1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Если при х ~ р в (8.27) вместо «<» поставить знак «<», то, повторяя — с необходимыми уточнениями — проделанные рассуждения при х1 г= хг, получим: ЛУ(х1) + ру(хг) > У(Лх1 + рхг). Это означает, что если Д вЂ” с т рог о возрастающая функция, то функция 1 — с т р о г о в ы и у к л а я. Теорема доказана. ° ~9. Исследование функций методами дифференциального исчисления Результаты дифференциального исчисления, установленные в этой главе, могут быть использованы для изучения строения функций одной переменной и построения, как говорят, «эскиза графика функции», то есть чертежа, дающего представление об основных особенностях строения данной функции.
Знание основных качественных особенностей функции может иметь существенное значение при решении разного рода задач, в которых эти функции возникают. Здесь будут описаны общие правила, которых следует придерживаться при решении задачи об исследовании функции.
Необходимо отметить, что эта задача требует творческого подхода к делу и, в отличие от задачи об отысхавии производной функции, заданной какой-либо формулой, не может быть сведена к чисто механическому выполнению определенных действий. Предположим, что рассматривается некоторая параметризованная кривая на плоскости: х($) = (х(Ф), у(М)), 8 Е М С К. Если относительно функций х и у предполагается только, что они непрерывны, то носителем данной параметризованной кривой может оказаться, например, квадрат. В общем случае носитель параметризованной кривой может быть устроен достаточно сложно. Если, однако, параметризованная кривая х удовлетворяет определенньпи условиям регулярности, состоящим в том, что функции х и у имеют достаточное число производных, то носитель кривой имеет, как правило, достаточно простое строение, которое может быть описано имеющимися в нашем распоряжении средствами.
З 9. Исследование функций методами дифференциального исчисления 407 Развитие математики показало, что в задачах прикладного происхождения могут возникать достаточно «плохие» функдии, например функции, не имеющие производной ни в одной точке своей области определения.
(Такие функции возникают, например, в теории броуновского движения.) Классики математики, трудами которых были созданы дифференциальное и интегральное исчисления, считали, что хотя математика допускает существование сколь угодно «плохих» функций (то есть функций, к которым неприменимы методы дифференциального и интегрального исчислений), однако функции, возникающие при решении тех или иных конкретных задач естествознания, обычно устроены достаточно «хорошо». Так или иначе, математик должен владеть всеми приемами исследования функций.
9.1, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНК ИИ 8.1.1. Опишем з есь некото ые основные авила использ емые и иссле овании нк ии. Пусть ~(я) есть некоторая элементарная функция, то есть функция, заданная формулой, которая содержит только элементарные функции и знаки основных арифметических действий. Иссл рвание нкции включает несколько э т а и о в. 1. Найти область определения функции. 2.
В каждом из промежутков, содержащемся в области определения данной функции, найти все точки разрыва функции и исследовать поведение функции вблизи концов этого промежутка. 4, Найти характерные точки функции. К числу таковых относятся точки экстремума функции, точки пересечения графика функции с осями координат и точки перегиба. 5. Разбить область определения функции на части, в каждой из которых функция монотонна. 6. Изучить функцию на выпуклость. Это означает, что должно быть построено разбиение области определения функции на части, в каждой из которых функция является либо выпуклой сверху, либо выпуклой снизу.
9.1.2. Рассмотрим некоторые п р и м е р ы и приведем комментарии относительно трудностей, которые могут возникнуть при исследовании функций в соответствии с указанной выше общей схемой. 408 Гл. 4. Дяфферевцяальяое исчисление функций одной переменной 1) Описание обласпзи ои еделения данной нн ии. Пусть функция У(х) является элементарной, то есть задается формулой, содержащей основные элементарные функции и знаки арифметических действий.
Область определения у есть совокупность всех х Е К, для которых данная формула имеет смысл. При этом следует иметь в виду, что если формула содержит в себе некоторую дробь, знаменатель которой зависит от х, то функция не определена во всех точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, определено только для тех х, для которых оно неотрицательно. Аналогичным образом выражение под знаком логарифма определено только для тех х, для которых это выражение положительно. Функции агсзш и агссоз определены только для х Е [ — 1, 1] и потому выражения типа агсзш Г(х), агссоз г (х) имеют смысл только для таких х, для которых — 1 < г (х) < 1. Отметим о н о и а с н о с т ь кото ая может вот етиться.
Ес- ли функция определяется некоторой формулой, то иногда может оказаться целесообразным упростить эту формулу посредством определенных преобразований. При этом следует соблюдать известную осторожность. Пело в том, что области определения функции, заданной исходной формулой, и функции, заданной преобразованной формулой, могут не совпадать. Покажем это на следующих примерах 1 и 2. х — 1 Пример 1.
Пусть дана функция у: х ~ . Разлагая хз — Зх+ 2 х — 1 знаменатель на множители, получим: 1'(х) = . Сокращая числитель и знаменатель на общий множитель х — 1, получим, что 1 Дх) = —. Последняя дробь определена для всякого х ~ 2. х — 2 Областью определения исходной функции является, однако, не множество К'1 (2), а множество Ж'1 (1, 2), ибо для х = 1 знаменатель исходх — 1 ной дроби обращается в нуль и, следовательно, для х = 1 х х + исходнэл функция у тахже не определена.
Пример 2. Несмотря на равенство (х — 1) (х+1) = хз-1, функции У: х ~-~ ~/х — 1~/т + 1 и д: х ~-~ ~/хз — 1 различны, так как их области определения не совпадают. Область определения функции 1 есть множество всех х Е К, для которых одновременно х — 1 > О и х + 1 ) О и, очевидно, совпадает с промежутком [1, со). В то же время область определения функции д, как нетрудно видеть, есть множество ( — оо, — 1] О [1, со). З 9. Исследование функций методами дифференциального исчисления 409 2) В о б е м с л ч а е область оп еления ии может иметь остаточно сложное ст оение.
Предположим, что область определения интересующей нас функции является объединением некоторого множества попарно непересекающихся отрезков. Это условие обычно выполняется, если данная функция не является слишком «плохой». Пусть задана функция у. Предположим, что интервал (а, Ь) содержится в области определения функции у. Первый вопрос, который должен быть рассмотрен, касается поведения анной нк ии на и омеж тке а Ь . Прежде всего, необходимо выяснить, будет ли данная функция непрерывна во всех точках данного интервала.
Если нет, то следует найти точки разрыва функции у' и определить характер разрыва. Второй вопрос — это поведение функции вблизи концов интервала (а, Ь). В частности, следует установить, существуют ли пределы 1пп У(х) и х а+0 1пп у(х). ля описания пов ения нк ии вблизи кон ов и омеж тка полезно оп елить сл ю ее понятие асимптоты г ика Пусть функция У определена на промежутке (а, оо) множества К.
Прямая 1, заданная уравнением у = йх+1, называется асимптотой графика функции у' в направлении х — ~ оо, если У(х) — кх — 1-+ О при х — оо. Подобным образом в том случае, когда функция у определена на промежутке ( — оо, а), прямая у = Йх+1 называется асимптотой графика 4ункции ~ в направлении х -+ — оо, если Дх) — Ьх — 1 — + О при х — ~ — оо. Пусть а — конечно и функция у определена на интервале Х, одним из концов которого является точка а. Если у(х) — хоо при х, стремящемся к а по интервалу 1, то говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой гра4ика данной функции У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
