1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Из этого предположения вытекает, что каждая из функций у' и у" в промежутке [а, Ь] имеет постоянный знак. Следовательно, функции ~ и у' в этом промежутке строго монотонны. Монотонность производной у'(х) означает, что когда х меняется от а до Ь, угловой коэффициент ЗОЗ З 6. Формула Тейлора касательной графика функции у в точке (х, Дх)) либо возрастает, либо убывает. Геометрически это означает, что указанная касательная при возрастании х в пределах от а до Ь вращается монотонно либо по часовой стрелке, либо против. Так как функция у на концах промежутка [а, Ь] принимает значения разных знаков, то уравнение у(х) = О имеет корень, лежащий в интервале (а, Ь). В силу строгой монотонности функции у, этот корень е д и н с т в е н н ы й.
Лалее мы будем обозначать его символом ~. Итак, С есть число из интервала (а, Ь) такое, что у(с) = О. В зависимости от того, какой знак имеют производные у' и ум функции у в данном промежутке [а, Ь], возможны ч е т ы р е различных случая: 1) У' > О и Уи > О в [а, Ь]; 2) У' > О и уи < О в [а, Ь]; 3) У' < О и Уи > О в [а, Ь]; 4) У' < О и ~и < О в [а, Ь]. На рис.
22 показано, как выглядит график функции У в каждом из этих случаев. Риа 22 364 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной Все эти случаи сводятся к случаю 1), если принять во внимание следующие соображения. Пусть |1(х) = 1( — х). Знак первой производной функции у противоположен знаку первой производной функции У. В то же время знаки вторых производных функций 11 и У совпадают. Палее, если 5(х) = — ~(х), то знаки первой и второй производных функции 1з противоположны знакам соответствующих производных функции ). В силу сказанного, комбинируя замену переменной х ~-+ — х с умножением на — 1, всегда можно свести общий случай к случаю 1).
По индукции, определим некоторую последовательность (х„)„>и точек промежутка [а, Ь]. В качестве хе выбираем произвольную точку промежутка [а, Ь]. Предположим, что для некоторого п точка х„определена. Построим к а с а т е л ь н у ю графика функции 7" в точке (х„, У(х„)) (см. рис. 22). Эта касательная задается уравнением: а=У(х )+(х — ' )Й ' ) (6.16) У(х )+ (х — х„)У'(х ) = О. (6.17) Решая это уравнение, получим: х +г = У(хп)— У(х ) У (хч) (6.18) Правильный выбор точки хс имеет важное значение для описываемого построения.
Пело в том, что при неудачном выборе хе точка х1 может оказаться лежащей в н е промежутка [а, Ь], и построение в этом случае не может быть продолжено. Предположим, что функция у такова, что У'(х) > О и У"(х) > О для всех х Е [а, Ь], и точка хе выбрана так, чтобы выполнялись условия: ~ < хе < Ь. Можно взять, например, хе = Ь. Предположим, что х„ определено, причем выполняются неравенства: (6.19) Л о к а ж е м, что неравенства (6.19) остаются верными, если в них заменить х„на х„+1. Так как х„Е [а, Ь], то 7 (х ) ф О, откуда следует, что правая часть равенства (6.16) обращается в нуль для некоторого х Е й.
Полагаем х„ег равным тому значению х, для которого 365 З 6. Формула Тейлора Если Дх„) = О, то хп = С, и в этом случае также и х +1 = С. Будем считать, что У(х„) > О. Тогда хп > С и из равенства (6.18) следует, что Хи+1 < Хп < Ь.
(6.20) В силу теоремы Паеранжа о среднем значении (следствие 1 теоремы 4.3 этой главы), (6.21) где С < д < х . Так как вторая производная функции у в промежутке (а,Ь], согласно предположению, положительна, то функция у' является с т р о г о в о з р а с т а ю щ е й, откуда вытекает, что У(д) < у(х„). Так как у(с) = О, то из равенства (6.21) следует, что У(хп) ~( ) хп — ( Отсюда, после простых преобразований, получаем: У(х ) < Хп ~~( ) — Хп+1 ° По условию, точка хэ выбрана так, что выполняются неравенства с < хе < Ь. В силу принципа математической индукции, как следует из доказанного, последовательность (хп) > н„полностью определена.
В силу неравенства (6.20), эта последовательность является убывающей. Из (6.19) следует, что она ограничена снизу и, значит, согласно теореме о пределе моногаонноб 4уннции (см. глава 2, З 3, теорема 3.1), существует конечный предел: Имеем: 11щ хп.~-1 — 11щ хп — (. Переходя в равенстве (6.18) к пределу при н — + оо, получим: откуда Я) = 0 и, следовательно, ~ = 4. 366 Гл. 4.
Лиффереициальиое исчисление функций одной переменной Таким образом, построенная последовательность (х„)„>к, имеет своим пределом точку с. Тем самым мы получаем некоторый метод построения приближенных значений корня уравнения Дх) = О. Этот метод называется методом Ньютона, по имени его автора, или методом касательных.
На рис. 21 показано также, как следует выбирать точку хв в каждом из случаев 1) — 4). Геометрически выбор хв определяется следующим образом. График функции у — вместе с отрезком оси Ох, соответствующим значениям х б [а, б], и двумя перпендикулярами, опущенными из коннов графика на ось Ох, — определяет два криволинейных треугольника. У одного из них искривленная сторона такова, что касательные в ее концах проходят в н у т р и треугольника.
У другого треугольника касательные в концах его искривленной стороны лежат в н е этого треугольника. В качестве точки хо следует брать тот конец отрезка [а, б], который соответствует первому треугольнику. Аналитически выбор хв определяется следующим и р а в и л о м. В качестве точки хв следует выбирать тот из концов отрезка [а, б], для которого выполняется неравенство: Дхо)~о(хо) ) О. 3 а м е т и м, что как нетрудно усмотреть из геометрических соображений, — как бы ни была выбрана точка хо, — если точка х1 оказалась лежащей в промежутке [а,о], то все последующие значения х о и р е д е л е н ы, лежат в отрезке [а, Ц и образуют монотонную последовательность, имеющую пределом корень с уравнения у(х) = О.
О еним с к о ость и иближения х к и ел Применяя формулу Тейлора второео порядка, получим: (~ )2 О = ~(с) = Дх„) + (с — х )~'(х„) + " ~о(д). Отсюда У(х ) з .[' '(д) ~'(х„) 2~'(х„) Л е в а я часть этого равенства есть х +ы и мы получаем: уо(о) 2~'(х ) 367 З 6. Формула Тейлора Пусть 1 = вир у"(х), 6 = 1пХ у'(х).
Тогда хе[а,ь] ~в~а,ь1 Следовательно, 0 < х .~1 — ~ < М(х„— () при каждом и. Заменяя здесь и на и+ 1, получим: 0 < хп+г — ( < М(х„+1 — 4) < М (х„— ~) . По индукции устанавливается, что для всякого Й Е 1Ч имеют место неравенства: О < х +ь 1 < Мг -1(х 1)г (6.22) Неравенства (6.22) позволяют заключить, что х„с ростом и достаб б * $уммрмдД )=0. Пусть М > 1.
Предположим, п таково, что М(х„— С) < О, 1. Тогда из неравенств (6.22) вытекает, что х„~ь — ~ < — 10 < 10 так что, начиная с данного и,число в е р н ы х десятичных знаков приближенного значения х„.~ь корня уравнения у(х) = 0 при переходе сткий+1 удваивается. В случае, если М < 1, выбираем х„так, что х„— с < О, 1. Тогда получим, что гь-г -г" -ге 0 < х„+ь — 4 < М 110 г < 10 г для всякого й Е И.
6.5.2. В качестве п р и м е р а на приложение метода Ньютона для решения уравнения Дх) = 0 опишем алто итм я нахож ения п иближенного значения кв атного ко ня из ве ественного числа. Пусть дано число а > О. Квадрагпный корень из него есть решение уравнения: х — а = О. Применим описанный выше метод, полагая Дх) = х — а. Будем искать решение уравнения хг — а = О, лежащее в промежутке (О,оо). Имеем: У'(х) = 2х. Зля х > 0 имеет место равенство: у(х) хг — а 1 / а~ х — —,=х— ~*+ !' ,г'(х) 2х 2 ~ х ! 368 Рл.
4. дифференциальное исчисление функций одной переменной Полагаем хо = 1+ а/2. Очевидно, хо о> а, откуда следует, что хо > ~/а. Пусть х для некоторого целого п > О определено. Полагаем: 1~ а1 х„+г = — ~х + †). (6.23) 2~ х) Определенная таким образом последовательность (х„)„>,чо имеет своим пределом решение уравнения у = а. Метод построения последовательных приближений числа,/а, определяемый формулой (6.23), называется метподом Герона. 6.5.3.
В качестве гого и и м е а опишем с и о с о б вычисления об атной величины числа основанный на использовании метр а Ньютона. Пусть а Е К. Предположим, что а > О. Определение обратной величины числа а формально сводится к решению уравнению 1 а — — = О.
1 Полагая Дх) = а — —, получим, что равенство (6.18) в рассматриваемом случае принимает вид: 1 а —— х„+1 = х„— " = х (2 — ах„). хи (6.24) хи 2 Лля приложений существенно то, что в равенстве (6.24) справа мы имеем выражение, не содержащее операцию деления. При реализации процесса, основанного на использовании формулы (6.24), начальное приближение хо выбирается следующим образом. Пусть гл — целое число такое, что 1 — <2 а<1. 2 Тогда полагают хо = 2 ™. При таком выборе хо имеет место оценка: ~ — — х„~ < 2хо( — ) Показательство последнего неравенства предоставляется читателю в качестве упражнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
