1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Óòâåðæäåíèå ëåììû òåïåðü ñëåäóåòèç íåðàâåíñòâà Áåðíóëëè ñ x = 1, à èìåííî, èç òîãî, ÷òî 2n > 1 + n äëÿ âñåõ n ∈ N. JÏóñòü q ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî èç èíòåðâàëà (0, 1). Äîêàçàòü, ÷òî äëÿëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå nε ∈ N, ÷òî qn < ε äëÿ âñåõ n > nε.•(Î êîíå÷íîì ïîäïîêðûòèè) Ëþáîå ïîêðûòèå îòðåçêà ÷èñëîâîé ïðÿìîéñèñòåìîé îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ ñîäåðæèò êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå ýòîãî îòðåçêà.Ïóñòü I1 îòðåçîê ÷èñëîâîé ïðÿìîé è S ñèñòåìà èíòåðâàëîâ, ïîêðûâàþùàÿ I1.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íèêàêàÿ êîíå÷íàÿ ïîäñèñòåìà ñèñòåìû S íå ïîêðûâàåò I1.Ðàçäåëèì îòðåçîê I1 ïîïîëàì, îáðàçîâàâ èç íåãî äâà îòðåçêà îäèíàêîâîé äëèíû. Õîòÿ áûîäíà èç ïîëîâèíîê òàêæå íå ìîæåò áûòü ïîêðûòà íèêàêîé êîíå÷íîé ïîäñèñòåìîé ñèñòåìûS .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âåñü îòðåçîê I1 äîïóñêàë áû êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èëî áû ïðåäïîëîæåíèþ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç I2 òîò îòðåçîê èç ýòèõ äâóõ ïîëîâèíîê,êîòîðûé íå ïîêðûâàåòñÿ íèêàêîé êîíå÷íîé ïîäñèñòåìîé ñèñòåìû S .
Àíàëîãè÷íî, ðàçáèâàÿ îòðåçîê I2 ïîïîëàì, ïîëó÷àåì îòðåçîê I3, îáëàäàþùèé òåì æå ñâîéñòâîì. Ïðîäîëæàÿýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðåçêîâ {Ik }k∈N, òàêèõ, ÷òî |Ik+1| = |Ik |/2,Ik+1 ⊂ Ik äëÿ âñåõ k ∈ N è êàæäûé èç ýòèõ îòðåçêîâ íå ìîæåò áûòü ïîêðûò íèêàêîéêîíå÷íîé ïîäñèñòåìîé ñèñòåìû S .Ïî òåîðåìå î âëîæåííûõ îòðåçêàõ ñóùåñòâóåò òî÷êà c ∈ R, êîòîðàÿ ïðèíàäëåæèòâñåì îòðåçêàì Ik . Ïîñêîëüêó S ïîêðûòèå îòðåçêà I1 è c ∈ I1, ñóùåñòâóåò èíòåðâàë(α, β) ∈ S , êîòîðûé ñîäåðæèò òî÷êó c. Âîçüì¼ì ε = min{c − α, β − c}/2 è íàéä¼ì kε ∈ N,òàêîå, ÷òî |Ik | < ε.
Òàêîå ÷èñëî kε ñóùåñòâóåò â ñèëó ëåììû 4.3. Òîãäà, ïîñêîëüêó c ∈ Ik ,Ik ⊂ (α, β), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïîñòðîåíèþ îòðåçêîâ Ik : ìû ïîêðûëè îäèí èç ýòèõ îòðåçêîâîäíèì èíòåðâàëîì èç ñèñòåìû S . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó.Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà ïðèìåðà, ïîêàçûâàþùèõ, ÷òî âñå óñëîâèÿ òåîðåìû âàæíû.Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî â óñëîâèè òåîðåìû îòðåçîê íåëüçÿ çàìåíèòüèíòåðâàëîì. Ðàññìîòðèì èíòåðâàë (0, 1) è ñèñòåìó èíòåðâàëîâ S = {(1/k, 1), k ∈ N}.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî (0, 1) ⊂ ∪k∈N(1/k, 1).
 ñàìîì äåëå, åñëè x ∈ (0, 1), òî â ñèëóïðèíöèïà Àðõèìåäà ñóùåñòâóåò k ∈ N, òàêîå, ÷òî 1/k < x, òî åñòü, x ∈ (1/k, 1).  òîæå âðåìÿ, íèêàêàÿ êîíå÷íàÿ ïîäñèñòåìà ñèñòåìû S íå ïîêðûâàåò èíòåðâàë (0, 1). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè {k1, k2, . . . , kn} ïðîèçâîëüíûé êîíå÷íûé íàáîð íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è•k∗ = max{k1 , k2 , . . . , kn }, òî ∪ni=1 (1/ki , 1) = (1/k∗ , 1) b (0, 1). ýòîì ïðèìåðå ìû ðàññìîòðèì ïîêðûòèå îòðåçêà ñèñòåìîé îòðåçêîâ. Âîçüì¼ì îòðåçîê [0, 1] è ñèñòåìó îòðåçêîâ S = {Ik , k ∈ N ∪ {0}}, ãäå I0 = [−1, 0] è Ik = [1/k, 1]ïðè k ∈ N.
Î÷åâèäíî, ÷òî [0, 1] ⊂ ∪∞k=0Ik , òî åñòü, S ÿâëÿåòñÿ ïîêðûòèåì îòðåçêà [0, 1].Ðàññóæäàÿ òî÷íî òàê æå, êàê â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî íèêàêàÿêîíå÷íàÿ ïîäñèñòåìà ñèñòåìû S íå ïîêðûâàåò îòðåçîê [0, 1].•′Ëåììà 4.3.Óïðàæíåíèå 4.4.Òåîðåìà 4.5.Äîêàçàòåëüñòâî.εεεÏðèìåð 4.6.Ïðèìåð 4.7.30Òî÷êà p ∈ R íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà A ⊂ R, åñëè â ëþáîé å¼îêðåñòíîñòè ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà èç A\{p}. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïðåäåëüíàÿòî÷êà ìíîæåñòâà ìîæåò è íå ïðèíàäëåæàòü ýòîìó ìíîæåñòâó. Íàïðèìåð, òî÷êà 0 ÿâëÿåòñÿïðåäåëüíîé òî÷êîé èíòåðâàëà (0, 1), âñå òî÷êè îòðåçêà [0, 1] ÿâëÿþòñÿ ïðåäåëüíûìè äëÿìíîæåñòâà Q ∩ (0, 1).Òî÷êà p ∈ R ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà A ⊂ R òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà â ëþáîé å¼ îêðåñòíîñòè ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åêèç A. îäíó ñòîðîíó ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî: åñëè â îêðåñòíîñòè òî÷êè pñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê èç A, òî òàì íàéä¼òñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà èçA \ {p} (òî÷íåå, òàêèõ òî÷åê áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî).
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå â äðóãóþñòîðîíó.Ïóñòü p ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà A è U å¼ îêðåñòíîñòü, òî åñòü, ñîäåðæàùèép èíòåðâàë. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî U ñîäåðæèò ëèøü êîíå÷íûé íàáîð {a1 , a2 , . . . , am } òî÷åêèç A. Åñëè òî÷êà p ïðèñóòñòâóåò â ýòîì íàáîðå (à ýòî ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òîëüêî òîãäà,êîãäà p ∈ A), òî èñêëþ÷èì å¼. Òàêèì îáðàçîì, p ̸∈ {a1, a2, . . . , am}. Òî÷êè a1, a2, . . . , amðàçáèâàþò U íà m + 1 èíòåðâàë.
Òîò èç íèõ, â êîòîðûé ïîïàëà òî÷êà p îáîçíà÷èì ÷åðåç V .Èíòåðâàë V ÿâëÿåòñÿ îêðåñòíîñòüþ òî÷êè p è â í¼ì íåò íè îäíîé òî÷êè èç A\{p}. Ïîýòîìóp íå ìîæåò áûòü ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà A. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåòóòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 4.8.Äîêàçàòåëüñòâî.(Òåîðåìà Áîëüöàíî Âåéåðøòðàññà) Åñëè A ⊂ R îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå áåñêîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê, òî A èìååò ïðåäåëüíóþ òî÷êó.Òàê êàê A îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, îíî ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì îòðåçêå I ⊂ R.
Åñëè A èìååò ïðåäåëüíûå òî÷êè, òî îíè äîëæíû ëåæàòü â I .  ñàìîì äåëå,ïðåäïîëîæèì, ÷òî p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç ìíîæåñòâà R\I . Ïîñêîëüêó R\I îòêðûòîåìíîæåñòâî, ñóùåñòâóåò ëåæàùàÿ â ýòîì ìíîæåñòâå îêðåñòíîñòü U òî÷êè p. Òîãäà â U íåòíè îäíîé òî÷êè èç A è, çíà÷èò, p íå ìîæåò áûòü ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà A.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â I íåò ïðåäåëüíûõ òî÷åê ìíîæåñòâà A. Òîãäà ó êàæäîé òî÷êè x ∈ Iåñòü îêðåñòíîñòü, êîòîðàÿ ëèáî ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê èç A, ëèáî íå ñîäåðæèòèõ âîâñå. Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ îêðåñòíîñòåé âñåõ òî÷åê îòðåçêà I îáðàçóåò åãî ïîêðûòèå.
Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.5 ýòî ïîêðûòèå èìååò êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå. Ïî îïðåäåëåíèþâûáðàííûõ îêðåñòíîñòåé, â îáúåäèíåíèè âñåõ ìíîæåñòâ ýòîãî êîíå÷íîãî ïîäïîêðûòèÿ ñîäåðæèòñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê èç A. Ïîýòîìó, òàê êàê ýòî îáúåäèíåíèå ñîäåðæèò A,ìíîæåñòâî A äîëæíî áûòü êîíå÷íûì, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ òåîðåìû. Ñëåäîâàòåëüíîïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî â I íåò ïðåäåëüíûõ òî÷åê ìíîæåñòâà A íåâåðíî.Òåîðåìà 4.9.Äîêàçàòåëüñòâî.4.3×èñëîâàÿ îêðóæíîñòüÐàññìîòðèì äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå R2 = R × R äâóõ ÷èñëîâûõ ïðÿìûõ.
Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà R2 ìû òîæå áóäåì íàçûâàòü òî÷êàìè. Êàæäàÿ òî÷êà x ∈ R2 åñòü óïîðÿäî÷åííàÿïàðà (x1, x2) âåùåñòâåííûõ ÷èñåë x1 è x2, íàçûâàåìûõ êîîðäèíàòàìè òî÷êè x. Ïî ýòîéïðè÷èíå ìíîæåñòâî R2 íàçûâàþò êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòüþ. Òî÷êà 0 = (0, 0) íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò. Êàæäîé òî÷êå x ∈ R2 ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð ñíà÷àëîì â 0 è êîíöîì â x. Ïîýòîìó ýëåìåíòû R2 ìû áóäåì òàêæå íàçûâàòü âåêòîðàìè.31Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà âåùåñòâåííîå÷èñëî: x + y = (x)1 + y1, x2 + y2)(è tx = (tx1, tx2) äëÿ ëþáîãî t ∈ R.
Âåëè÷èíó |x − y| := (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 1/2 íàçûâàþòåâêëèäîâûì ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè x è y êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.  ýòîì ïóíêòåó íàñ íå âñòðåòèòñÿ äðóãèõ ðàññòîÿíèé, ïîýòîìó ñëîâî ¾åâêëèäîâî¿ ìû áóäåì îïóñêàòü.Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x äî íà÷àëà êîîðäèíàò 0 íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíîé èëè ìîäóëåì âåêòîðàx è îáîçíà÷àåòñÿ |x|.Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå, êîòîðîå áóäåò ïîñòîÿííî èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì. Åñëè íàìçàäàí íàáîð {a1, a2, . . . , a∑n}n ÷èñåë èëè äðóãèõ îáúåêòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñêëàäûâàòü,( ∑2 òî èõ2ñóììóîáîçíà÷àþò òàê: i=1 ai.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè x, y ∈ R , òî |x − y| = i=1(xi −)2 1/2yi ).Ïóñòü a êàêàÿ-ëèáî òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè R2 è r ∈ R+. Ìíîæåñòâî Sr (a) ={x ∈ R2 | |x − a| = r} íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå a.  ýòîìïóíêòå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç S îêðóæíîñòü S1(0).Íàøà äàëüíåéøàÿ öåëü ââåñòè ïîíÿòèå äëèíû äóãè îêðóæíîñòè. Ïóñòü a è b òî÷êèíà S , ïðè÷¼ì äëÿ òîãî, ÷òîáû ïåðåéòè èç a â b ìû äîëæíû äâèãàòüñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé⌢ñòðåëêè. Ìíîæåñòâî òî÷åê îêðóæíîñòè S , çàêëþ÷¼ííûõ ìåæäó a è b, íàçîâ¼ì äóãîé ab.Òî÷êà a íà÷àëî, à b êîíåöäóãè. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð {ξ0, ξ1,⌢ξ2, .
. . , ξn}⌢íåñîâïàäàþùèõ òî÷åê íà ab, òàêèõ, ÷òî ξ0 = a è ξn = b. Âïèñàííîé â äóãó ab ëîìàíîéñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ ξk íàçûâàåòñÿ íàáîð îòðåçêîâ [ξk−1, ξk ], k = 1, 2, . . . , n, ãäå îòðåçîê[ξ k−1 , ξ k ] åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê x ∈ R2 , òàêèõ, ÷òî x = (1 − t) ξ k−1 + t ξ k äëÿ íåêîòîðîãî t ∈[0, 1]. Åñëè ìû îáîçíà÷èì ýòó ëîìàíóþ ÷åðåç ξ̄ , òî å¼ äëèíó îïðåäåëèì êàê ïîëîæèòåëüíîå⌢âåùåñòâåííîå ÷èñëî ℓ(ξ̄) = ∑ni=1 |ξi − ξi−1|. Ìíîæåñòâî âñåõ âïèñàííûõ â äóãó ab ëîìàíûõîáîçíà÷èì ÷åðåç L(a, b). ⌢Íàçîâ¼ì äëèíîé äóãè ab îêðóæíîñòè S âåùåñòâåííîå ÷èñëîs(a, b) = sup ℓ(ξ̄).ξ̄∈L(a,b)Êðîìå òîãî, ïîëîæèì s(a, a) = 0. Äàäèì íåñêîëüêî ïîÿñíåíèé ê ýòîìó îïðåäåëåíèþ. Âîïåðâûõ, ìû íåîáû÷íûì îáðàçîì èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèå ñóïðåìóìà. Ðàíåå ìû âñòðå÷àëèñü ñ ñóïðåìóìîì íåêîòîðîãî ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà.
Îáîçíà÷åíèå, ââåä¼ííîå íàìè ñåé÷àñ, îçíà÷àåò ñëåäóþùåå: åñëè A åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ÷è⌢ñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ äëèíîé íåêîòîðîé âïèñàííîé â äóãó ab ëîìàíîé, òîs(a, b) = sup A. Òàêèì îáðàçîì,s(a, b) = sup ℓ(ξ̄) = sup{ℓ(ξ̄) ∈ R+ | ξ̄ ∈ L(a, b)}.ξ̄∈L(a,b) äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ïîäîáíûìè îáîçíà÷åíèÿìè. Äàëåå, ñóùåñòâîâàíèå ñóïðåìóìà ìíîæåñòâà A ïîêà îñòà¼òñÿ ïîä âîïðîñîì, äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî îòâåòàíà êîòîðûé äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî ìíîæåñòâî A îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Ìû îñòàâèì ýòîòâîïðîñ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Ñäåëàåì ïîäñêàçêó: ìíîæåñòâî A îãðàíè÷åíîñâåðõó, íàïðèìåð, ÷èñëîì 8 (ïåðèìåòðîì íàèìåíüøåãî êâàäðàòà, ñîäåðæàùåãî îêðóæíîñòüS ).
Êðîìå òîãî, ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïîíàäîáÿòñÿ íåðàâåíñòâà, êîòîðûå ìû ñôîðìóëèðóåìâ âèäå ëåììû.1◦. 2ab 6 a2 + b2 äëÿ ëþáûõ a, b ∈ R;Ëåììà 4.10.322◦.3◦. ∑2i=1 ( ∑2) ( ∑2)2 1/22 1/2xi yi 6i=1 xii=1 yiäëÿ âñåõ x, y ∈ R2;äëÿ âñåõ x, y ∈ R2.I 1◦ . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî íåðàâåíñòâà äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî (a − b)2 > 0, èðàñêðûòü ñêîáêè.2◦. Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ñòîèò íå ÷òî èíîå, êàê |x| |y|. Åñëèx = 0 èëè y = 0, òî äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî, î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
