1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ìîùíîñòüþ (èëè êàðäèíàëüíûì ÷èñëîì ) ìíîæåñòâà íàçîâ¼ì êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, êîòîðîìó ýòî ìíîæåñòâî ïðèíàäëåæèò. Ìîùíîñòü êàêîãî-ëèáî ìíîæåñòâà Aìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç card A. Âûðàæåíèå card A = card B îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâàA è B ïîïàëè â îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, à ýòî çíà÷èò, ÷òî îíè ðàâíîìîùíû, òî åñòü,A ∼ B.Âîîáùå ãîâîðÿ, òîò ôàêò, ÷òî ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìíîæåñòâ ìîæíî ðàçáèòü íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ, íå ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì. Åãîäîêàçàòåëüñòâî, îäíàêî, âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.
Áîëåå òîãî, ýòîò ôàêò íåîáõîäèìíàì ëèøü äëÿ òîãî, ÷òîáû êàêèì-òî îáðàçîì îïðåäåëèòü ïîíÿòèå êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà. Âïðèíöèïå, ìû ìîæåì îáîéòèñü áåç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ è òðàêòîâàòü card A, êàê íåêîòîðûéïàðàìåòð ìíîæåñòâà A, ïðè÷åì ó ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ ýòîò ïàðàìåòð áóäåò îäèíàêîâûì.•Çàìå÷àíèå 6.1.Åñëè A êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü card A êàê êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâìíîæåñòâà A.  ÷àñòíîñòè, card ∅ = 0.
Îäíàêî, îñíîâíàÿ ïðè÷èíà ââåäåíèÿ êàðäèíàëüíûõ÷èñåë ñâÿçàíà ñ ïîïûòêîé ñðàâíåíèÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Ðàíåå, â çàìå÷àíèè 3.17, ìûíàçâàëè ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûì, åñëè îíî íå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì. Äåäåêèíä ïðåäëîæèëíàçûâàòü ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ñâîåìó ñîáñòâåííîìóïîäìíîæåñòâó. Ñåé÷àñ ìû íå ãîòîâû äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ýòèõ îïðåäåëåíèé, ïîýòîìóîòëîæèì äàííûé âîïðîñ è îãðàíè÷èìñÿ ëèøü ïîÿñíÿþùèì ïðèìåðîì.Ðàññìîòðèì çàâåäîìî áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N è ïîêàæåì, ÷òî îíî ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîìó ñâîåìó ïîäìíîæåñòâó A, íå ñîâïàäàþùåìó ñN.
Âîçüì¼ì A = N \ {1} è îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå F : N → A ñëåäóþùèì îáðàçîì:F (k) = k + 1 äëÿ êàæäîãî k ∈ N. Î÷åâèäíî, ÷òî F áèåêöèÿ è im F = A. Òàêèì îáðàçîì,N è ïî Äåäåêèíäó ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì. Ìîæíî áûëî áû âçÿòü è äðóãîåìíîæåñòâî A. Åñëè, íàïðèìåð, A ìíîæåñòâî ÷¼òíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, òî â êà÷åñòâåáèåêöèè F : N → A ãîäèòñÿ îòîáðàæåíèå F (k) = 2k, k ∈ N.•Ïðèìåð 6.2.Ìîùíîñòè ìíîæåñòâ ìîæíî ñðàâíèâàòü. Ñêàæåì, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà A íå ïðåâîñõîäèò ìîùíîñòè ìíîæåñòâà B (card A 6 card B ), åñëè A ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà B (ò.å., A ∼ B1 è B1 ⊂ B ).Äîêàçàòü, ÷òî åñëè card A 6 card B è card B 6 card C , òî card A 6card C .•Óïðàæíåíèå 6.3.Íàì õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë a è b íåðàâåíñòâà a 6 b èb 6 a âëåêóò ðàâåíñòâî a = b.
Ýòîò ôàêò èìååò ìåñòî è äëÿ êàðäèíàëüíûõ ÷èñåë.(Òåîðåìà Øð¼äåðà Áåðíøòåéíà) Ïóñòü A è B ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà. Åñëè card A 6 card B è card B 6 card A, òî card A = card B .Òàê êàê card A 6 card B è card B 6 card A, ñóùåñòâóþò ïîäìíîæåñòâàA1 ⊂ A è B1 ⊂ B , òàêèå, ÷òî A ∼ B1 è B ∼ A1 . Áèåêöèÿ, ñâÿçûâàþùàÿ ìíîæåñòâà B èA1 , ïåðåâîäèò B1 â íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî A2 ìíîæåñòâà A1 . Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååìÒåîðåìà 6.4.Äîêàçàòåëüñòâî.38òðè âëîæåííûõ ìíîæåñòâà A ⊃ A1 ⊃ A2, ïðè÷¼ì A ∼ A2, ïîñêîëüêó A ∼ B1 è B1 ∼ A2.Òåîðåìà áóäåò äîêàçàíà, åñëè ìû óñòàíîâèì, ÷òî A ∼ A1.Îáîçíà÷èì ÷åðåç F áèåêöèþ, ïåðåâîäÿùóþ A â A2 è îïðåäåëèì åù¼ îäíî ìíîæåñòâîA3 = F (A1 ). Òàê êàê A ⊃ A1 è, êàê ñëåäñòâèå, F (A) ⊃ F (A1 ), ìû èìååì âêëþ÷åíèåA2 ⊃ A3 .
Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ìû ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ ìíîæåñòâA ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ Ak ⊃ . . ., òàêèõ, ÷òî Ak+2 = F (Ak ) äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k . Ðàäèåäèíîîáðàçèÿ îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî A ÷åðåç A0.Õîòÿ ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è ÿâëÿåòñÿ ñóæèâàþùåéñÿ (ò.å., Ak ⊃ Ak+1), ìíîæåñòâîC = ∩∞k=0 Ak ìîæåò áûòü íåïóñòûì.
Ââåä¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ Ck = Ak \ Ak+1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî Ck ∼ Ck+2 äëÿ âñåõ k ∈ N ∪ {0}.  ñàìîì äåëå,Ak åñòü îáúåäèíåíèå íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ Ak+1 è Ck . ÏîýòîìóAk+2 = F (Ak ) = F (Ak+1 ) ∪ F (Ck ) = Ak+3 ∪ F (Ck ).Òàê êàê ìíîæåñòâà F (Ak+1) è F (Ck ) íå ïåðåñåêàþòñÿ (F áèåêöèÿ),F (Ck ) = Ak+2 \ Ak+3 = Ck+2 .Ñëåäîâàòåëüíî Ck ∼ Ck+2.Ìíîæåñòâà A = A0 è A1 îòëè÷àþòñÿ íà ìíîæåñòâî C0, à èìåííî,A = A0 = C ∪ C0 ∪ C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ .
. . ,A1 = C ∪ C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ . . . .Ïîñòðîèì îòîáðàæåíèå G : A → A1 ñëåäóþùèì îáðàçîì:x ∈ C,x,G(x) = x,x ∈ Ck , kF (x), x ∈ Ck , k íå÷¼òíîå, ÷¼òíîå.Ýòî îòîáðàæåíèå ìîæíî èçîáðàçèòü áîëåå íàãëÿäíî ñ ïîìîùüþ äèàãðàììû:Î÷åâèäíî, ÷òî G áèåêöèÿ è G(A) = A1. Òàêèì îáðàçîì, A ∼ A1 è òåîðåìà äîêàçàíà. Ñêàæåì, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà A ìåíüøå ìîùíîñòè ìíîæåñòâà B (îáîçíà÷àåòñÿcard A < card B ), åñëè card A 6 card B è card A ̸= card B .(Ïåðâàÿ òåîðåìà Êàíòîðà) Ïóñòü A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Òîãäàcard A < card P(A), ãäå P(A) ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A.Åñëè ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì, òî îíî íå èìååò ýëåìåíòîâ è card A =0.
 òî æå âðåìÿ, P(A) ñîäåðæèò îäèí ýëåìåíò ïóñòîå ìíîæåñòâî, ïîýòîìó card P(A) =1 > 0 = card A.Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé íåïóñòîãî ìíîæåñòâà A. Ïóñòü B ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A, ñîñòîÿùèõ èç îäíîãî ýëåìåíòà.
Òîãäà B ⊂ P(A) è B ∼ A. ÏðèÒåîðåìà 6.5.Äîêàçàòåëüñòâî.39ýòîì â êà÷åñòâå áèåêöèè G : A → B ìîæíî âçÿòü îòîáðàæåíèå G(x) = {x}. Òàêèì îáðàçîì,card A 6 card P(A). Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî card A ̸= card P(A).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî card A = card P(A). Òîãäà ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèåF : A → P(A).
Ñêàæåì, ÷òî ýëåìåíò x ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ ¾ïðàâèëüíûì¿, åñëèx ∈ F (x). Âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A (ò.å., òàêèå, ÷òî x ̸∈ F (x)) íàçîâ¼ì ¾íåïðàâèëüíûìè¿. Ïóñòü E ìíîæåñòâî âñåõ ¾íåïðàâèëüíûõ¿ ýëåìåíòîâ. Ïîñêîëüêó E ∈ P(A)è F áèåêöèÿ, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò e ∈ A, òàêîé, ÷òî F (e) = E . Ýëåìåíò e ìîæåò áûòü ëèáî ¾ïðàâèëüíûì¿, ëèáî ¾íåïðàâèëüíûì¿. Åñëè îí ¾ïðàâèëüíûé¿,òî e ∈ F (e), à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî e ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó ¾íåïðàâèëüíûõ¿ ýëåìåíòîâE . Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî e ¾íåïðàâèëüíûé¿, òî e ∈ E = F (e), òî åñòü, e ÿâëÿåòñÿ¾ïðàâèëüíûì¿.
Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå: e ∈ A è e íå ìîæåò áûòü íè ¾ïðàâèëüíûì¿, íè¾íåïðàâèëüíûì¿. Ñëåäîâàòåëüíî card A ̸= card P(A).Êàê ñëåäóåò èç ýòîé òåîðåìû, íå ñóùåñòâóåò íàèáîëüøåãî êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà. Êàêîåáû ìíîæåñòâî A ìû íè âçÿëè, âñåãäà ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî, ìîùíîñòü êîòîðîãîáîëüøå ìîùíîñòè ìíîæåñòâà A.6.2Ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâàÌíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷¼òíûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N.Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíûì, åñëè îíî êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî. ïðèìåðå 6.2 ìû ïîêàçàëè, ÷òî ìíîæåñòâî ÷¼òíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ñ÷¼òíûì. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñ÷¼òíûì ÿâëÿåòñÿ è ìíîæåñòâî íå÷¼òíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Èç ýòèõ äâóõ ôàêòîâ ëåãêî ñëåäóåò ñ÷¼òíîñòü îáúåäèíåíèÿ äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A è B ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà, òî ìûìîæåì ðàñïîëîæèòü èõ ýëåìåíòû â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: A = {a1, a2, . . . , ak , . . .} èB = {b1 , b2 , . . . , bk , . . .}, ïðè÷åì â ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ íè îäèí ýëåìåíò íå âñòðå÷àåòñÿäâàæäû. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå F : N → A ∪ B ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè n íå÷¼òíîåíàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî F (n) = a(n+1)/2, à åñëè n ÷¼òíîå ÷èñëî, òî F (n) = bn/2.
Òàê êàêA ∩ B = ∅, îòîáðàæåíèå F ÿâëÿåòñÿ áèåêòèâíûì.Äîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ (íåîáÿçàòåëüíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ) åñòü íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî.•Óïðàæíåíèå 6.6.Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ â íåêîòîðîì ñìûñëåíàèìåíüøèìè èç áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.Ëþáîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî.Ïóñòü A áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò a1ìíîæåñòâà A. Ïîñêîëüêó A áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, A1 := A \ {a1} ̸= ∅ è, áîëåå òîãî,A1 áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò a2 ∈ A1 , ïðè÷¼ì A2 := A1 \ {a2 } áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî.
Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ìû ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ak }ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, òàêèõ, ÷òî ak ̸= aℓ ïðè k ̸= ℓ. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî B ={ak | k ∈ N} ÿâëÿåòñÿ ñ÷¼òíûì è B ⊂ A.Òåîðåìà 6.7.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñëåäñòâèå 6.8.Áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ñ÷¼òíûì.40◃ Ïóñòü A ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî è B åãî áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî.
Òàê êàê B ⊂A, card B 6 card A = card N. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî äîêàçàííîé òåîðåìå B èìååòñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî C . Ïîýòîìó card N = card C 6 card B . Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Øð¼äåðà Áåðíøòåéíà, ïîëó÷àåì, ÷òî card B = card N.▹Åñëè A áåñêîíå÷íîå, à B íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâà, òî.Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî B ∩ A = ∅, èíà÷å ìû âîçüì¼ì âìåñòî B ìíîæåñòâîB \ A. Ïóñòü C êàêîå-ëèáî ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A. Î÷åâèäíî, ÷òî A =(A \ C) ∪ C è A ∪ B = (A \ C) ∪ (C ∪ B).  òî æå âðåìÿ, C ∼ (C ∪ B). Ïîýòîìó A ∼ A ∪ B . ñàìîì äåëå, ïóñòü F áèåêöèÿ C íà C ∪ B . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå G : A → A ∪ Bñëåäóþùèì îáðàçîì:{Ñëåäñòâèå 6.9.card (A ∪ B) = card AÄîêàçàòåëüñòâî.G(x) =x,x ∈ A \ C,F (x), x ∈ C.Ýòî îòîáðàæåíèå, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ áèåêòèâíûì.▹Òåïåðü ìû ãîòîâû äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ âñòðåòèâøèõñÿ íàì ðàíåå îïðåäåëåíèé áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà.(Äåäåêèíä) Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìíîæåñòâî áûëî áåñêîíå÷íûì, íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíî áûëî ðàâíîìîùíî ñâîåìó ñîáñòâåííîìó ïîäìíîæåñòâó.Ïóñòü A áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
