 1пп ?(х) = 1пп г(х) = О, то функция у принимает или наибольшее, или наименьшее значение. 185 Задачи Привести пример, в котором функция принимала бы только одно из указанных значений.
2.66. Показать, что модуль непрерывности ы функции у:[а,Ь] -+ й,построенный при доказательстве теоремы Гейне, обладает следующими свойствами минимальности: пусть шз: [О, оо) — ~ К вЂ” любой другой модуль непрерывности функции У': [а, Ь] — ~ й, тогда ы(1) < ыз(1) для всех 1 6 [О, оо). 2.67. Пусть у: К вЂ” ~ й — периодическая функция. Показать, что если существует 11щ Дх),то у постоянна. 2.68. Функция у: [О, оо) — ~ К вЂ” равномерно непрерывна на [О, оо).
Доказать, что Дх) = 0(х) при х — ~ оо, то есть (3 Х)(ЗА)(Чх > А) ]Дх)] < Х]х]. 2.69. Функция у: [а, Ь] — ~ К имеет модулем непрерывности ы: Ь вЂ” ~ Адз+а, где о > О. Показать, что функция у — тождественно постоянна в [а, Ь]. 2.70. Лана непрерывная функция у: [а, Ь] — й. Положим для х 6 [а, Ь] Р(х) = зир Д1); С(х) = 1п1 Д1). а<в<я а<з<в Показать, что функции Р и С непрерывны. Локазать, что если ы[0, оо) — ~ й есть модуль непрерывности функции у, то ы есть модуль непрерывности каждой из функций Р и С.
2.Т1. Функция 1 определена на множестве (~о всех рациональных чисел отрезка [О, 1]. Показать, что для того, чтобы существовала непрерывная функция д, определенная на всем отрезке [О, 1] и такал, что д(х) = у(х) для всех х 6 Яо, необходимо и достаточно, чтобы у была равномерно непрерывна на Яо. 2.72. Построить непрерывную функцию 1': [а, Ь] — ~ й, не монотонную ни на каком интервале (а„9) С [а, Ь]. 2.73. Пусть Š— произвольное числовое множество. Лля х 6 1к положим: р(х, Е) = ш1 ]х — р[. рчд Показать, что функция х — ~ р(х„Е) непрерывна. 2.74. Число х называется двоична рационаяьнын, если х = р/2'", где р и т— целые числа, т > О.
Обозначим совокупность всех двоично рациональных чисв,я символом 1Я. Построить взаимно однозначное отображение у: Я -+ Яз так, чтобы функция у была монотонна на ф. 2.76. Пусть даны числовое множество А и точка р 6 ЕзтА. Предположим, что А = В О С, где множества В и С не пересекаются и р 6 Е1тВ, р 6 СзтС. Показать, что если для функции у: А -+ я1 пределы 1пп у(х), в р,вЕБ 1пп Дх) существуют и равны между собой, то существует также и предел в р,вЕС 1пп У(х). в р,вЕА 186 Гл. 2.
Теория предела 2.76. Пусть даны множество А, точка р Е Й и функция /: А -+ 1к. Предположим, что р является левосторонней предельной точкой А. Доказать, что если для всякой возрастающей последовательности х: 1Ч вЂ” А, такой, что хп — ~ р при п — ~ оо, х„< р при всех и, существует предел 1цп /(хп), то существует и со предел 1пп /(х). я р-о,яЕА 2.77. Функция /: [а, Ь] — ~ К имеет конечный предеп в каждой точке отрезка [а, Ь].
Доказать, что / ограничена на [а, Ь]. 2.78. Доказать, что всякал непрерывнал функция /: [а, Ь] — ~ 1к, которая не принимает никакое значение более чем два раза, должна принимать некоторое значение в точности один раз. 2.79. Дана числовая последовательность (хп) Доказать, что если ее подпоследовательности (хзп)пен, (хзп-г)пен и (хз„)„ен сходятся,то последовательность (х„)„ни сходится. 2.80.
Пусть /: [О,оо) — ~ К вЂ” строго возрастающая непрерывнвл функция такал,что /(х) -+ оо при х -~ со, / г — обратнал функция. Доказать, что для всякого е > 0 и любого К найдется х > К такое,что /(х)/ ~(х) > (1 — е)х . 2.81. Можно ли для всякого е > 0 построить многочлен Р так, что для всех х б [1, оо) будет выполняться неравенство [Р(х) — 1пх[ < е? 2.82. Можно ли для всякого е > 0 построить многочлен Р такой, что ]Р(х) — е ] < в для всех х б (О, со)? 2.83.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
