1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Если х = а, то доказывать нечего и мы будем считать, что х ~ а. Пусть функция т: Ф ~-+ т (Ф) определена равенством (6.9) леммы 6.4. Положим у(Ф) = ]х — $]», где 1 < Л < и + 1. Так как т (х) = О и у(х) = О,то справедливо равенство: 357 З 6. Формула Тейлора 2) (В т о р о й в а р и а н т.) рассмотрим случай, когда 1— это вещественная функпия. Тогда, согласно тпеореме Кощи для вещественных ~улицей (теорема 4.3), найдется 4 такое, что если х < а, то х < ~ < а, а если х > а, то х > с > а и т (а) т„(х) — т„(а) т'„(() ]х — а]" д(х) — д(а) д (т.) Это означает, что т„(а) (1 — В)" л+'~<"+'>[а+ 0(х — а)] ]х а]л сгЛ]х — а] л-лп! — (х — а)".

Отсюда получаем: (1 — В)" "+~~~"+л1[а+ В(х — а)] т (а)— Лп! ст]х — а[(х — а)". Следствие 1. Пусть функция У: (р, д) — С является (и + 1)- кратно дифференцируемой в промежутке 1 = (р,д). Зададим произвольно точку а Е 1 и для х Е 1 положим Ь„(х,а) = впр ]1'"~~~[а+ 0(х — а)]]. о<в<л Тогда имеет место неравенство: " х'"'( ) 1(х) — ,'~~ , (х — а) Ь„(х, а) ]х — а] "+' — ( +1)~ Если У вЂ” это вептественная функция, то для любого х Е 1 найдется 0 такое, что 0 < В < 1, и 1- ~~~~(а) ь ~~"+Ц[а+ 0(х — а)] „+л — й! *- ' (и+1)! Это ч а с т н ы й с л у ч а й теоремы 6.3 при Л = п+ 1. Следствие 1 доказано. Осталось заметить, что п]х — а] = х — а, и теорема доказана полностью. ° 358 Гл. 4.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной Следствие 2. Пусть Функция 1: 1 — С, где 1 есть интервал множества К, в каждой точке х Е 1 имеет производную порядка и + 1. Для х Е 1 и а Е 1 положим: СЕ„(х, а) = зпр (1 — д)"!1~"+~~[а+ д(х — а))!. О<В<1 Тогда имеет место неравенство: и (ь) Х(х) — ~), (х — а) С„(х, а) !х — а[ "+1 и! Если 1 есть вещественны функция, то для любых х, а й Х найдется д Е (0,1) такое, что ч — Х!") (а) ь (1 — д) "1!"+') [а + д(х — а)] „+, и! п! Данное утверждение — это ч а с т н ы й с л у ч а й теоремы 6.3 при Л = 1.

Следствие 2 доказано. Т Следствие 3. Пусть функция 1: 1 — С, где Х есть интервал множества К, в каждой точке х Е 1 имеет производную порядка п + 1. Ясли для всех х Е 1 выполняется равенство 1!"+~) (х) = О, то функция 1 является полиномом степени не выше и. л1охазательстно. Достаточно заметить, что если 1 удовлетворяет условию следствия 3, то для любых х, а Е 1 величина 81 „А(х, а) равна нулю. Отсюда (ь) Х(х) = ,')~, (х — а) .

Следствие 3 доказано. 6.4. НОВОе докАзАтельстВО ФОРмУлы ЛейБЕЕ А Применяя формулу Тейлора, мы дадим здесь другой вывод формулы Лейбница (см. З 3, п. З.З) для производной порядка и произведения функций класса З". 359 'З 6. Формула Тейлора Пусть 1: 1 — + С есть функция класса 2З" в промежутке 1 = (а, Ь). Предположим, что для некоторой точки хо Е 1 построен полипом Р степени не выше и такой, что 1(х) = Р(х) + о[(х — хв)"] пРи х -+ хо. Тогда, согласно теореме 6.2, Р есть полипом Тейлора амуниции 1" в точке хо. Пусть Р(х) = Ьв + Ь| (х — хо) + Ьг(х — хо) + ° ° ° + Ь„(х — хо)" — это разложение полинома Р по степеням х — хо. Тогда имеют место равенства: Ьо = 1(хо), Ьг = 1'(хв),, и!Ь„= ~66(хо). Таким образом, знал полипом Р, мы можем найти значения всех производных порядка не выше и функции 1 в точке хв. В качестве п и м е а иллюст ющего анное замечание п и- гой выво о м лыПейбни а для п оизввд- в емз есь ной и-го по ядка п оизведения нк ий.

Пусть даны промежуток 1 = (а, Ь) С К и функции ~~, 1г,..., 1 принадлежащие классу ТУ". Возьмем произвольно точку хв Е 1. Согласно теореме 6.1, при каждом к = 1, 2,..., т имеем: У (х) =Ь(* )+, (х — )+". У'(хо) ° + (х — хо) + ггь(х) (х — хв) ~'"'(") (6. 11) где аь(х) = о(1) при х — хв. Перемножая почленно равенства (6.11), получим равенство, в левой части которого стоит произведение ~~(х)1з(х)... 1 (х). Справа будем иметь сумму (и + 2) слагаемых.

П р а в у ю часть полученного равенства преобразуем следующим образом. Прежде всего, заметим, что каждое слагаемое этой суммы, содержащее множитель вида аь(х) (х — хо)", есть о[(х — хо) "] при х — + хо. Заметим также, что с у м м а конечного числа функций, каждая из которых есть величина порядка о[(х — хо) "] при х — + хо, также является величиной порядка о[(х — хв) ] при х -+ хв. 360 Гл. 4. дифференциальное исчисление функций одной переменной С учетом этих замечаний, получим, что Р(х) = Ях)5(х)...

У (х) есть с у м м а всевозможных произведений вида: Д (хо)У2 (хо) . У (хо), )1,+!2+" +1,„ !1Ц2! ° ° ! ! и величины о[(х — хо)"] при х -+ хо. Теперь заметим, что если !1+ !2+ + ! > п, то величина, представленнаи равенством (6.12), также есть о[(х — хо)"] при х -+ хо. Пусть ! > Π— целое. Сумма всех тек из произведений (6.12), длн которых !1+ 4+ . + 1„= 1, равна А!(х — хо)1, где А! — некоторое число. Принимал во внимание, что если ! > а, то А!(х — хо)' = о[(х — хо) "] при х — + хо, получим, в конце концов, при х — хо равенство: Ях)~2(х) .У (х) = Ао+ А1(х — хо) + + А„(х — хо)" + о[(х — хо)"]. (6.13) В силу теоремы 6.2, полипом в правой части (6.13) есть поливом Тейлора порядка п функции Е = у15...

У в точке хо и, зна п1т, Ф '(хо) !! при каждом ! = О, 1, 2,..., !1. В частности, отсюда получаем Р!"!(хо) = и!А Осталось заметить, что величина А — это с у м м а всевозможных произведений У," (хо)Л'(*о) "У "'(хо) !1Ц2! ° ° ° !т! ГДЕ !1 > О, 12 > О, ..., ! > Π— целые, причем !1 + !2 + + ! = П. И окончательно получаем формулу для и-й производной произведении т функций у: , у~р'(хо) у20'(хо)... А'"'(хо) 1 2 * = Е !1+12+" +!тл=» (6.14) где сумма справа беретси по множеству всех наборов !1,4,...,! неотрицательных целых чисел таких, что !1+ !2+ + ! = и.

361 З 6. Формула Тейлора Установленная ранее (см. и. З.З этой главы) формула Лейбница для производной произведения двух функций — это ч а с т н ы й с л у ч а й равенства (6.14). Таким образом, применяя формулу Тейлора, мы получаем н о в о е оказательство о лы Лейбни а ля и оизво ной и-го по ка и изв ения в х к 6.5.

Метод ~ьютонА метОЛ кАсАтельных пРиБлиженнОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ~(х) = О. (6.15) Пусть дано произвольное число С 6 К. Говорят, что число х 6 И есть приближенное значение ~ с погрешностью, не превосходящей в, если [х — с[ < в. Пусть | есть длина промежутка [а, Ь). После и шагов построения, содержащегося во втором доказательстве указанной теоремы 4.1 главы 2, мы получим отрезок длины 1„= — „, в котором лежит корень уравнения (6.15). Точки из этого промежутка можно рассматривать как приближенные значения корня уравнения (6.15) с погрешностью, не превосходящей —.

Если, например, 1 = 1, то для того, чтобы получить приближенное значение решения уравнения (6.15) с погрешностью, меньшей 10 в, по методу деления пополам (см. второе доказательство теоремы 4.1 главы 2), требуется выполнить не менее 20 шагов. Выполнив еще двадцать шагов, получим приближенное значение корня уравнения с погрешностью, меньшей 10 ~~. Появление быстродействующих электронно-вычислительных машин делает такую скорость вычисления во многих случаях удовлетворительной. 6.5.1.

Задача исследования функции методами дифференциального исчисления, которая будет рассмотрена подробно в З 9 этой главы, требует умения определять некоторые характерные точки функции, что во многих случаях сводится к решению уравнения вида у(х) = О. Здесь мы рассмотрим воп ос о численном шенин таких уравнений. Пусть функция у, определенная в некотором промежутке [а, Ь), непрерывна, причем У(а) < О, а У(Ь) > О. Согласно теореме 4.1 главы 2, уравнение Г(х) = 0 имеет, по крайней мере, одно решение, лежащее в промежутке (а, Ь). Метод последовательных делений промежутка пополам, описанный во втором доказательстве теоремы 4.1 главы 2, может быть использован также и для практических целей как средство приближенного решения уравнения: 362 Гл. 4.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной О т м е т и м следующее обстоятельство. Для того чтобы метод деления пополам можно было применить для решения уравнения у(х) = О, достаточно, чтобы функция у была непрерывна и принимала значения разных знаков в копнах промежутка, в котором она определена. По-видимому, неизвестен метод, который позволил бы обеспечить более быструю скорость приближения к корню уравнения у(х) = О при этих предположениях. С точки зрения направления математики и математической логики, называемого констлруктливизмом, метод решения уравнения ~(х) = О последовательным делением отрезка пополам не является <полноценным» алгоритмом. Однако во многих важных случаях данный метод оказывается вполне эффективным. Если функция у удовлетворяет более сильным условиям, чем те, выполнение которых предполагается в методе деления пополам, то можно указать способы приближенного решения уравнения у(х) = О, более эффективные, чем метод деления пополам.

Пусть функция у определена в промежутке [а,Ь] множества К и удовлетворяет следующим условиям: А) Функция у непрерывна и ее значения в концах промежутка [а, Ь] имеют разные знаки. В) Функция у принадлежит классу С~. С) Производные у' и у' в промежутке [а, Ь] всюду отличны от нуля. Эти предположения могут показаться чрезмерно жесткими. При этом особенно неприятным представляется требование постоянства знака производных функции у, содержащееся в условии С). Для произвольной функции класса Сз ее производные в разных точках ее области определения могут иметь различные знаки.

Если, однако, решение с уравнения у(х) = О таково, что у'(~) ф О и у"(с) ~ О, то в малой окрестности точки с условия В) и С) будут выполнены. Если каким-либо способом (например, тем же способом деления отрезка пополам) указан некоторый достаточно малый отрезок, содержащий корень уравнения у(х) = О, то, с большой степенью уверенности, можно считать, что в этом отрезке условия А), В) и С) выполняются. Итак, пусть даны отрезок [а, Ь] С К и функция у: [а, Ь] — + К такая, что ее значения у(а) и у (Ь) имеют разные знаки, причем ~ удовлетворяет условиям В) и С).

Характеристики

Список файлов книги