1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 65
Текст из файла (страница 65)
6.5.4. Метр Ньютона иног а и именяется в комбин и с гим метр ом известным по названием имегцод хо д». Несколько слов об Р~к мс~и 369 З 7. Точки экстремума лкфферевцируемой функции Пусть функция у, определенная в промежутке [а, Ь] С К, принимает в концах этого промежутка значения разных знаков и для нее выполнены условия А), В) и С), указанные вьппе.
Пусть (х ) ен есть последовательность приближений, полученная по методу Ньютона. Определим новую последовательность (к'„)„ен следующим образом. Пусть к', есть точка пересечения оси Ок с хор д о й, соединяющей концы (а,Да)) и (Ь,у(Ь)) графика функции у. Предположим, что для некоторого в Е г1 точка к'„определена, причем точки к'„и к„лежат по р а з н ы е стороны точки с — корня уравнения У(к) = О. Точку х'„+г определим как точку, в которой прямая, соединяющая точки графика функции у, лежащие н а д точками х'„и к„, пересекает ось Ок. Если у" (к) > О для всех х Е [а, Ь), то любая касательная графика функции у лежит ниже графика, а любой отрезок, соединяющий произвольные две точки графика, располагается выше дуги, концами которой являются эти точки. (Показательство этих утверждений будет дано в з 8 данной главы.) Отсюда вытекает, что точки к„и х'„при каждом и лежат по разные стороны точки С.
Точно так же можно заключить, что точки х„и х'„лежат по разные стороны от корня С уравнения Дк) = О и в случае, когда у'"(к) ( О для всех х Е [а,д). Аналитически последовательность (к'„)„ен определяется посредством соотношений: (я„— кэ) У(хе) У(*') — У(* ) ' Последовательности (к„)„ен и (к'„)„ен с х о д я т с я к к о р н ю ~ уравнения у'(к) = О с р а з н ы х сторон. Это ает возможность ля каж ого номе а и азать коня ет ю о е н к отличия от вели- чин к и х' то есть о енить к а ч е с т в о и иближенных ешений х и х' авнения х = О.
~ 7. Точки экстремума дифференцируемой функции В приложениях математики часто возникают задачи, в которых требуется найти наименьшее или наибольшее значение той или иной величины. Здесь рассматривается простейший частный случай указанной общей задачи, а именно, — случай, когда речь идет о функциях одной переменной. Результаты, хоторые будут здесь получены, оказываются полезными также и в других, существенно более общих случэлх. Зто Гл. 4. Лифференциальное исчисление функций одной переменной 7.1.
НЕОБХОЛИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Ранее было введено понятие точки экстремума ~дикции. Напомним его. Пусть даны плотное в себе множество А С Ж и функция ~: А — 14. Точка р Е А является точкой максимума функции ~, когда можно указать 6 > О такое, что если х Е А и )х — р~ < б, то у(х) < ~(р). Точка р е А называется точкой минимума функции у, если можно указать б > О такое, что для всякого х Е А, отстоящего от р на расстояние, меньшее 6, выполняется неравенство Дх) > У(р). Говорят, что р Е А — это точка экстремума функции У, если р является или точкой минимума, или точкой максимума У. Также говорят, что р е А — это точка строгого минимума функпии У: А — К, когда существует окрестность У = (р — б,р + б) точки р такая, что если х Е П П А, причем х ~ р, то Дх) > Цр).
Аналогично, точка р Е А называется точкой строгого максимума функции у: А — Ж, когда существует окрестность У = (р — б,р+ 6) точки р такал, что если х Е П П А, причем х ф р, то у(х) < у(р). Пусть даны множество А С Гс и функция у: А -+ К. Как было показано в и. 4.1, если р Е А — это точка минимума функции д = — у, то р является точкой максимума функции у, а если р — точка максимума д = — у, то р есть точка минимума у". Геометрически, — условие: «р Е А есть точка экстремума функции ~: А -+ К» — означает следующее. Построим график функции ~ (см. рис. 23).
Тогда р является точкой экстремума функции у в том и только в том случае, если существует 6 > О такое, что часть графика функции у, соответствующая значениям х Е А, для которых ~х — хо ~ < 6, лежит п о о д н у с т о р о н у от горизонтальной прямой р = ~(р), а именно, в ы ш е ее, если р есть точка минимума (точки р1 и рз на рис.
23), и н и ж е ее, если р есть точка максимума (точка рс на рис. 23.) 'З 7. Точки экстремума диффереицируемой функции Если функция у: А -+ 2 принимает в точке р Е А свое наименьшее значение, то р есть точка минимума функции У. Точно так же, если функция У принимает свое наибольшее значение на множестве А в точке р, то р — это точка максимума функпии у. Таким образом, точки, в которых функция у принимает свои наименьшее и наибольшее значения, следует и с к а т ь с р е д и точек экстремума функции.
Точка строгого минимума (максимума) функции, очевидно, является ее точкой минимума (соответственно, максимума). Обратное, вообще говоря, н е в е р н о. Если функция 7 определена во всех точках некоторой окрестности точки р и постоянна в этой окрестности (см. рис. 24(1)), то точка р является одновременно точкой максимума и точкой минимума функции. В данном случае, очевидно, р не является точкой строгого минимума или строгого максимума функции.
2 12 Другой пример получаем, полагая у(х) = я ~з1п — ~ при я ~ 0 и у(0) = 0 (рис. 24(2)). Для всех я Е К имеем: У(я) ) 0 и у(0) = О. Отсюда ясно, что 0 есть точка минимума данной функции у. Для вся- /11 1 кого и Е г1 выполняется у ~ — ) = О. При и -+ оо будет — — ~ О, откуда 1 следует, что любая окрестность У точки 0 содержит точку я = — для некоторого и Е г1. Таким образом, любая окрестность У точки 0 содержит точку я ф О, для которой у(я) = 0 и, следовательно, 0 не является точкой строгого минимума данной функции у.
Риа 24 Пусть даны функция у: А — Е и некоторое подмножество В области определения данной функции. Пусть р Е В. Будем говорить, что р есть томка максимума (минимума) функции у на множестве В, если р есть точка максимума, соответственно, точка минимума ограничения у~ функции у на множестве В. в Пусть, например, А = К, У(я) = я для всех я Е К и В = [ — 1, Ц. 372 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Тогда — 1 есть точка минимума данной функции на множестве В, 1 есть точка максимума функции на этом множестве. Нетрудно видеть, что на множестве А = Ж рассматриваемая функция у не имеет точек экстремума.
Заметим, что если р Е А — это точка минимума или максимума функцииУ,то,вообщеговоря, нельзя утверждать, что функция У принимает в этой точке свое наименьшее или, соответственно, наибольшее значение. Понятие точки экстремума имеет значение и независимо от задачи о наименьшем и наибольшем значениях функции. Знание этих точек помогает получить правильное качественное представление о строении рассматриваемой функции. Понятие точки экст м ма может иметь оп еленный изи- ческий смысл. Пусть, например, у(4) означает координату в момент времени 4 некоторой материальной точки, движущейся по прямой, причем функпия У непостоянна ни в каком промежутке времени. Точки экстремума суть те моменты времени, в которые происходит изменение направления движения данной материальной точки.
Ранее была доказана теорема Ферма (теорема 4.1), устанавливающая некоторое необходимое условие для точек экстремума дифференцируемой функции. ° Теорема Т.1 (усиленная теорема Ферма). Пусть А С Ж есть плотное в себе множество ир Е А есть точка экстремума функции у: А — К. Если у имеет в точке р левую производную Д(р), то Д(р) > О в случае, когда р есть точка максимума 1, и Л(р) < О, когда р есть точка минимума У. В случае, когда функция У имеет в точке р правую производную, ~„(р) < О, если р — точка максимума функции У, и У„(р) > О, если р является точкой минимума 1. Доказательство.
Пусть р есть точка экстремума функции Х. Найдем б > О такое, что если я е Аи ~я — р~ < б, то у(я) > 1'(р), если р есть точка минимума, а если р — точка максимума, то у(х) < у(р). Пусть р есть точка максимума функции У, и для всякого х б А, такого что ~х — р~ < б, выполняется неравенство 1(я) < у(р). Для всех таких я имеем: 1(х) — У(р) < О. Если я < р, то я — р < О, а если я > р, то я — р > О. Отсюда следует, что если х Е А принадлежит интервалу (р — б,р+ б), то: в случае, когда я лежит с л е в а от р, имеем З 7.
Точки экстремума диффереицируемой функции 373 при х, лежащем с и р а в а от р, выполняется неравенство ~(*)-и) <, х — р Отсюда, в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве (см. гл. 2, п. ЗА), следует, что: если функция у имеет в точке х л е в у ю производную, то У[(р) > О; если в этой точке у функции У существует и р а в а я производная, то У„'(р) < О. Если р — точка минимума функции г, то р есть точка максимума функции д = — у и, значит, по доказанному, д,'(р) > О и д„'(р) < О.
Осталось заметить, что д[(р) = — У,'(р) и д,'(р) = — у„'(р), откуда очевидным образом следует утверждение теоремы, касающееся данного случая. Теорема доказана. ° Точка р Е А С К называется стационарной гаочкой функции ,г: А- 2, если О = ~'(р).
Из теоремы 7.1 можно получить следующую информацию относительно того, где следу е т и с к ать точки экстремума функции. Пусть дана функция у: [а,Ь] — ~ Ж. Предположим, что у имеет конечное число угловых точек, то есть таких, что У~'(х) Ф У'(х), и во всех остальных точках х Е [а, 6] функция у дифференцируема. Тогда точками экстремума функции ~ могут быть только точки одного из следующих видов: а) угловые точки, в которых левая и правая производные либо имеют разные знаки, либо одна из них обращается в нуль; б) стационарные точки функции У в интервале (а, 6), то есть точки х Е (а, Ь), для которых г"'(х) = О; в) концы промежутка [а, 6].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
