1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 70
Текст из файла (страница 70)
31 Неравенства (8.18), геометрически, являются очевидным следствием того факта, что точка Аз располагается н и ж е прямой А1Аз. Рис. 31 иллюстрирует данное замечание. Приведем теперь и о мальный выво не авенств 8.18 . Пусть числа 11, 12 и Фз удовлетворяют условию леммы 8.1. Найдем числа Л и р такие, что Л+ р = 1; ЛФ1+ рзз = $2. Доказательство. Пусть У есть выпуклая функпия. Зададим произвольно точки $1, $2, 12 й Х такие, что $1 < $2 < 1з.
Прежде чем перейти к формальному выводу неравенств (8.18), отметим их г е о метрический смысл. На плоскости построим гра4ик у1ункции у" (см. рис. 31), и пусть А1 = (11, у($1)); Аз = ($2, ~($2)); Аз = (Фз, Яз)) — точки графика, соответствующие значениям т, равным $1, $2 и Фз. тогда ее(11,$2) есть угловой коэффициент прямой А1А2, а(11,12) — угловой коэффициент прямой А1Аз и, наконеп, а(12, ез) есть угловой коэ$$ициент прямой А2Аз. 400 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Эти равенства образуют линейную систему уравнений относительно Л и р, решая которую, получим: 12 11 И= зз — 31 Л= 13 — 12 13 — 21 Очевидно, Л > 0 и д > О.
В силу выпуклости [', получаем неравен- ство: ЛУ($1) + И(43) > У(Л21+ р23) = У(42). (8.19) Если функция у строго выпукла, то в (8.19) может быть поставлен знак «>». Вычитая из обеих частей неравенства (8.19) величину у(41) и принимая во внимание,что Л вЂ” 1 = -р,получим: рУ(гз) — У(11)] > 1(12) — ~(11), то есть Поделив обе части этого неравенства на 42 — $1 > О, получим: 12(11 ~ 23) > о(21 ~ ~2) ° Это есть и е р в о е из неравенств (8.18). Вычитая из обеих частей (8.19) величину У(Фз) и принимая во внимание, что р — 1 = -Л, получим: Л[~($1) — 1 ($3)] > ~(22) — ~(13). Отсюда Л[УИз) — У(21)] < У(зз) — У(~г), то есть С«(31>43) ( о(12,23).
Это есть в т о р о е из неравенств (8.18). Если функция у — строго выпуклая, то все полученные неравенства — строгие. Лемма доказана. ° [У(зз) — У(11)] 5 У(гз) — У(12). Поделив обе части этого неравенства на Фз — 12, приходим к неравенству: 401 8 8. Выпуклые функции ° Лемма 8.2. Пусть даны промежуток 1 = (а, Ь) С К и функция 1": 1 — К. Если 1" есть выпуклая функция, то, какова бы ни была точка р Е 1, функция Ир, определенная соотношением Пр . 'х Е 1 ~ (Р) ~-1 х — р является возрастающей на множестве Г = 1 ~ (р). Доиазателъстно.
Пусть 1: 1 — К есть выпуклая функция. Возьмем произвольно точку р Е 1. Для всякого х Е Г имеем: ор(х) = а(Х,Р) = а(Р,х), где а(11,12) есть величина, опРеделенны в лемме 8.1. Пусть х1 ф р, Х2 ф р таковы, что х1 < х2. Требуется доказать, что ар (Х1 ) < Ир (Х2) .
Возможны т и с чая: А) х1<хз<р; В) х1<р<хз и С) р < Х1 < хз. Рассмотрим их последовательно. А) Пусть х1 < хз < р. Полагая в лемме 8.1 21 = х1, Фг = хз паз = р, полУчим ор(х1) = о(11, Фз) < а(12, Фз) = ор(хз), то есть ор(Х1) < ор(хз). В) Пусть Х1 < р < Х2. Полагая в лемме 8.121 = х1, 22 = р и Фз = хз, получим: о' (Х1) = а($1, 22) < а(12, Фз) = ир(х2), так что и в этом случае: др(х1) < Ир(хз).
С) Рассмотрим случай, когда р < х1 < хз. Полагы в лемме 8.1 11 = Р> 12 = Х1 И 13 = Х2р ПОЛУЧИМ: Йр(Х1) = а(И1,22) < аИ1,22) = Йр(хг). Таким образом, нами у с т а н о в л е н о, что если Х1 < хз, то ор(Х1) < пр(Х2)р и тем самым лемма доказана. ° 3 а м е ч а н и е. Если функция 1 — строго выпуклая, то рассуждения, посредством которых была доказана лемма 8.2, позволяют заключить,что функция ор является строго возрастающей.
Следующая теорема устанавливает некоторые о б щ и е с в о йс т в а выпуклых функций. ° Теорема 8.10. Если функпия 1': (а, Ь) — К является выпуклой, то она непрерывна, и в каждой точке х Е (а, Ь) имеет конечные левую и правую производные. При этом (8.20) для любого х б (а, Ь). 402 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Если х1 и хз — две произвольные точки из промежутка (а, 6) такие, что х1 < хз, то ) < 1(хг) — У(х1) (8.21) хз — х1 Если функция 1 — строго выпуклая, то каждое из неравенств (8.21) является строгим. Доказательство. Положим (а, 6) = 1. Возьмем произвольно точку р Е 1 и для х ф р положим: 1(х) — 1(Р) х — р Согласно лемме 8.2, функция И является возрастающей на множестве 1 ~ (р). Зададим произвольно х1,хз Е 1 такие, что х1 < р < хз.
Для всех х Е (хы хз) 1 (р) имеем: д(хз) < И(х) < д(хз), так что функция а является ограниченной на множестве (х1, хз) ~ (р). Пусть М < оо таково, что ~И(х) ~ < М для всех х Е (х1,хз) ~ (р). Тогда, очевидно, имеем: й: ) — У(рП < МФх — И для любого х Е (х1>хз). В силу теоремы о зажатой переменной (см. теорему 1.5 главы 2), отсюда, очевидно, следует, что 1(х) — 1(р) — > 0 при х — + р, то есть 1(р) = Нш 1(х), и, значит, функция 1 н е п р е р ы в н а в точке р.
х р Функция д является в о з р а с т а ю щ е й на множестве 11(р) и, стало быть, по теореме о существовании предела у монотонной у>унниии (см. з 3 главы 2), существуют конечные пределы Нш а(х) и р-О и Нп1 а(х),причем первый предел не превосходит второго.
и р+О Очевидно, 1пп д(х) = ~~(р) Нп1 а(х) = 1,(р), и р+в так что существование производных, так же как и неравенство установлены. 403 8 8. Выпуклые функции Так как функция др — возрастающая для всякого р Е 1, то при х < р выполняется неравенство: Йр(х) = < 11щ йр(х) = У,'(р), (8.22) У(х) — У(р) а при х > р — неравенство: ~„'(р) = 1пп Йр(х) < Йр(х) = 1(х) — У(р х р+0 х — р (8.23) Пусть даны произвольные точки хг, хг Е 1, причем хг < хг. Полагая в неравенстве (8.22) р = хг, х = хг, получим первое из неравенств (8.23). Полагая в (8.22) р = хг и х = хг, получаем второе неравенство. Если функция 1 — строго выпуклая, то функция Нр является строго возрастающей.
Отсюда нетрудно заключить, что в этом случае в (8.22) можно всюду поставить знак «<». Теорема доказана. й Следствие 1. Ясли функция 1": (а, Ь) — К вЂ” выпуклая, то ее производные Д и Д суть возрастающие функции. Если функция 1— строго выпуклая, то Л и 1,' суть строго возрастающие функции. (8.24) Отсюда получаем, что Д(хг) < Д(хг) и ~,'(х~) < 1„'(хг). Темсамым доказано, чтофункции Д и1„' — возрастающие.
Если функция 1 — с т р о г о в ы и у к л а, то в каждом из двух внутренних неравенств (8.24) имеет место знак «<». Отсюда следует, что 11(хг) < Д(хг) и 1,'(х~) < 1",(хг), так что в этом случае функции Л и1; — строго возрастающие. Следствие 1 доказано. Т Т Следствие 2. Пусть 1": (а, Ь) — К есть выпуклая функция, р Е (а,Ь). Тогда для всякого числа й такого, что Д(р) < Ь < з,'(р), и любого х й (о, Ь) имеет место неравенство: 1(х) > 1(р) + (х — р)к.
(8.25) Доказательство. Пействительно, пусть |: (а, Ь) — К есть выпуклая функция. Зададим произвольно точки хг, хг Е (а, Ь) такие, что хг < хг. Тогда 404 Гн. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной При этом если функция У вЂ” строго выпукла, то при х ф р в (8.25) имеет место знак «>». Доказательство. Пусть выполнены все условия следствия. Возьмем произвольно точку х ф р. Предположим, что х < р. Полагая в (8.21) х1=х, хз =р, получим: У(х) — У(р) У(р) - У(х) < .
(р) <, х — р р — х (8.26) В этом случае х — р < О, в силу чего из неравенства (8.26) следует,что У(х) > У(р) + ( — )й. Если же х > р, то, полагая в (8.21) х1 = р, хз = х, получим неравенства: У(х) — У(р) > у „) > ~ х р В 'этом случае х -р > О. Умножая обе части последнего неравенства иа х — р, мы снова получаем, что У(х) > У(р) + (х — р)к. ° Теоревяа В.11.
Пусть У: (а, Ь) — К есть вепрерывпэл функция. Предположим, что функция У в каждой точке х Е (а, Ь) имеет левую производную. Ясли функция Д является возрастающей (соответственно, строго возрастающей), то У есть выпуклел (соответственно, строго вьгпуклая) функция. Перед доказательством отметим следующее. 3 а м е ч а и и е. Теорема остается верной, если левую производную в ее формулировке заменить правой производной.
Лоиазательство теоремы. Пусть функция У: (а, Ь) — й имеет в каждой точке х Е (а, Ь) л е в у ю производную Я(х) и функция У~ является возрастающей. Таким образом, для любого х е (а, Ь) выполняется (8.25). Если функция У вЂ” с т р о г о в ы п у к л а я, то при х ф р, как следует из доказанного ранее, все неравенства являются с т р о г и м и. Следствие 2 доказано. 405 З 8.
Выпуклые функции Зададим произвольно точку х Е (а, Ь) и положим ~Р(х) = 7(х) — 7(Р) — Л (Р)(х — Р). Функция р, определенная так, н е и р е р ы в н а и в каждой точке х е (а,Ь) имеет л е в у ю производную. При этом для всех х Е (а, Ь). Так как, по условию, функция Д вЂ” в о з р а с т а ю щ а я, то у](х) < 0 при а < х < р и р,'(х) > О при р < х < Ь. Отсюда, согласно теореме 4.8, следует, что функция ~р является у б ы в а ю щ е й в промежутке (а,р] и в о з р а с т а ю щ е й — в промежутке ]р, Ь).
Возьмем произвольно х Е (а,1). Д о к а ж е м, что ~р(х) > ~р(р) = О (8.27) для всех х Е (а, Ь). Действительно, если х < р, то неравенство (8.27) верно, — всилутого,чтофункциярявляется убывающей в промежутке (а,р], а для х > р, — в силу того, что функция у является возрастающей впромежутке[р,Ь). Если функция Д вЂ” с т р о г о в о з р а с т а ю щ а я, то при х < р выполняется неравенство ~~,'(х) < О, а при х > р выполняется неравенство у,'(х) > О. Отсюда следует, что в этом случае при х ф р будет ~р(х) > О = ~р(р). Пусть хг и хг — две произвольные точки промежутка (а, Ь).
Предположим, что Л > О и д > О таковы, что Л+ д = 1, и р = Лх1+ дхг. Очевидно, р Е (а, Ь). В силу неравенства (8.27), для всех х Е (а, Ь) имеем: 7" (х) > 7" (Р) +,фР)(х — Р). Отсюда ,7'(х1) > 7(р) + ~~(р)(х1 — р); 7"(хг) > 7"(р) + ~~(р)(хг — р). Умножая обе части первого неравенства на Л и обе части второго неравенства на р и складывая полученные неравенства почленно, в результате получим: ЛДхг) + р~(хг) > (Л+ р)Я + ~~(р)[Л(хъ — р) + р(хг — р)] = 1(р). 406 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Так как х1, хг и Л > О, р > О, Л+ р = 1, взяты произвольно, то тем самым выпуклость функции У д о к а з а и а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
