1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ýòè ñâîéñòâà ñðàçó ñëåäóþò èç óòâåðæäåíèÿ 1◦òåîðåìû 3.15 è ïîðÿäêîâûõ ñâîéñòâ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.Íà îñíîâå òåîðåìû 3.15 ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü, êàêèå âåùåñòâåííûå÷èñëà âõîäÿò â îïðåäåëåííîå íàìè ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Âî ïåðâûõ, 1 ∈ N è âñåîñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà áîëüøå åäèíèöû. Äàëåå, â ñèëó èíäóêòèâíîñòè N, ÷èñëà2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1 è òàê äàëåå ÿâëÿþòñÿ íàòóðàëüíûìè. Áîëåå òîãî, èçóòâåðæäåíèÿ 5◦ òåîðåìû 3.15 ñëåäóåò, ÷òî äðóãèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íåò.
Ôàêòè÷åñêè ýòîè åñòü øêîëüíîå îïðåäåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.•Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîäñ÷åòà êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Ïóñòü Nm = {k ∈ N | k 6 m}. Ñêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî Aÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà íà Nm äëÿíåêîòîðîãî m ∈ N. Ïðè ýòîì ÷èñëî m íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâîì ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A.Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íûì, åñëè îíî íå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì. Ïîäðîáíåå ñ òàêîãî ðîäà âîïðîñàìè ìû ïîçíàêîìèìñÿ â ïàðàãðàôå, ïîñâÿùåííîì êàðäèíàëüíûì ÷èñëàì,à ñåé÷àñ îòìåòèì ëèøü ïàðó î÷åâèäíûõ ñâîéñòâ êîíå÷íûõ è áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.
ÅñëèA è B êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, òî êîíå÷íûì ÿâëÿåòñÿ è ìíîæåñòâî A ∪ B . Îòñþäà ñðàçóñëåäóåò, ÷òî åñëè A áåñêîíå÷íîå, à B êîíå÷íîå ìíîæåñòâà, òî A \ B áåñêîíå÷íîåìíîæåñòâî.Íàòóðàëüíûå ÷èñëà èñïîëüçóþò òàêæå äëÿ ïîäñ÷åòà ïîâòîðÿþùèõñÿ ñîáûòèé èëè îáúåêòîâ. Íàïðèìåð, ìû ãîâîðèì, ÷òî áóêâà ¾à¿ âñòðå÷àåòñÿ â ñëîâå ¾àáðàêàäàáðà¿ ïÿòü ðàç.×òîáû ïîëó÷èòü ýòî ÷èñëî, ìû íàïðîòèâ êàæäîé áóêâû ¾à¿ ïîñòàâèì åäèíèöó, à ïîòîìâñå ýòè åäèíèöû ñëîæèì.•Äëÿ ëþáûõ n ∈ N è x ∈ R îïðåäåëèì âåùåñòâåííîå ÷èñëî xn êàê ïðîèçâåäåíèå x·x · · · x,â êîòîðîì n ðàç ñòîèò ÷èñëî x. ×èñëî xn íàçûâàåòñÿ n-é ñòåïåíüþ ÷èñëà x è ÷èòàåòñÿ¾x â ñòåïåíè n¿. Èñòîðè÷åñêè ïðèíÿòî âûäåëÿòü äâà ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿ: x2 íàçûâàåòñÿ¾x â êâàäðàòå ¿, à x3 ¾x â êóáå ¿.
Î÷åâèäíî, ÷òî x1 = x äëÿ âñåõ x ∈ R. Êðîìå òîãî, ïîîïðåäåëåíèþ ïîëîæèì, ÷òî x0 = 1 äëÿ âñåõ x ∈ R.Çàìå÷àíèå 3.16.Çàìå÷àíèå 3.17.20(Íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè) Äëÿ êàæäîãî n ∈ N è äëÿ âñåõ x ∈ R, òàêèõ,÷òî x > −1, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî: (1 + x)n > 1 + nx.Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïóñòü x > −1.Åñëè n = 1, òî äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî, î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî: (1 + x)1 = 1 + x =1 + 1 · x.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ êàêîãî-ëèáî n ∈ N. Äîêàæåì,÷òî (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.  ñàìîì äåëå, âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäïîëîæåíèåì èíäóêöèèè íåîòðèöàòåëüíîñòüþ ÷èñëà 1 + x, ìû ïîëó÷èì:Òåîðåìà 3.18.Äîêàçàòåëüñòâî.(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) > (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx2 > 1 + (n + 1)x.Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â ýòîé öåïî÷êå ñïðàâåäëèâî, òàê êàê x2 > 0 äëÿ âñåõ x ∈ R. Èçïðèíöèïà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâîäëÿ âñåõ n ∈ N.(Ïðèíöèï Àðõèìåäà) Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì ñâåðõó.
Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî x ∈ R ñóùåñòâóåò n ∈ N, òàêîå, ÷òîn > x.Ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî N îãðàíè÷åííîå ñâåðõó ìíîæåñòâî. Òîãäà, êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.12, ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííîå÷èñëî c, òàêîå ÷òî c = sup N. Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà y, ìåíüøåãî c, äîëæíî ñóùåñòâîâàòü n ∈ N, òàêîå, ÷òî n > y. Âîçüì¼ìy = c − 1. Òîãäà n > c − 1 äëÿ íåêîòîðîãî n ∈ N, òî åñòü, n + 1 > c.
Íî N èíäóêòèâíîåìíîæåñòâî, ïîýòîìó (n + 1) ∈ N. Ïîëó÷èëè äâà ïðîòèâîðå÷àùèõ äðóã äðóãó óòâåðæäåíèÿ:¾c = sup N ¿ è ¾ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî k (k = n + 1), êîòîðîå áîëüøå c¿.Ýòî, êàçàëîñü áû òðèâèàëüíîå, óòâåðæäåíèå èìååò ïîëåçíûå ñëåäñòâèÿ.Äëÿ ëþáûõ a ∈ R è b ∈ R+ ñóùåñòâóåò òàêîå n ∈ N, ÷òî a < nb.◃ Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå a ∈ R è b ∈ R+ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ Nâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî a > nb. Íî òîãäà ìíîæåñòâî N îãðàíè÷åíî ñâåðõó âåùåñòâåííûì÷èñëîì a/b, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðèíöèïó Àðõèìåäà.▹Äîêàçàííîå ñëåäñòâèå èìååò ïðîñòóþ òðàêòîâêó èç ïîâñåäíåâíîé æèçíè: çà êîíå÷íîå÷èñëî øàãîâ (äëèíû b) ìîæíî ïðîéòè ëþáîå ðàññòîÿíèå (a).Ïóñòü âåùåñòâåííûå ÷èñëà x, y è z òàêîâû, ÷òî y 6 x 6 y + z/n äëÿâñåõ n ∈ N. Òîãäà x = y.◃ Îïÿòü ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x ̸= y , òî åñòü,x > y . Ïîëîæèâ â ïðåäûäóùåì ñëåäñòâèè a = z è b = x − y , ìû ïîëó÷èì, ÷òî n(x − y) > zäëÿ íåêîòîðîãî n ∈ N. Ñëåäîâàòåëüíî äëÿ ýòîãî n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî x > y + z/n,êîòîðîå ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.▹Çàìåòèì, ÷òî â ôîðìóëèðîâêå ýòîãî ñëåäñòâèÿ ìû ìîãëè áû ïîòðåáîâàòü âûïîëíåíèÿäðóãîãî íåðàâåíñòâà: y − z/n 6 x 6 y. Óòâåðæäåíèå ïðè ýòîì íå èçìåíèëîñü áû. Êðîìåòîãî, óòâåðæäåíèå îñòàíåòñÿ â ñèëå, åñëè ýòè íåðàâåíñòâà áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ëèøü äëÿâñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n, áîëüøèõ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà.Òåîðåìà 3.19.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñëåäñòâèå 3.20.Ñëåäñòâèå 3.21.21Ñêàæåì, ÷òî âåùåñòâåííîå ÷èñëî x ÿâëÿåòñÿ öåëûì, åñëè ëèáî x ∈ N,ëèáî x = 0, ëèáî (−x) ∈ N.
Ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë îáîçíà÷èì ñèìâîëîì Z. Òàêèìîáðàçîì, Z = (−N) ∪ {0} ∪ N.Îñíîâíîå îòëè÷èå Z îò N ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ êàæäîãî n ∈ Z åãî ïðîòèâîïîëîæíûéýëåìåíò (−n) òàêæå ïðèíàäëåæèò Z. Èç ýòîãî, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî öåëûõ÷èñåë íå îãðàíè÷åíî íè ñâåðõó, íè ñíèçó. Êðîìå òîãî, íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñåõ kè n èç Z èõ ðàçíîñòü (k − n) (òàê æå êàê è (n − k)) òîæå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì Z.Äðóãèå ñâîéñòâà öåëûõ ÷èñåë àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì ñâîéñòâàì íàòóðàëüíûõ÷èñåë.
Ìû äîêàæåì òîëüêî îäíî óòâåðæäåíèå, êàñàþùååñÿ öåëûõ ÷èñåë.Äëÿ êàæäîãî x ∈ R ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå n ∈ Z, òàêîå, ÷òîn 6 x < n + 1.Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî x ∈ R è îïðåäåëèì ìíîæåñòâà Ak ={y ∈ R | k 6 y < k + 1}. Çàìåòèì, ÷òî Ak ∩ Aℓ = ∅, åñëè k è ℓ ðàçëè÷íûå öåëûå ÷èñëà. ñàìîì äåëå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî k ̸= ℓ è Ak ∩ Aℓ ̸= ∅. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå y ∈ R,÷òî k 6 y < k + 1 è ℓ 6 y < ℓ + 1.
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü,÷òî k < ℓ. Èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî k < ℓ 6 y < k + 1. Òî åñòü, k < ℓ < k + 1, àýòî ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâó öåëûõ ÷èñåë, àíàëîãè÷íîìó óòâåðæäåíèþ 5 èç òåîðåìû 3.15.Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ öåëûõ ÷èñåë ñàìîñòîÿòåëüíî.Êàê ñëåäóåò èç ïðèíöèïà Àðõèìåäà, ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî m, òàêîå, ÷òî |x| <k=m−1m.
Ïîýòîìó −m < x < m. Ýòî íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî x ∈ ∪k=−mAk . Ñëåäîâàòåëüíîx ïðèíàäëåæèò îäíîìó (è òîëüêî îäíîìó) èç ìíîæåñòâ Ak , k ∈ {−m, −m + 1, . . . , m − 1}.Âîçüì¼ì â êà÷åñòâå n öåëîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî x ∈ An. Òîãäà n 6 x < n+1, ÷òî è òðåáîâàëîñüäîêàçàòü.Äëÿ êàæäîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà x öåëîå ÷èñëî n, òàêîå, ÷òî n 6 x < n+1, íàçûâàåòñÿöåëîé ÷àñòüþ ÷èñëà x. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà x îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç [x]. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëàx îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç {x} è îïðåäåëÿåòñÿ êàê x − [x]. Íå ñëåäóåò ïóòàòü äðîáíóþ ÷àñòü÷èñëà x ñ ìíîæåñòâîì, ñîñòîÿùèì èç îäíîãî ýëåìåíòà x.Îòìåòèì åù¼, ÷òî ìíîæåñòâî Z äåëèòñÿ íà äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâà ÷¼òíûõ è íå÷¼òíûõ ÷èñåë.
×èñëî n ∈ Z íàçûâàåòñÿ ÷¼òíûì, åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ Z,òàêîå, ÷òî n = 2k. ×èñëî n ∈ Z íàçûâàåòñÿ íå÷¼òíûì, åñëè ñóùåñòâóåò k ∈ Z, òàêîå, ÷òîn = 2k − 1.Âåùåñòâåííûå ÷èñëà âèäà k/n, ãäå k ∈ Zè n ∈ N, íàçûâàþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè. Ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ÷åðåç Q. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íå ÿâëÿþùèåñÿ ðàöèîíàëüíûìè, íàçûâàþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè.
Ïðè îïðåäåëåíèè ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà k/n âîçíèêàåò ïðîáëåìà, ñâÿçàííàÿ ñ òåì,÷òî äðîáü km/(nm) çàäà¼ò òî æå ñàìîå ÷èñëî äëÿ êàæäîãî m ∈ N. Òî åñòü, ðàöèîíàëüíûå÷èñëà çàäàþòñÿ íåîäíîçíà÷íî. Ìû îáîéä¼ì ýòó ïðîáëåìó ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Íàòóðàëüíîå ÷èñëî ℓ ̸= 1 íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì öåëîãî ÷èñëà k, åñëè k = mℓ äëÿ íåêîòîðîãî m ∈ Z.Ñêàæåì, ÷òî äðîáü k/n ÿâëÿåòñÿ íåñîêðàòèìîé, åñëè ÷èñëà k è n íå èìåþò îáùèõ äåëèòåëåé (òàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè ). Òåïåðü ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòüðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, êàê íåñîêðàòèìûå äðîáè. Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîãî p ∈ Q ñóùåñòâóþòîäíîçíà÷íî îïðåäåë¼ííûå k ∈ Z è n ∈ N, òàêèå, ÷òî p = k/n.Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî Q åñòü óïîðÿäî÷åííîå ïîëå.  òî æå âðåìÿ, êàê ìû óâèäèìäàëåå, ïîëå Q íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. Äëÿ íà÷àëà ìû ïîêàæåì, ÷òî Q ̸= R, òî åñòü, èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñóùåñòâóþò. Èñòîðè÷åñêè, èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà âîçíèêëè ïðè ïîïûòêåÖåëûå ÷èñëà.Óòâåðæäåíèå 3.22.Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà.22ðåøèòü êâàäðàòíîå óðàâíåíèå x2 = a, ãäå a ∈ R+.
Ïîëîæèòåëüíîåýòîãî óðàâíå√ ðåøåíèå1/2íèÿ íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíûì êîðíåì èç ÷èñëà a è îáîçíà÷àåòñÿ a èëè a . Äëÿ íåêîòîðûõa, íàïðèìåð, äëÿ a = 2, íå óäàëîñü íàéòè ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî x, óäîâëåòâîðÿþùåå ýòîìó óðàâíåíèþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òîðåøåíèå äîëæíî ñóùåñòâîâàòü.  ñàìîì äåëå, èñõîäÿ èç òåîðåìû Ïèôàãîðà, x ÿâëÿåòñÿäëèíîé ãèïîòåíóçû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ äëèíîé êàòåòîâ, ðàâíîé åäèíèöå.
Ìûñåé÷àñ ïîêàæåì, ÷òî â R+ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ.(Î êâàäðàòíîì êîðíå) Äëÿ êàæäîãî a ∈ R+ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî x ∈ R+, òàêîå, ÷òî x2 = a.Ñíà÷àëà óñòàíîâèì åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñëà x1 è x2, êâàäðàòû êîòîðûõ ðàâíû a. Òîãäà x21 − x22 = 0. Íî x21 − x22 = (x1 − x2)(x1 + x2), ïîýòîìó ëèáî x1 − x2 = 0, ëèáî x1 + x2 = 0.Âòîðîé âàðèàíò íåâîçìîæåí ââèäó ïîëîæèòåëüíîñòè x1 è x2.
Òàêèì îáðàçîì, x1 = x2, òîåñòü ðåøåíèå âñ¼-òàêè åäèíñòâåííî.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîÓòâåðæäåíèå 3.23.Äîêàçàòåëüñòâî.A = {x ∈ R+ | x2 < a}.Ýòî ìíîæåñòâî îãðàíè÷åíî ñâåðõó, íàïðèìåð, ÷èñëîì (a + 1).  ñàìîì äåëå, ïðåäïîëîæèì,÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî x ∈ A, òàêîå, ÷òî x > a+1. Òîãäà x2 > (a+1)2 > a, à ýòî ïðîòèâîðå÷èòòîìó, ÷òî x ∈ A. ñèëó îãðàíè÷åííîñòè ìíîæåñòâà A ñâåðõó, ñóùåñòâóåò ÷èñëî c = sup A ∈ R+. Ïîêàæåì, ÷òî c2 = a, òî åñòü, c è ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì êâàäðàòíûì êîðíåì èç ÷èñëà a.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî c2 < a.
Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî ε,òàêîå, ÷òî c2 + ε < a. Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü ε = (a − c2)/2. Èç ïðèíöèïà Àðõèìåäàñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò n ∈ N, äëÿ êîòîðîãî 2c + 1 < nε. Ïðîâåðèì, ÷òî ÷èñëî (c + 1/n)ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A. Äåéñòâèòåëüíî,(c+(() 11 )21) 1= c2 + 2c +· < c2 + 2c + 1 · < c2 + ε < a.nn nnÑëåäîâàòåëüíî, ïîñêîëüêó c + 1/n > c è (c + 1/n) ∈ A, ÷èñëî c íå ìîæåò áûòü âåðõíåéãðàíüþ ìíîæåñòâà A. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.Òàêèì îáðàçîì, c2 > a. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, äëÿ ëþáîãî k ∈ Nñóùåñòâóåò ÷èñëî x ∈ A, òàêîå ÷òî x > (c − 1/k). Òàê êàê x ∈ A, ìû ïîëó÷àåì: a > x2 >(c − 1/k)2 > c2 − 2c/k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
