1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êàæäîãî k ∈ N ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:a 6 c2 6 a +2c.kÏðèìåíÿÿ ñëåäñòâèå 3.21 ïðèíöèïà Àðõèìåäà, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî c2 = a.Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ a ∈ R+ è n ∈ N ñóùåñòâóåò åäèínñòâåííîå ÷èñëî x ∈ R+, òàêîå,√ ÷òî x1/n= a. Ýòî ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ êîðíåì ñòåïåíè nèç ÷èñëà a è îáîçíà÷àåòñÿ a èëè a . Îòìåòèì åù¼, ÷òî êîðåíü ñòåïåíè 3 íàçûâàåòñÿêóáè÷åñêèì.•Âåðí¼ìñÿ ê èððàöèîíàëüíûì ÷èñëàì è äîêàæåì, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ÷èñëî òàêîãîòèïà ñóùåñòâóåò.Óïðàæíåíèå 3.24.n23√Âåùåñòâåííîå ÷èñëî 2 ÿâëÿåòñÿ èððàöèîíàëüíûì.Ñîãëàñíî ïðåäûäóùåìó óòâåðæäåíèþ, â ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò√åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîåðåøåíèå óðàâíåíèÿ x2 = 2. Ýòî ðåøåíèå îáîçíà÷àþò√÷åðåç 2.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî √2 ∈ Q. Òîãäà ñóùåñòâóþò îäíîçíà÷íîîïðåäåë¼ííûå âçàèì√íî ïðîñòûå íàòóðàëüíûå (ò.ê. 2 > 0) ÷èñëà k è n, òàêèå, ÷òî 2 = k/n è, êàê ñëåäñòâèå,k 2 = 2n2 . Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëî k 2 ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíûì, òî åñòü, ñðåäè äåëèòåëåé ÷èñëà k ïðèñóòñòâóåò 2. Ïîýòîìó k = 2m äëÿ íåêîòîðîãî m ∈ N. Òîãäà2m2 = n2 , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî n ÷¼òíîå ÷èñëî, òî åñòü, ñðåäè åãî äåëèòåëåé òîæå ïðèñóòñòâóåò 2.
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà k è n íå ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî√ ïðîñòûìè âîïðåêè íàøåìóïðåäïîëîæåíèþ. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî 2 ∈ R \ Q.Èòàê, Q ̸= R. Ìû äîêàçàëè äâà óòâåðæäåíèÿ, ÷òîáû óñòàíîâèòü ñóùåñòâîâàíèå îäíîãîâåùåñòâåííîãî ÷èñëà, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì. Íà ñàìîì äåëå èððàöèîíàëüíûõ÷èñåë ìíîãî. Î÷åíü ìíîãî! Èõ, â êàêîì-òî ñìûñëå, çíà÷èòåëüíî áîëüøå, ÷åì ðàöèîíàëüíûõ.Ìû ïîäðîáíåå èññëåäóåì ýòîò âîïðîñ â ïàðàãðàôå, ïîñâÿù¼ííîì êàðäèíàëüíûì ÷èñëàì.Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ïîëåì íå ÿâëÿåòñÿ, òàê êàêðàçíîñòü äâóõ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë (òàêæå êàê è ïðîèçâåäåíèå) ìîæåò áûòü ÷èñëîìðàöèîíàëüíûì.Åù¼ îäèí âûâîä, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ñäåëàòü óòâåðæäåíèå 3.25, ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîëåQ íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì.
 ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà A = {x ∈ Q | x > 0 è x2 < 2}è B = {x ∈ Q | x > 0 è x2 > 2}. Òàê æå, êàê â äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèÿ 3.23, ìû ìîæåìïîêàçàòü, ÷òî a < b äëÿ âñåõ√ a ∈ A è b ∈ B . Îäíàêî, åäèíñòâåííûì ÷èñëîì, ðàçäåëÿþùèìýòè ìíîæåñòâà, ÿâëÿåòñÿ 2, êîòîðîå íå ïðèíàäëåæèò Q.Èç ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë òîæå äîâîëüíî ìíîãî.Åñëè a è b âåùåñòâåííûå ÷èñëà è a < b, òî ñóùåñòâóåò ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî p, òàêîå, ÷òî a < p < b.Ñîãëàñíî ïðèíöèïó Àðõèìåäà ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, òàêîå,÷òî 1 < (b − a)n. Ýòî íåðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü íåìíîãî èíà÷å: bn > an + 1. Ñ äðóãîéñòîðîíû, êàê ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ 3.22, k 6 an < k + 1 äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ Z. Òîãäàbn > k + 1.
Òàêèì îáðàçîì, an < k + 1 < bn è â êà÷åñòâå p ìû ìîæåì âçÿòü ðàöèîíàëüíîå÷èñëî (k + 1)/n. çàêëþ÷åíèå ïóíêòà îòìåòèì åù¼ îäíî ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà R íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû. Âåùåñòâåííîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìêàêîãî-ëèáî óðàâíåíèÿ âèäà a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0 ñ n ∈ N è ñ ðàöèîíàëüíûìèèëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ak , k = 0, 1, .
. . , n.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå÷èñëî íàçûâàåòñÿ òðàíñöåíäåíòíûì. Ìû íå áóäåì çàíèìàòüñÿ èçó÷åíèåì ýòèõ ÷èñåë.Óòâåðæäåíèå 3.25.Äîêàçàòåëüñòâî.Óòâåðæäåíèå 3.26.Äîêàçàòåëüñòâî.3.4Ïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿÄëÿ çàïèñè êîíêðåòíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë èñïîëüçóþòñÿ ñïåöèàëüíûå ñèìâîëû èëè çíàêè, íàçûâàåìûå öèôðàìè. Êîëè÷åñòâî èñïîëüçóåìûõ çíàêîâ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì. Âïîâñåäíåâíîé æèçíè ìû èìååì äåëî ñ äåñÿòè÷íîé ñèñòåìîé ñ÷èñëåíèÿ. Òàêîå íàçâàíèåâîçíèêëî â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî â ýòîé ñèñòåìå èñïîëüçóåòñÿ äåñÿòü ñèìâîëîâ: 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9.  êîìïüþòåðàõ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ øåñòíàäöàòåðè÷íàÿ ñèñòåìà, ñèìâîëàìè24êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñèñòåìû, îäíàêî, êîëè÷åñòâî ñèìâîëîâ â ñèñòåìå íå ìîæåò áûòü ìåíüøå äâóõ, òàê êàê âñàìîé àêñèîìàòèêå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, à èìåííî, â îïðåäåëåíèè ïîëÿ óæå èñïîëüçóåòñÿäâà ñèìâîëà: 0 è 1. Åñëè ìû òîëüêî ýòèìè çíàêàìè è îãðàíè÷èìñÿ, òî ïîëó÷èì äâîè÷íóþñèñòåìó ñ÷èñëåíèÿ. Ïðèáàâèâ ê íèì åù¼ îäèí ñèìâîë, íàïðèìåð, 2, ìû ïðèä¼ì ê òðîè÷íîéñèñòåìå è òàê äàëåå. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàäàþùåå êîëè÷åñòâî èñïîëüçóåìûõ ñèìâîëîâ,íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ.Çàïèñü îäíîãî è òîãî æå âåùåñòâåííîãî ÷èñëà áóäåò ðàçëè÷íîé â ðàçíûõ ñèñòåìàõñ÷èñëåíèÿ. ×òîáû èçáåæàòü ïóòàíèöû è ïîä÷åðêíóòü, â êàêîé èìåííî ñèñòåìå çàïèñàíî÷èñëî, ìû áóäåì ïèñàòü åãî ñ èíäåêñîì, êîòîðûé îäíàêî ïðåäñòàâëåí â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå.Íàïðèìåð, âûðàæåíèå a = 1710 îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî a â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿèìååò âèä 17.
Òî æå ñàìîå ÷èñëî â äâîè÷íîé ñèñòåìå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:a = 100012 . Ìû ñåé÷àñ ðàçáåð¼ìñÿ, êàê ïåðåâîäèòü ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëà èç îäíîé ñèñòåìûâ äðóãóþ íà ïðèìåðå äåñÿòè÷íîé, äâîè÷íîé è òðîè÷íîé ñèñòåì.Íà÷í¼ì ñ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Âîçüì¼ì, íàïðèìåð, ÷èñëî 239, çàïèñàííîå â äåñÿòè÷íîéñèñòåìå. Ýòà çàïèñü îçíà÷àåò ñëåäóþùåå:23910 = 2 · 102 + 3 · 101 + 9 · 100 .Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìû áóäåì íóìåðîâàòü ïîçèöèè öèôð ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñ íóëÿ, òî÷èñëî áóäåò ñóììîé ýòèõ öèôð, óìíîæåííûõ íà 10 â ñòåïåíè, ðàâíîé íîìåðó èõ ïîçèöèé. Òîåñòü, èíôîðìàöèþ íåñ¼ò íå òîëüêî ñàìà öèôðà, íî è ïîçèöèÿ, íà êîòîðîé îíà ðàñïîëîæåíà.Ïî ýòîé ïðè÷èíå òàêèå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ íàçûâàþò ïîçèöèîííûìè.  Äðåâíåì Ðèìåèñïîëüçîâàëàñü äðóãàÿ ñèñòåìà, êîòîðàÿ òåïåðü íàçûâàåòñÿ ðèìñêîé.×òîáû çàïèñàòü ÷èñëî 100012 â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå, íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî 24 = 1610,23 = 810 , 22 = 410 , 2 = 210 è 20 = 1.
Ñèìâîëû 0 è 1 â ëþáîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ îçíà÷àþòíóëü è åäèíèöó ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó100012 = 1 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20= 1 · 1610 + 0 · 810 + 0 · 410 + 0 · 210 + 1 · 1 = 1610 + 1 = 1710 .Çàïèøåì ÷èñëî 23910 â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü öèôðûαn , αn−1 , . . . , α0 , òàêèå, ÷òî23910 = αn · 2n + αn−1 · 2n−1 + . . . + α0 · 20 .Ïðè ýòîì âñå αk , k = 0, 1, .
. . , n, äîëæíû áûòü ëèáî 0, ëèáî 1, ïîñêîëüêó òîëüêî ýòèñèìâîëû èñïîëüçóþòñÿ â äâîè÷íîé ñèñòåìå. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî n íàì ïîêà íå èçâåñòíî.Ñíà÷àëà îïðåäåëèì α0.  ïðåäñòàâëåíèè ÷èñëà 239 âñå ñëàãàåìûå êðîìå ïîñëåäíåãî ïðèäåëåíèè íà 2 íå äàþò îñòàòêà, òî åñòü, ÿâëÿþòñÿ ÷¼òíûìè ÷èñëàìè. Äåëèìîñòü ïîñëåäíåãîñëàãàåìîãî íà 2 çàâèñèò îò òîãî, áóäåò α0 ðàâíî íóëþ èëè åäèíèöå. Òàê êàê23910 = 11910 · 210 + 1 = 11910 · 210 + 1 · 20 ,25ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî α0 = 1. Àíàëîãè÷íî,11910 = 5910 · 210 + 15910 = 2910 · 210 + 12910 = 1410 · 210 + 11410 = 710 · 210 + 0710 = 310 · 210 + 1310 = 1 · 210 + 11 = 0 · 210 + 1⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒α1α2α3α4α5α6α7= 1,= 1,= 1,= 0,= 1,= 1,= 1. èòîãå ïîëó÷àåì, ÷òî 23910 = 111011112. Òàêèì îáðàçîì, àëãîðèòì ïåðåâîäà ÷èñëà èç äåñÿòè÷íîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ â äâîè÷íóþ ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì âûïîëíåíèè äåëåíèÿíà 2, ïðè ýòîì îñòàòêè çàïèñûâàþòñÿ ñïðàâà íàëåâî.Çàïèøåì òî æå ñàìîå ÷èñëî â òðîè÷íîé ñèñòåìå.
Íåîáõîäèìî íàéòè òàêèå ÷èñëà βk ∈{0, 1, 2}, k = 0, 1, . . . , n, ÷òî23910 = βn · 3n + βn−1 · 3n−1 + . . . + β0 · 30 .Òåïåðü áóäåì âûïîëíÿòü äåëåíèå íà 3 è íàõîäèòü îñòàòêè:23910 = 7910 · 310 + 27910 = 2610 · 310 + 12610 = 810 · 310 + 2810 = 210 · 310 + 2210 = 0 · 310 + 2⇒⇒⇒⇒⇒β0β1β2β3β4= 2,= 1,= 2,= 2,= 2.Òàêèì îáðàçîì, 23910 = 222123.Åñëè p ïîëîæèòåëüíîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òî åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:p = αn · sn + αn−1 · sn−1 + . .
. + α0 · s0 + α−1 · s−1 + α−2 · s−2 + . . . + α−k · s−k ,ãäå s > 2 íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ îñíîâàíèåì ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ, s−k = 1/(sk ) ÷èñëî, îáðàòíîå ê sk , αi ∈ {0, 1, . . . , s − 1}.  ïîçèöèîííîé çàïèñè ÷èñëà ñèìâîëû ñîòðèöàòåëüíûìè èíäåêñàìè îòäåëÿþòñÿ çàïÿòîé:ps = αn αn−1 . . . α0 , α−1 .
. . α−k .Íàïðèìåð, ÷èñëî 1/6 â äåñÿòè÷íîé çàïèñè âûãëÿäèò òàê: 0, 166666 . . . . Ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò, ÷òî äàëåå ñëåäóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñèìâîëîâ 6. Âîîáùå ãîâîðÿ, åñëè êàêàÿ-ëèáîñîâîêóïíîñòü öèôð â ïîçèöèîííîì ïðåäñòàâëåíèè ÷èñëà ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿåòñÿ, òî ýòóïîâòîðÿþùóþñÿ ÷àñòü ïðîñòî ïèøóò â ñêîáêàõ: (1/6)10 = 0, 16(6). Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ïåðåä èõ ïðåäñòàâëåíèåì â êàêîé-ëèáî ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ ñòàâèòñÿ çíàêìèíóñ. Åñëè âåùåñòâåííîå ÷èñëî íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì, òî åãî ïðåäñòàâëåíèå â äåñÿòè÷íîéñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé äðîáüþ. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ äâîè÷íûåäðîáè.Ïåðåâîä äâîè÷íîé äðîáè â äåñÿòè÷íóþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî òîìó,êàê ìû ýòî äåëàëè äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ðàññìîòðèì îáðàòíóþ ïðîöåäóðó. Íàéä¼ìäâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëà 0, 12510. Íåîáõîäèìî íàéòè αi ∈ {0, 1} â ïðåäñòàâëåíèè:0, 12510 = α−1 · 2−1 + α−2 · 2−2 + α−3 · 2−3 + . . .26Óìíîæèâ ýòî ðàâåíñòâî íà 2, ìû ïîëó÷èì:0, 2510 = α−1 + α−2 · 2−1 + α−3 · 2−2 + . . .Âñå ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè ïîëîæèòåëüíû è 0, 2510 < 1, ïîýòîìó α−1 íå ìîæåò áûòüðàâíûì 1. Ñëåäîâàòåëüíî, α−1 = 0. Óìíîæèâ âñ¼ ðàâåíñòâî åù¼ ðàç íà 2, ìû ïîëó÷èì:0, 510 = α−2 + α−3 · 2−1 + α−4 · 2−2 + . . .Èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé α−2 = 0. Î÷åðåäíîå óìíîæåíèå íà 2 ïðèâåä¼ò ê ðàâåíñòâó:1 = α−3 + α−4 · 2−1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
