1610912305-021d31996e730a7e39174db965e3676e (824693), страница 77
Текст из файла (страница 77)
4.52. Функция У 5 Рс([а, Ь]). Производны У' монотонна. Доказать, что для всякого с й (а, Ь) найдутся хг и хг такие, что а < хс < с < хг < Ь и У(хг) У(х1) хг — хс 439 Задачи 4.53. Пусть даны числа хыхз,...,х„б (О,т). Показать, что для любых и Лз, Лз,.
-, Ла Е (О, оо), таких, что ~ Л; = 1 выполняется неравенство 1=1 / в и еш~~Л;х,~ > ~Лззшхо с=а з=1 Показать, что равенство здесь возможно в том и только том случае, если хз =ха= . =х„. 4.64. Паны числа А > О и Л Е (О, 1). Найти точную нижнюю границу функции А+ Лх У: х 6 (О, оо) ~-+ л Доказать, используя полученный результат, неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом. 4.55. Пусть 1: (а, Ь) — ~ й — непрерывная функция. 11оказать, что если для любых хм хз 6 (а, Ь) выполняется неравенство (хз + хз Л Дхг) + Дхз) то функция 1 выпуклая.
4.56. Пусть Д:(а,Ь) — ~ К, 1 = 1,2,...,п, — выпуклые функции. Положим Дх) = шах(~~(х),..., ~„(х)). Показать, что функция 1 выпукла. 4.6?. Пусть у: й — ~ й — выпуклая функция. Показать, что если у ограничена, то она постоянна. Верно ли это утверждение для выпуклых функций, определенных на произвольном неограниченном промежутке? 4.58. Показать, что результат предыдущей задачи может быть усилен следующим образом. Пусть 1: й — ~ Ж вЂ” выпуклэл функция. 'Гогда, если 1пп — = 1пп — = О, ,? (х), Дх) то 1 постоянна.
Верно ли это заключение, когда только один из указанных пределов равен нулю? 4.69. Пусть 1: (1, со) — > й — выпуклая функция..Показать, что существует Лх) конечный или бесконечный предел 1пп 440 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 4.60. Пусть дана функция у: 1 — ~ К, где 1 — промежуток множества 1к. Положим 7(х) = еир(яг — у(г)). Пусть,7 — множество тех х Е й, для котоее1 рых 7(к) < оо. (Функция 7:,7 -+ 1к называется преобразованием Лежандра функции 1р.) Доказать,что .7либо пусто, либо представляет собой одноточечное множество, либо некоторый промежуток множества 1к и 7 есть выпуклая функция на множестве,7.
Определить функцию 7 и множество .7 в следующих случаях: а) 1 = 1й 'Р(с) = г ' б) 1 = %, у(1) = ]С[; в) 1 = (О, оо), ср(1) = — ~/К; г)1=2, ср($)=~/Р+УР, Ьфб; д)1=й, г(е) = ~~'-, р> 1; р ' е) 1 = [ — 1, 1], 1р(г) = О; ж) 1 = [ — 1, 1], ~р(1) = — ~чае — Р; „,(4) е Доказать, что если функция у выпукла, то множество 1 всегда не пусто, и справедливо равенство ~р(1) = еир(хг —,7(и)) для всех г Е 1. хез 4.Вй. Доказать, что множество угловых точек выпуклой функции, т. е. точек, где 7,'(х) эЕ Д(х), не более чем счетно.
4.62. Функция 7: (а, Ь) — 1к называется логарифмически выпуклой, если ,7'(х) > О для всех л Е (а, Ь) и функция д(к) = 1п,7(х) выпукла. Доказать, что если 7 логарифмически выпукла, то 7 выпукла. Доказать, что сумма двух логарифмически выпуклых функций есть логарифмически выпуклая функция. 4.ВЗ. Дана функция 7: [а,Ь] — ~ Гк. Число у Е й называется экстремальным значением функции 7, если существует точка яо Е [а, Ь] такал, что 7'(ке) = у, и хо есть точка экстремума. Доказать, что множество всех экстремальных значений функции 7' не более чем счетно. 4.64. Дана непрерывная функция 7: [а, Ь] — ~ й.
Доказать, что если всякая точка к Е [а, Ь] является точкой экстремума 7, то 7 постоянна на [а, Ь]. 4.65. Пусть функция 7: [а, Ь] — ~ Ы принадлежит классу Сг([а, Ь]). Предположим, что 7"(а) = О, 7(Ь) = О и существует точка с Е (а, Ь) такал, что 7(с) > О. доказать, что тогда найдется точка с б (а, ь) такая, что,7о(с) < О.
4.66. Функции 7': [а, Ь] -+ Р. и д: [а, Ь] — ~ К непрерывны на [а, Ь] и принадлежат классу Р((а, Ь)). Доказать, что тогда найдется точка Ь' Е (а, Ь) такая, что ,7(а) 7(Ь) ~ .7(а) 7'(с) д(а) д(Ь) ~ д(а) д'(с) 4.6т. Функции 7, д и Ь определены и непрерывны на отрезке [а, Ь] и дифференцируемы на отрезке (о, Ь).
Доказать, что тогда найдется точка с Е (а, Ь) такал, что ,7(а) 7(Ь) 7'(с) д(а) д(Ь) д'(Я) Ь(а) Ь(Ь) Ь'(с) 441 Задачи 4.68. Функции /, д и Ь определены и непрерывны на отрезке [р, д] и дважды дифференцируемы в (р, д). Пусть а, Ь и с — три произвольные точки отрезка [р, д]. Показать, что тогда найдутся с и 6, заключенные между наибольшим и наименьшим из чисел а, Ь и с такие, что /(а) 1'(с) У~'(т1) д(а) д'(с) д" (т)) Л(а) л'(с) йл(9) /(а) ДЬ) У(с) д(а) д(Ь) д(с) Ь(а) Ь(Ь) Ь(с) 1 = -(Ь вЂ” с)(с — а)(а — Ь) 2 1 /(х) = ~ — (з1пх/в+ зшп/х). 4.26. Последовательность (х~)„еь1 строится по следующему закону: х1 = 1, 1 ха ха+1 = хи + при каждом п. Показать, что -+ 1 при х1 + х2 + ' ' ' + хп з/21пп 4.ТТ.
Лана функция /:< а, Ь >- И. Число 1 б Ж называется правой (левой) производной в сильном смысле функции / в точке хо б (а, Ь), если для всякого 4.69. Пусть функция /: (а, Ь) — ~ И дифференцируема в (а, Ь). Показать, что если для любой пары точек х1 и хз из (а, Ь), где х1 < хз, существует единственны точка ( такал, что х1 < ~ < хз и Дхз) — Дх1) = /~(Я)(хз — х1), то / либо строго выпукла, либо строго вогнута на (а, Ь).
4.ТО. Функция /: Ж -~ Ж дифференцируема на В. Показать, что если 1ип /'(х) = 1пп /'(х) ф О, то найдется точка х -со я 00 хо б Ж такал, что Дхо) = О. 4.Т1. Функция д определена и имеет непрерывную производную порядка в+ 1 всюду на отрезке [-1,1]. Положим Дх) = при х ф О, /(0) = д'(0). д(х) — д(0) д("+'1(О) Показать, что существует производны /00(0), причем /("1(0) = а+1 4.Т2. Лана функция /: (а, оо) -+ К, где а > 1, дифференцируемая на (а, со). Известно, что /'(х) = 0(х (1п х)т) при х — оо, где Ь и т — действительные числа.
Исследовать асимптотическое поведение функции / при х — ~ оо. Рассмотреть 4 случал: 1) й>О,т>0; 2) й>О,т<0: 3) й<О,т>0;4) й<О,т<0. Что можно сказать об асимптотическом поведении функции / при х ~ со, если дано, что 1'(х) = о(х" (1пх)т) при х -+ оо? 4.ТЗ. Функция /: (а, Ь) — ~ Ж дифференцируема на отрезке (а, Ь). Показать, что если множество точек, в которых /'(х) = 0 является конечным, то для любого $ с К множество Е1 = (х б (а, Ь) ] /(х) = $) конечно. 4.Т4. Функция /: [О, 1] — ~ Ж принадлежит классу Юз([0, 1]) и /(0) = Д1) = О. Показать, что если /" (х) < 1 для всех х б [О, 1], то Дх) > зх(х — 1) для всех х с [0,1]. 4.Т5. Исследовать схсдимость при х -~ оо 442 Гл.
4. Лифференциапьное исчисление функций одной переменной е > 0 найдется б > О такое, что для любых хд, хг из промежутка (хо, хо + б) ,д (х ) д (хг) (соответственно из промежутка (хо — б, хо)), хд ф хг, ( — 1) < е. хд — хг Показать, что если у имеет в точке х правую (левую) производную в сильном смысле, то у непрерывна в некотором интервале (хо, хо+ б) (соответственно, (хо — Б,хо)) и имеет конечный предел 1цп Дх) (соответственно, *-'ее+о Нпд У(х)). Показать, что если у непрерывна в точке хо и 1 есть правая (левая) производная в сильном смысле, то 1 = Д(хо) (1 = уд'(хО)). (Символы Д и дд' здесь обозначают обычные производные справа и слева).
4.Т8. Функция у: [а, Ь] -+ 1к называется односторонне гладкой, если д непрерывна и имеет в каждой точке отрезка < а, Ь > левую и правую производные в сильном смысле (в точках а и Ь существует, разумеется, лишь одна из этих двух производных) (см. задачу 4.ТТ). Показать, что тогда в каждой точке хо Е (а, Ь) имеет место равенство: уд(хо) = 1цп уд(х) = 1пп Ях) е еь-О *а-О и в каждой точке хо Е [а, Ь) выполняется равенство: 1 (хо) = 1пп Ях) = !шд ~„(х).
е-~со+О е хь-О Показать, что множество всех точек хо Е [а, Ь), для которых,1д'(х) Оь У„'(х) (д — односторонне гладкая функция), не более чем счетно. (Указание: сначала установить, что ленохсество тех х Е (а,Ь), еде [уд(х) — Д.(х)~ > —, д т т Е дЧ вЂ” конечно.) 4.Т9. Доказать, что всякая выпуклая функция У': (а, Ь) — Ж является односторонне гладкой (см. задачу 4.Т8). 1 4.80. Показать, что функция У: х ь хг зш — при х ф О, У(О) = О, дифференцируема в точке О и не имеет в этой точке ни левой, ни правой производной в сильном смысле. 5'казатель обозначений Е, 13 х ф А, 13 И, 13 А С В, 13 В Э А, 13 РЙЦ, 14 РЛ ф14 РЧО,14 Р, 15 Р~9, 15 Рс; 1;!,15 Ч, 16 Л, 16 (ЧхЕХ)Р, 16 (ЛхЕХ)Р, 16 АхВ,17 А1 хАв х ° ° хА„,18 А= )( А;,18 РЦ), 19 Е(1), 19 ~: х Е А ~-+ Дх) Е В, 19 !64, 20 У-'[и], 20 У 1(9), 20 У-', 23 Й, 26 <, 28 >, 28 <, 28 >, 28 (а,Ь), 30 [а, Ь], 30 [а,Ь), ЗО (а,Ь], 30 (а,Ь), 30 [х[, ЗО х+, 31 х, 31 вапх, 32 шахА, 33 пипА, 33 вирА, 34 !пГА, 34 5!, 38 х, 39 (в 39 5!в, 41 (хп Е М)т емв, 42 (ха)„е!вв, 42 (х„) „-в в.!.1, 42 (ха), и = й,!в+ 1, (хп), и Е 5!в, 42 Е(х), 43 [х], 43 1п, 44 п ~, хв,50 П хв,50 й=т и!, 51 и!!, 51 Щ, 53 1+, 53 У, 53 Ь+2,..., 42 Указатель обозначений С, 59 ггех, 62 1шг, 62 г7(р), 83 .х1тМ, 84 р Е.аагтМ, 84 Дх) — » 5 при х — » р, х Е М, 87 Ь = 1пп Дх), 87 ж р,жЕМ Дх) = о(1) при х — » р по М, 88 !пп х„, 91 1(хо — О), 139 У(хо + 0), 139 11(хо), 139 Урхо), 139 1пп х, 164 1пп х„, 165 ехрх, 192 е, 193 1ойх, 199 сов х, 214 зшх, 214 ГКх, 215 вшх Предел 1пп —, 222 т о агссйп х, 223 агссоз х, 224 агой х, 225 зЬх, 229 сЬх, 229 ФЬх, 229 АгвЬ, 232 АгФЬ, 233 АгсЬ, 233 Дх) = 0(д(х)) при х — ~ р, х Е М, 235 Дх) = о(д(х)) при х — р, х Е М, 235 Дх) = д(х) + 0(1о(х)), 235 7'(х) = д(х) + о(чг(х)), 236 ~ а 1пп (1+ — ) для х Е С, 241 Ж'», 251 Бг, 251 — (а), 265 ф г1х ~'(а), 265 Рг'(а), 265 ~'(а), 265 Д(а), 265 е(гг,12), 283 Сх(зо) 284 Фх(во), 284 Ф~~(Зо), 284 Ул(хо), 304 АУ вЂ (хо), 304 Ихз Ра ~(хо), 304 100(х), 305 11"1, 305 ,~а ~' — (х), 305 Дха Р",г"(х), 305 г'"', 305 г"», 305 305 У" (А,й), 305 Ж" (А, й), 305 У", 305 Ж'", 305 Ж' (А, гс), 306 Ж , 306 х» е (х) = —, 307 т1 с' — " а.=»- ~= » о а1(а-й)1 = го 310 Предметный указатель и дважды факториал, 51 в-кратно дифференцируемая в точке функция, 305 ц-факториал, 51 ц-я производная функции, 305 абелева группа — см.
коммутативная группа, 259 абсолютная величина вещественного числа, 30 абсцисса точки М на плоскости, 55 аксиома непрерывности множества вещественных чисел, 35 аксиомы алгебраической структуры множества 1к, 27 аксиомы порядка в множестве й, 28 амплитуда точки на плоскости, 297 ареакосинус гиперболический, 233 ареасинус гиперболический, 232 ареатангенс гиперболический, 233 арифметический квадратный корень из числа х > О, 48 арккосинус, 224 арксинус, 223 арктангенс, 225 асимптота графика функции в направлении х -+ — оо, 409 асимптота графика функции в направлении х -+ оо, 409 асимптотическая характеристика полинома Тейлора порядка и функции 7 в точке а,теорема о таковой, 353 асимптотически ограниченная при х — ~ р по М С й функция, 98 астроида„ 293 базисные элементарные функции, 228 бесконечно малая при х — ~ р, х Е М, функция, 88 бесконечные элементы множества Й, 29 биективное отображение, 21 биномизльные коэффициенты, 310 Вейерштрасса теорема выбора, 153 Вейерштрасса теорема о наименьшем и наибольшем значениях, 155 вектор на плоскости или в пространстве, 279 вектор-функции предел, 283 вертикальная асимптота графика функции в направлении у — ~ — со, 409 вертикальная асимптота графика функции в направлении 9- оо, 409 446 П метный казатель верхнее число последовательности (тп Е К)пеи , 163 верхний и нижний пределы— характеристика посредством понятия частичного предела, 173 верхний предел последовательности (х„ Е м)„еи , 165 верхняя граница вещественной функции, 56 верхняя граница множества А С Й, 33 веществелнэя функция, определенная на произвольном множестве, 52 вещественная часть комплексного числа, 62 взаимно однозначное отображение, 21 взвешенное среднее арифметическое чисел, 389 взвешенное среднее геометрическое чисел, 389 включение множеств, 13 вогнутая функция, 379 возрастающая функция на множестве А С й, 53 вторая производная функции, 304 вторая теорема Лопиталя, 341 второй основной постулат аналитической геометрии, 55 выпуклая сверху функция — см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
