1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 32
Текст из файла (страница 32)
166 Гл. 2. Теория предела окажем тве ение П. Пусть К есть нижнее число последовательности (х„)„еи . Согласно определению нижнего числа, найдется номер 6 6 1Ч такой, что если и > й, то К < х„. Если и > й, то — х„< — К, и, стало быть, — К является верхним ч и с л о м последовательности (-х„)„еи Отсюда следует, что 1пп ( — х„) < — К, и, значит, — Йпз ( — х„) > К. Число К Е Ф(х) было взято произвольно.
Поэтому из доказанного заключаем, что — 1пп ( — х„) > зарев(х) = Иш х„. и се е 00 (6.1) Для всякого Х Е У(-х) найдется й Е Ы такое, что если п > й, то — х„< К. Если п > й, то х„> — К, и, значит, — К является н и ж н и м ч и с л о м последовательности (х„)„ею Отсюда следует, что Иш х„> — К, 3$0О и, значит, — 1пп х <К.
и, значит, Иш х > — 1пп (-х ). е,эо и со (6.2) Из неравенств (6.1) и (6.2) вытекает п е р равенств. Докажем в т о р о е. Последовательность рассуждениях п р о и з в о л ь н а. Заменяя х„ что Иш х„= — Йш (-х ), то есть Иш (-х„) в о е из доказываемых (х„)„еи в проделанных Р на х„= — х„, получим, = — 1пп х. Число К Е Ъ'(-х) было взято произвольно. Из доказанного поэтому следует, что — 1пп х„< ш1У( — х) = Йш ( — х ), 167 З 6. Верхний и нижний пределы последовательности Отсюда — 1пп ( — х„) = 11ш х„, что и требовалось доказать. Утве ж ение П оказано.
окажем тве ж ение Ш. Пусть К <1= 1пп х„. Имеем, поопределению: 1 = впрЖ(х). В силу признака точной верхней границы функции (теорема 4.1 главы 1), найдется К Е М(х) такое, что К < К' < 1. К' есть нижнее число последовательности (х„) .ен Согласно определению нижнего числа, найдется число й Е 1з такое, что если и > й, то х„ > К' > К. Это и означает, что Х есть нижнее число последовательности (х„) ен Аналогично устанавливается, что всякое число Х > Ь = 1пп х„ в со ю~~вю* ( ) . У* хвх~ Цш!вх Лемма доказана. ° 6.2.
Критерий су естВОВАниЯ пРеделА последОВАтельности 6.2.1. Следующая теорема содержит критерий существования предела, который будет использован в дальнейшем. ° Т8Орома 6.1. Для того чтобы последовательность (х„)„ен имела предел, необходимо и достаточно, чтобы ее верхний и нижний пределы были равны между собой. Их общее значение и является пределом последовательности. Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что последовательность (х„)„ен имеет предел при и -+ оо. Пусть Ь есть значение этого предела.
Покажем, что 1пп х„> Х,. (6.3) Если Ь = — оо, то это в е р н о. Будем считать, что Ь > — оо. Возьмем произвольно Н < Ь. Следствие 2 леммы 1.7 позволяет заключить, что найдется й Е 1ч' такое, что для всякого и > й выполняется неравенство х„> Н. Это означает, что Н есть н и ж н е е ч и с л о последовательности (х„) ен Так как Н < Ь было взято произвольно, то мы, следовательно, получаем, что ~ — оо, Ь) С Ф(х). 168 Гл.
2. Теория предела Отсюда вытекает, что Ь = епр( — оо, Ь) < зпр Ф(х) = 1пп х„, и неравенство (6.3) д о к а з а н о. Докажем, что Йш х <Ь. (6.4) Еслибы=ос,тоэто верно. Пусть 1 < оо. Зададим произвольно К > Ь. Согласно следствию 2 леммы 1.7 существует номер й Е М такой, что для всякого п > й выполняется неравенство: К > х, так что Х является в е р х н и м ч и с л о м последовательности (х ) еи Отсюда вытекает, что У(х) Э (Ь, оо], и, значит, 1пп х„= ш1 Ъ'(х) < шХ(Ь, оо] = Х, и со и неравенство (6.4) д о к а з а н о.
Таким образом, для данной последовательности (6.5) 'пш х„< Ь < 1пп х„. е сО В силу предложения 1 леммы 6.2 имеет место неравенство: (6.6) 1пп х„> 11ш х„. и ОР Из неравенств (6.5) и (6.6), очевидно, следует, что для последовательности (х ) ен йшх„=Ь= 1ппх. Я 00 Н е о б х о д и м о с т ь условия теоремы доказана. Покажем д о с т а т о ч н о с т ь. Предположим, что для последовательности (х )„ен верхний и нижний пределы с о в п а д а ю т. Их общее значение обозначим через Ь. Требуется доказать,что Ь = 1пп х„. 169 з 6. Верхний и нижний пределы последовательности Пусть Х конечно. Зададим произвольно е > О. Тогда: Х вЂ” г<Ь<Х+е. В силу предложения П1 леммы 6.2, отсюда вытекает, что Х вЂ” е есть нижнее число данной последовательности, Х + г — ее верхнее число.
В силу леммы 6.1 это позволяет заключить, что найдется номер й Е 1Ч такой, что при всяком и > й выполняются неравенства: Х вЂ” с < х„ < < Х+с, тоесть |х„— Ц < с для всех и > й. Так как е > О произвольно, то тем самым доказано, что Х = 1пп х„. Пусть Х = оо. Возьмем произвольно К Е 1к. Тогда К < Х = 1пп х„ и, значит, К есть нижнее число последовательности. Согласно определению нижнего числа, отсюда вытекает, что найдется номер й Е М такой, что для всякого и > й выполняется неравенство: х„> К. Так как К Е К было взято произвольно, то тем самым установлено, что со = Х, = 1пп х„.
Предположим, что верхний и нижний пределы данной последовательности равны — со. Применяя предложение П леммы 6.2, получим, что верхний и нижний пределы последовательности (-х„)„ен равны со. Значит, по доказанному 1пп [ — х„] = оо. Отсюда, согласно определению предела, равного — со, следует, что 1пп х„= — оо. Теорема доказана. ° 6.2.2. В качестве приложения теоремы 6.1 приведем новое доказательство утверждения о числовых последовательностях, содержащееся в следствии 1 теоремы 3.2 этой главы. й Х1ругое доказательство достаточности критерия сходимости Коши — Больцано для последовательностей. Пусть 1х„)„ен есть произвольная последовательность вещественных чисел.
Предположим, что для всякого е > О можно указать номер Й Е Ы такой, что для любых пг > Й и пя > Й выполняется неравенство: ~х„, — х„,~ < е. Требуется доказать, что последовательность (х *)„ен имеет конечный предел. 170 Гл. 2. Теория предела Пусть 1 есть нижний, Х вЂ” верхний пределы данной последовательности. Зададим произвольно е > 0 и найдем соответствующий ему номер й 6 г1 . Фиксируем произвольно пе > й. Тогда для всякого и > й выполняется неравенство: ~к„— к„, ~ < е и, значит, ха, — е < к < тч, +е для всех и > й. Это означает, что х„, — е есть нижнее число последовательности (х„)„еи, а я, + е — ее верхнее число.
Отсюда вытекают неравенства х„, — е <1, Х < хщ, + е. Принимая во внимание, что 1< Х,, получаем: к„, — е <1 < Х < < х„, + е. Отсюда, в частности, вытекает, что верхний и нижний пределы данной последовательности конечны. При этом имеют место неравенства: 0 < Х вЂ” 1 < 2е. Так как е > 0 произвольно, отсюда следует, что 1 = Х и, в силу шеоремы 6.1, мы получаем, что данная последовательность (я„)„еи имеет предел. Предел этот равен общему значению верхнего и нижнего пределов и, следовательно, конечен, что и требовалось доказать.
° 6.3. ПОКЯтие чАстичнОГО лределА пОсле ОВАтельнОсти 6.3.1. Здесь мы установим еще некоторую полезную характеристику верхнего и нижнего пределов последовательности вещественных чисел. Число Х, 6 К называется частичным пределом числовой последоеательиостли (т„)„ен, если существует последовательность номеров (пь Е Р) )ьен такаЯ, что пя < пь~.1 пРи каждом Й и Х есть пРедел последовательности (я„„) ьею ° Лемма 6.3. Пусть (х„)„ен есть произвольная числовая последовательность и 1 есть ее нижний предел. ХХля всякой окрестности У числа 1 и любого номера г 6 Ы найдется пб1~1 такое, чтоп>гик„ЕУ. Яоказательство. Пусть последовательность (я ) „еи удовлетворяет всем условиям леммы.
Если 1 = оо, то, так как 1пп х„< 1пп х„(см. лемму 6.2 выа,зо и са ше), также и верхний предел последовательности равен бесконечности. Таким образом, в этом случае верхний и нижний пределы последовательности оба равны оо. В силу теоремы 6.1, отсюда вытекает, что 11ш х„= оо.
Пусть У есть произвольная окрестность точки оо, У представляет собой промежуток вида (.К, со], где й конечно. Следствие 2 теоремы 1.2 позволяет заключить, что найдется номер й 6 1Ч такой, что т > .К для всякого и > й. Х1ля всех таких и имеем: х„Е У. В частности, если п > г и одновременно и > й, то т„Е ХХ. З 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
