1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Лля того чтобы найти точки экстремума функции, определенной на некотором промежутке, необходимо найти точки указанных трех категорий. Если точка х удовлетворяет одному из данных условий а) — в), то она, вообще говоря, может и н е б ы т ь точкой экстремума функции. Если же х есть точка экстремума функции г, то — пока мы не имеем в своих руках средств, с помощью которых можно было бы узнать, — является ли х точкой минимума функции у или же х есть точка максимума У. 374 Гл. 4.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной П ив емнехото ые и уме ы. Пример 1. Рассмотрим функцию х ~-+ х", где и > 2 — целое число. Имеем: Р(х") = пх" Производны функции х ~-+ х" обращается в нуль в точке О. Если и — четно, то х" > 0 = 0" для всех х Е Ж, откуда следует, что 0 есть точка минимума функции х ~ х". Если же и — нечетно, то х" > 0 при х > 0 и х" < 0 при х < О. Отсюда ясно, что 0 не является точкой экстремума функции. Данный пример показывает, что из того, что в некоторой точке р производная функции 1 обращается в нуль, вообще говоря, н е л ь з я заключить, что р есть точка экстремума фунхпии у.
Приведем еще пример функции, имеющей особенность, не позволяющую среди точек, где производная функции обращается в нуль, распознать точки экстремума имеющимися в нашем распоряжении средствами. Пример 2. Пусть [а,Ь] = [ — 1,1], р = О. Определим функцию 1(х), полагая 1'(0) = 0 и 1'(х) = х зш — при х ~ О. Имеем: У(х) — У(0) х х прих- О. Производны у'(0), таким образом, существует и равна нулю. Положим: 1 и+ 1/2 Тогда 1(х„) = х„зшк (и+ — 1 = ( — 1)"х„ 2/ при каждом и.
При п -+ оо будет х — О, и мы, следовательно, получаем, что для всякого б > 0 найдутся такие п1 и пз, что ]х„, ] < б, ]х„, ] < б, причем у(х,) > 0 = 1(0), а У(х„,) < 0 = 1(0). Это, очевидно, будет иметь место, если п1 и пз достаточно велики, причем п1 — ч е т н о, а пз — н е ч е т н о. Для функции д(х) = [1(х)] имеем д(х) > 0 = д(0) для всех х Е И. В данном случае 0 есть точка экстремума фунхции д. 7.2. ОстАточные УслОВКЯ экстРемУмА Здесь мы приведем п р а в и л а, позволяющие в некоторых случаях определять точки экстремума функции.
375 'З 7. Точки экстремума лнфференцнруемой функции ° Теорема Т.2. Пусть даны плотное в себе множество А С К и функция у: А -+ К. Предположим, что множество А содержится в промежутке (а,оо), причем а Е А, н функция 7' имеет производную у (а) ~ О. Если У~(а) > О, то а есть точка минимума функции у, а если 7 (а) < О, то а является точкой максимума У. Аналогично, если А содержится в промежутке ( — оо, Ь), Ь Е А, и существует производная,( (Ь) ~ О, то в случае у~(Ь) < О величина Ь есть точка минимума, а в случае у ~(Ь) > Π— точка максимума функции У. Доказательство.
Сначала докажем утверждение теоремы, относящееся к точке а. Предположим, что у'(а) ф О. По определению, у(х) — у(а) я а,леА х — а Отсюда вытекает, что найдется 6 > О такое, что для всякого х Е А такого, что ~х — а~ < 6, в случае, когда У'(а) > О, имеет место неравенство у(х) — у(а) х — а а если У'(а) < О,то — неравенство у(х) — У(а) Так как при х > а выполняется неравенство х — а > О, отсюда получаем, что если у'(а) > О, то для всякого х Е А такого, что ~х — а( < 6, У(х) > 7(а), откуда видно, что а есть точка минимума у'. Если же у'(а) < О, то для всякого х Е А такого, что ~х — а~ < 6, имеет место неравенство у(х) < у(а).
Это позволяет заключить, что в данном случае а есть точка максимума функции У. Обоснование утверждения теоремы, относящегося к точке Ь, предоставляется читателю. Теорема доказана. ° ч Следствие. Предположим, что область определения функции у: А -+ И содержит в себе некоторый интервал (а,~б) н точка р Е (а,Д) такова, что функция у имеет в этой точке левую н правую производные. Если Д(р) < О, а у„'(р) > О, то р есть точка минимума функции у, а если Д(р) > О, а У,'(р) < О, то р является точкой максимума функции У. Доказательство. Положим А1 = Ай ( — оо,р) и Аз = АП [р,оо).
Точка р принадлежит каждому из множеств А1 и Аз. 376 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Если Д(р) < О и 7",(р) > О, то, согласно теореме 7.2, р является точкой минимума функции ~ на каждом из множеств А1 и Аз. Пусть б1 > О таково, что если х Е Аг и ]х — р] < бы то з (х) > з'(р), а бз > О таково, что для всякого х Е Аз, для которого ]х — р] < бз, верно неравенство: 7(х) > у(р). Пусть б есть наименьшее из чисел бг и бз. Возьмем произвольно точку х Е А такую, что ]х — р] < б. Тогда ]х — р]<б1и одновременно ]х — р]<бз.
Если х < р, то х Е Аы а если х > р, то х Е Аг. И в том, и в другом случае, очевидно, имеем: У(х) > г(р). Этим доказано, что р есть точка минимума функции у. Доказательство того, что в случае, когда Л(р) > О и г„'(р) < О, р есть точка максимума функции у, осуществляется аналогичным образом. Требуется только в проделанных выше рассуждениях надлежащим образом изменить знаки неравенств. Читатель может выполнить зту работу в качестве упражнения.
Следствие доказано. Условия следствия теоремы 7.2 имеют весьма специальный характер. Тем не менее в некоторых случаях результат следствия теоремы 7.2 может быть полезен. ° Теорема Т.З. Предположим, что функдия г: (а, Ь) — ~ 2 дифференцируема в каждой точке х Е (а,Ь), отличной от точки р, где а < р < Ь, и непрерывна и точке р. Если у'(х) < О для всех х Е (а, р) и 7'(х) > О в интервале (р, Ь), то функция 7 принимает в точке р свое наименьшее значение в промежутке (а, Ь). Если у'(х) > О при х Е (а, р) и 7'(х) < О при х Е (р, Ь), то в точке р функция 7 принимает свое наибольшее значение в промежутке (а, Ь).
Доказательство. Пусть функция у непрерывна в точке р и дифференцируема в каждой точке х ф р. Предположим, что у (х) < О при каждом х Е (а,р) и у (х) > О при х Е (р,Ь). Тогда функция у является убывающей в промежутке (а,р] и, значит, для всякого х Е (а, р] имеет место неравенство у'(х) > 7(р). В промежутке [р, Ь) функция 7" является возрастающей и, следовательно, для любого х Е ]р, Ь) имеет место неравенство у(р) < г(х). Таким образом, у(р) < у(х) для всех х Е (а, Ь).
Это и означает, что 7(р) есть наименьшее значение функции у в промежутке (а, Ь). Рассмотрим случай, когда у'(х) > О при х Е (а,р) и 7'(х) < О при х Е (р,Ь). Положим: 377 З 7. Точки экстремума днфференцнруемой функции Функция уы очевидно, непрерывна в точке р, дифференцируема в каждой точке х Е (а, Ь), отличной от р, у1(х) < О в интервале (а,р) и у1(х) > О в интервале (р, Ь). Применяя доказанное к функции ~ы получаем — ~(р) = у1(р) < < у1(х) = — у(х) для всех х Е (а,Ь), то есть для всех х Е (а,Ь) будет у(х) < ~(р).
Таким образом, в данном случае функция ~ принимает в точке р свое наибольшее значение в интервале (а, Ь). Теорема доказана. Ь Следствие. Пусть даны функция у": А -+ К и точка р Е А такал, что функция у" непрерывна в точке р, и можно указать 6 > О такое, что интервал (р — 6, р+ 6) содержится в А и функция у" дифференцируема в каждом из интервалов (р — 6,р) и (р,р+ 6). Тогда: если производная фунхции у" в интервале (р — 6, р+ 6) слева от р неположительна, а справа от р неотрицательна, тор есть точка минимума функции у; если же производная функции 7 в интервале (р — 6,р + 6) слева от р неотрицательна, а справа от р неположительна, то р есть точка максимума функпии у.
Доказательство. действительно, если функция 7 удовлетворяет условиям следствия, то значение функции у в точке р является в одном случае наименьшим, а в другом — наибольшим ее значением в интервале (р — 6,р+ 6). Отсюда следует, что в первом случае р есть точка минимума, а во втором — точка максимума функции У на множестве А, что и требовалось доказать. 7.3. ОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ЛЛЯ ФУНК ИИ ц-КРАТНО ДИФФЕРЕН ИРУЕМОЙ В ТОЧКЕ Приведем характеристики точек экстремума, использующие производные высших порядков. ° Лемма 7.1.
Пусть дана функция у": (а, Ь) — К. Предположим, что для некоторой точки р Е (а, Ь) справедливо соотношение: 7(х) = У(р) + А(х — р)" + о[(х — р)") при х -+ р, (7.1) где А ~ О и и > 1. Тогда: если и — четно, то в случае А > О точка р есть точка строгого минимума функции у", а в случае А < О точка р есть точка строгого максимума функции 7; если и — нечетно, то р не является точкой экстремума у. 378 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Доказательство.
Из формулы (7.1) получаем: Их) = Ж+ А(х - р)" [1+ 0(х)] где )3(х) — + О при х — ~ р. Отсюда вытекает, что найдется б > О такое, что если ]х — р[ < б, причем х Е (а, Ь), то 1+ )3(х) > О. Будем считать, что интервал (р — б,р+б) содержится в (а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
