1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Утверждение, относящееся к верхнему пределу, доказывается аналогично. Необходимо только надлежащим образом изменить знаки неравенств. Формально утверждение относительно верхнего предела может быть выведено из доказанного применением следующих равенств: шГ ( — х„) = — зпр х„, нею «Енл йш 1 — т„) = — 1пп 1 — х ). Мы предлагаем читателю проделать все необходимые построения для этого случая самостоятельно.
Теорема доказана. ° 176 Гл. 2. Теория предела Задачи 2.1. Даны числовая последовательность (хи)иен и число Х ч Й. Предположим,что существует натуральное число т > 2 такое,что для каждого целого и = 0,1,...т — 1 имеет место равенство: Ь = 11п1 я„иеь. Доказать, что Х = 1пп яи. 2.2.
Дана числовая последовательность (яи)иен. Доказать, что если каждая из последовательностей: (кзи)иЕН, (хзи г)иЕН и (тзи)иеи имеет предел, то существует также и предел 11п1 и„. и оо 2.3. Доказать, что если число р 0 Н есть предельны точка множества и =ДА' в=1 где Аы ° - °, Аи С Й, то р — предельная точка хотя бы одного из множеств Аю 2.4. Множество А С Й таково, что множество .С1щА не пусто. Доказать, что всякая предельная точка множества ЕгглА является предельной точкой множества А.
2.0. Пусть А С Й. Доказать, что если множество Е1тА конечно, то множество А не более чем счетно. 2.6. Доказать, что если множество ьвтА предельных точек множества А не более чем счетно, то множество А также не более чем счетно. 2.т. Пусть А есть множество всех чисел х 0 К, представимых в виде: 1 1 я= — +— и тп где и Е г1 и гп Е М. Найти множество ЮвтА всех предельных точек множества А. 2.8. Пусть А есть множество всех рациональных чисел х таких, что 0 < х < 1. Доказать, что ьзтА = (О, 1].
1 2.9. Пусть Ег есть множество всех чисел вида —, где и Е 1М. Предполоп жим, что для некоторого и Е М определено множество Еь. Будем обозначать 1 символом Еь~г совокупность всех чисел я вида —, где и Е 1Ч, а я Е Еь. И+Я Найти множество СпиЕь. 2.10. Найти все предельные точки множества чисел я, представимых в виде я = (~/й) (фигурные скобки здесь означают дробную часть числа, стоящего в скобках; см.
задачу 1.19.). 2.11. Пусть (яи)иен — последовательность вещественных чисел такая, что яи > 0 для всех и и хи -~ 0 при и -~ оо. Доказать, что найдется бесконечное множество значений и ч г1 таких, что хи, < хи при всех ти > и.
177 2.12. Пусть (хн)„еи и (у„) ен — числовые последовательности, определенные по индукции следующим образом: х1 = а и у1 = Ь, где а и Ь вЂ” произвольные вещественные числа и при каждом и ха+ 2уп Уп+ 1— 3 2хн+ у„ Х„Е1 = 3 Доказать, что существует предел 1пп х„= 1пп у„, н найти его. и — сс н ОО 2.13. Пусть числа о > О, р > 0 таковы, что а+ д = 1. Определим последовательности (хп) ен и (у„) ен, где х1 = а, уг = Ь, а и Ь вЂ” произвольно заданные числа и при каждом п б 111 Ха+1 = алн +11У~~ Ус+1 = 1ЗХн+ ОУп ° Доказатгь что существует предел 1пп х„= 1пп у„, и найти его. 2.14. Пусть х есть иррациональное число.
Доказать, что для всякого и б 111 существуют пелые числа р и д такие, что (теорема Барахле). (Указание: рассмотреть числа (йх), й = 1,2,..., п, и воспользоваться тем, что, по крайней мере, для двух из них абсолютпная 1 величина их разности не превосходите †.) 2.15. Пусть о — иррациональное число,Š— множество всех чисел х вида: х = (ап), где п Е Я, а фигурные скобки означают дробную часть числа (см.
1.19). Доказать, что множество ьзт Е совладает с отрезком (О, 1). (Указание: воспользоваться результатом предыдущей задачи.) 2.16. Доказать, что существует число й б 1Ч такое, что если и > й, то уравнение — х — х +1=0 3 2 и ( х" + х1з + + х'„' 1 1 1/р 1пп ") = щак(хг,хз,...,х„); р со 1 и (*р+х + ° .+х р р 1УР 1пп ) = 1ПШ(Х1,ХЗ,...,Хн). р — Оь и имеет три различных вещественных корня. Пусть и > й и х„< у„< з„— корни данного уравнения.
,Показать, что при и — ~ оо будет х„ -+ — 1, уп — ~ 1 и я„ — ~ со. 2.17. Пусть х1, хз,..., х„— положительные вещественные числа. Доказать, что 178 Гл. 2. Теория предела 2.18. Исследовать на непрерывность функцию: У: х Е К ~-~ 1пп ~/1+хзп. Построить график функции у. 2.19.
Пусть даны числа а > О и Ь > О, причем а < Ь. Определим последовательности (тп)пел и (Уп)пеи, полагал Х1 = а, У1 = Ь. Если хп и Уп определены, то 2хпуп хп + Уп Хп+1— Уп+1— Хп+Уп 2 Показать, что последовательность хп — возрастающая, последовательность уп — убывающая и 11пз хп = 1пп уп = зlаЬЬ. 2.20. Показать, что для всякого х Е К существует конечный предел 2п 1пп = у'(х).
1+ х2п Исследовать определенную так функцию 1 на непрерывность в точках х=х1. 2.21. Пусть х: (О,а) -+ й — строго возрастающая функция такал, что Бш <р(х) = О. Доказать, что если существует предел о то существует также и предел 1пп в'-о у 1' 2.22. Д 1 '1 ехр ( — — ) = о(~х1п) хз при х -+ О, каково бы ни было х б Я. 2.23.
Пусть х, у и я — произвольные числа. Положим: х+у+ я Р1(Х,У,Я) = 3 ху+ уз+ хя 3 179 Рз(х,У,«) =ХУ . Зададим числа а > О, Ь > О и с > О. Определим по ним последовательности: (хп) ен, (уп)пеи и («п)пеи такие, что Х1 = а, у1 = Ь, «1 = с, и при каждом и хп-~-1 = Р1(хп Уп «п)~ Р2(ХП Уп~«п) Утт+ 1 т Р1(хп~рп)«п) РЗ(хп,уп,« ) «и+1 = Р2(хпт Уп «и) доказать, чтО последОвательности: (хп)пел~ (уп)пеи и («п)пел схОдящиеся, причем зг— 1пп хп ОО 1пп Уп ОО Нпт «п ОО чаЬс. 2.24. Пусть Р1(х,у,«), рг(х,у,«), рз(х,у,«) имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче.
Зададим произвольно числа а > О, д > О и с > О и постРоим последовательности: (хп), (Уп) и («п). Полагаем Х1 = а, У1 = Ь, «1 = с и если хп, уп для некоторого п Е Ь1 определены, то ХП41 — Р1(Хттт Упт «п)т т+= %*о*~ з «и+1 = РЗ(ХП~Утт,«п). Доказать, что последовательности: (хп), (уп) и («п), и = 1,2,...,— сходящиеся, причем 1пп хп ОО 1пп уп ОО 1пп «п.
П ОО П ОО П ОО 2.25. Пусть Х1, хг,..., Хтп — произвольные вещественные числа. Для Й = 1, 2,..., т положим: 1 рь(хз,хг,,х ) = — ~Ь х;,хвз х, . 1ьтдСтз С -Стт ьтп Суммирование ведется по всем комбинациям индексов 11,12,..., 11„для которых выполнено условие, указанное под знаком суммы. Величины С,„суть ь биномиальвые коэффициенты, С равно числу слагаемых в сумме справа.
з Положим также ро(Х1, хг,..., хтп) ы 1. В частности, имеем: Х1+Хг+...Хтп Р1(Х1,«гт ° ° тхет) = т Ртп(Х1,Х2т .. ° тХттт) = Х1Х2...Хпт. 180 Гл. 2. Теория предела Пусть даны числа аь > О, й = 1,2,...,т. Определим по ним некоторые послацовательности (х„)вен, й = 1,2,..., ш, (ь) полагал х = аых = аг,...,х = аш. Если для некоторого и б г( вели(з) (г) ( ) чины х„определены для всех й = 1, 2,..., т, то при каждом й (ь)' (ь) рь(х„, х„,..., х„) (г) (г) ( ) хо+ з (ц (г) ( .) Рь-ъ(х,,х,,...,х, ) Показать, что при каждом й = 1, 2,..., та последовательность (хо )они (ь] является сходящейся, причем е *' = о%%..:й (ь) 2.26.
Числовая последовательность (х„)„ено определена следующим образом. Задаются числа а, Ь б й. Полагаем хо = О, хг = 1. Если для некоторого и величины хв и хи з уже определены, то х„ег = ахи+Ьх„ы (В случае а = Ь = 1 (хи)иеп называется последовашельиосшью Фибоиаччи.) Показать, что если предел 1(ш + и оо хо существует и конечен, то он является корнем квадратного уравнения: Аг — аЛ вЂ” Ь = О. При каких условиях указанный предел существует и конечен? 2.2У. Ланы числовые последовательности (х„)„еи, (у )„ею Показать, что если существуют пределы х = 1пп х„, у = Иш у„(конечные или бесконечоо и- оо ные), то Нгп шах(х„,у„) = шах(х,у); 1пп ш1п(х„,у„) = шш(х,у).
2.28. Последовательность (х~)„еи такова, что при каждом и х„+г — хо < ад", где )д~ < 1. Показать, что предел 1пп т„существует, причем — со< 1пп х <оо. 181 Задачи 2.2В. Пусть (хп)пен — числовая последовательность. Предположим, что существуют числа ьт > О и б > О такие, что при всяком п — б Х„.Ь1 — Х„> Доказать, что тогда существует предел 1пп х„, причем и ьо — оо < !пп х„< оо. Доказатьч что существует (конечный или бесконечный) предел 1пп х„.
2.30. Построить возрастающую последовательность (хп)пан такую, что 1пп х„= оо, и в то же вРемЯ 1пп (хп~.ь — х„) = О длЯ любого к Е 111. 2.31. Числовая последовательность х„такова, что для всякой строго возрастающей последовательности натуральных чисел (пь)вен разность а„„ — ае стремится к нулю. Доказать, что зта последовательность является сходящейся.
2.32. Пусть 1пп хп = 1пп утп = О, где хп > О, утп > О для любых п, тп Е И. доказатгч что тогда найдутся последовательности номеров (пт),ен и (тп,),еьч такие, что х„, > утп, > х„,+ при всех е. 2.33. Последовательность (х„) ен называется последоеатпельностпью с оераниченнььм изменением, если существует число М < оо такое, что )хз — хь)+ +~ха — хз)+ .
+ ~хп — хть 1~ < М при любом и. Доказатгч что всякая последоеатпельностпь с оераниченным изменением является сходящейся. Построить последовательность, не являющуюся последовательностью с ограниченным изменением и имеющую конечный предел.
2.34. Последовательность (хп) ен называется последовательностью с ограниченным верхним изменением, если существует число М < оо такое, что ьхз — х1! + (хз — хз~ + ' '+ ~хп хп — 1( < М. Доказать, что всякая последовательность с ограниченным верхним изменением имеет предел, при атом — со < 1пп хп < оо. Доказать, что если для последовательности с ограниченным верхним изменением 1пп хп > оо, то (хп)пан есть последовательность с ограниченным изменением (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
