1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Èñïîëüçîâàíèå êâàíòîðîâ ìû ïîÿñíèì íà ïðèìåðàõ.Ïóñòü A è B êàêèå-ëèáî ìíîæåñòâà.à) A ̸= ∅ åñòü óòâåðæäåíèå (∃x)(x ∈ A).á) A ⊂ B åñòü óòâåðæäåíèå (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B). Ìû òàêæå áóäåì çàïèñûâàòü ýòîóòâåðæäåíèå (è ïîäîáíûå åìó) â äðóãîé ôîðìå: (∀x ∈ A)(x ∈ B).â) A b B( åñòü óòâåðæäåíèå) (A( ⊂ B) ∧ (A ̸= B)) , êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü è ñëåäóþùèìîáðàçîì: (∀x ∈ A)(x ∈ B) ∧ (∃x ∈ B)(x ̸∈ A) .ã)(A ⊂ B) ∧)(B ⊂ A), êîòîðîå â ðàçâ¼ðíóòîì âèäå âûãëÿäèò òàê:( A = B åñòü óòâåðæäåíèå) ((∀x ∈ A)(x ∈ B) ∧ (∀x ∈ B)(x ∈ A) .ä) Åñëè P(x) êàêîå-ëèáîóòâåðæäåíèå îòíîñèòåëüíîx, òî óòâåðæäåíèå (∃!x ∈ A)P(x)()îçíà÷àåò (∃ x ∈ A) P(x) ∧ (∀y ∈ A)(P(y) ⇒ y = x) .•Îòðèöàíèå óòâåðæäåíèé, â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóþò êâàíòîðû, ñòðîèòñÿ ïî ñëåäóþùåìóïðèíöèïó:Ïðèìåð 1.4.q((∀x)A(x)) ⇔ (∃x)(qA(x)),q((∃x)A(x)) ⇔ (∀x)(qA(x)).Çäåñü A(x) êàêîå-ëèáî óòâåðæäåíèå, êàñàþùååñÿ îáúåêòà x.Âûïèøåì îòðèöàíèÿ óòâåðæäåíèé èç ïðèìåðà 1.4.à) q(A ̸= ∅) åñòü óòâåðæäåíèå (∀x)(x(̸∈ A), êîòîðîå îçíà÷àåò,÷òî A = ∅.)á) q(A ⊂ B) åñòü óòâåðæäåíèå (∃x) (x ∈ A) ∧ (x ̸∈ B) èëè, â áîëåå êîðîòêîé ôîðìå,(∃x ∈ A)(x ̸∈ B).() ()â) q(A b B) åñòü óòâåðæäåíèå ((∃x ∈ A)(x ̸∈ B) )∨ ((∀x ∈ B)(x ∈ A) .)ã) q(A = B) åñòü óòâåðæäåíèå (∃x ∈ A)(x ̸∈ B) ∨ (∃x ∈ B)(x ̸∈ A) , êîòîðîå îçíà÷àåò,÷òî (A ̸= B).
()ä) Óòâåðæäåíèå q (∃!x ∈ A)P(x) îçíà÷àåòÏðèìåð 1.5.()(∀ x ∈ A) qP(x) ∨ (∃y ∈ A)(P(y) ∧ y ̸= x) .(∗)Ó êîãî-òî ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ñîìíåíèÿ â òîì, ÷òî ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå åñòü îòðèöàíèåóòâåðæäåíèÿ èç ïðèìåðà 1.4(ä). Ðàçáåðåìñÿ ñ ýòèì âîïðîñîì. Óòâåðæäåíèå (∃!x ∈ A)P(x)îçíà÷àåò, ÷òî â ìíîæåñòâå A åñòü ðîâíî îäèí ýëåìåíò, äëÿ êîòîðîãî P èñòèííî. Åãî îòðèöàíèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òàêèõ ýëåìåíòîâ ëèáî íåò âîîáùå, ëèáî èõ áîëüøå îäíîãî.Èìåííî ýòî óòâåðæäåíèå è çàïèñàíî â (∗).  ñàìîì äåëå, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò6x ∈ A. Åñëè P(x) èñòèííî, òî, êàê ñëåäóåò èç (∗), íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò y∗ ∈ A, ÷òîy∗ ̸= x è P(y∗ ) èñòèííî.
Ïðèìåíèâ åù¼ ðàç óòâåðæäåíèå (∗), ìû ïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåòòàêîé ýëåìåíò y∗∗ ∈ A, ÷òî y∗∗ ̸= y∗ è P(y∗∗) èñòèííî. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäïîëîæèâ, ÷òîýëåìåíòû, äëÿ êîòîðûõ P èñòèííî, â ìíîæåñòâå A ñóùåñòâóþò, ìû íåìåäëåííî ïðèøëè êâûâîäó, ÷òî òàêèõ ýëåìåíòîâ äîëæíî áûòü áîëüøå îäíîãî (y∗ ̸= y∗∗).•Ïóñòü A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Äîêàæåì, ÷òî ∅ ⊂ A.
Çàïèøåì ýòîóòâåðæäåíèå ôîðìàëüíûì ÿçûêîì: (∀x)((x ∈ ∅) ⇒ (x ∈ A)). Äîêàçàòåëüñòâî áóäåì ïðîâîäèòü îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èñòèííûì ÿâëÿåòñÿ îòðèöàíèå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ:(∃x)((x ∈ ∅) ∧ (x ̸∈ A)). Íî ýòî óòâåðæäåíèå íå ìîæåò áûòü èñòèííûì, òàê êàê èç íåãîñëåäóåò (∃x)(x ∈ ∅), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ïóñòîãî ìíîæåñòâà.•Ïðèìåð 1.6.1.4Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè ýòîì ïóíêòå ìû èçó÷èì ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ íîâûõ ìíîæåñòâ.
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ A è B îïðåäåëèì ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà:1◦. ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ A è B åñòü ìíîæåñòâî A∩B òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, êîòîðûåïðèíàäëåæàò B ;2◦. îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ A è B åñòü ìíîæåñòâî A∪B îáúåêòîâ, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿáû â îäíîì èç ìíîæåñòâ A è B ;3◦. ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B åñòü ìíîæåñòâî A \ B ýëåìåíòîâ A, íå âõîäÿùèõ â B ;4◦. ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B åñòü ìíîæåñòâî A△B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).Ïðèâåä¼ì ôîðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ìíîæåñòâ:A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} = {x ∈ A | x ∈ B} = {x ∈ B | x ∈ A},A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)},A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ̸∈ B)} = {x ∈ A | x ̸∈ B}.Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ââåä¼ííûõ îïåðàöèé.1◦. Ñèììåòðè÷íîñòü ïåðåñå÷åíèÿ è îáúåäèíåíèÿ:A ∩ B = B ∩ A,A ∪ B = B ∪ A.2◦.
Àññîöèàòèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ è îáúåäèíåíèÿ:A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.Ýòè äâà ñâîéñòâà î÷åâèäíû.  ñèëó àññîöèàòèâíîñòè ìû ìîæåì íå áåñïîêîèòüñÿ î ïîðÿäêåâûïîëíåíèÿ îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ (òàê æå, êàê è îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ) ìíîæåñòâ. Åñëè{A, B, C, . . . , Z} êàêîé-ëèáî íàáîð ìíîæåñòâ, òî ìû èìååì ïðàâî íàïèñàòü A ∩ B ∩ C ∩. . . ∩ Z è A ∪ B ∪ C ∪ . . . ∪ Z .
Ïðîèçâîëüíàÿ ðàññòàíîâêà ñêîáîê â ýòèõ îïåðàöèÿõ íèêàêíå ïîâëèÿåò íà ðåçóëüòàò.3◦. Äèñòðèáóòèâíîñòü :(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).7Äîêàæåì ëèøü ïåðâîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé. Âòîðîå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ñíà÷àëàóñòàíîâèì, ÷òî (A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Ïóñòü x ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç(A ∪ B) ∩ C . Òîãäà x ∈ C è x ∈ A ∪ B .
Åñëè x ∈ A, òî x ∈ A ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Åñëèx ∈ B , òî x ∈ B ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Òàêèì îáðàçîì, èç òîãî, ÷òî x ∈ (A ∪ B) ∩ Cñëåäóåò, ÷òî x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).Íàì îñòàëîñü äîêàçàòü îáðàòíîå âêëþ÷åíèå (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ C . Ïóñòü x ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç (A∩C)∪(B ∩C). Òîãäà x ∈ A∩C èëè x ∈ B ∩C .  ëþáîì ñëó÷àåx ∈ C .
Êðîìå òîãî, x ∈ A èëè x ∈ B , òî åñòü, x ∈ A ∪ B . Òàêèì îáðàçîì, x ∈ (A ∪ B) ∩ Cè äîêàçûâàåìîå ðàâåíñòâî óñòàíîâëåíî.JIÓïðàæíåíèå 1.7.Äîêàçàòü, ÷òî A△B = (A \ B) ∪ (B \ A).•Ïóñòü M íåêîòîðîå ìíîæåñòâî è A ⊂ M . Ìíîæåñòâî CM A = M \ A íàçûâàåòñÿäîïîëíåíèåì A â M . Íåñëîæíî âèäåòü, ÷òî CM ∅ = M è CM M = ∅. Äëÿ ëþáûõ ïîäìíîæåñòâ A è B ìíîæåñòâà M ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ, íàçûâàåìûå çàêîíàìèäå Ìîðãàíà :CM (A ∩ B) = CM A ∪ CM B,CM (A ∪ B) = CM A ∩ CM B.Äîêàæåì ïåðâîå èç ýòèõ ðàâåíñòâ, à âòîðîå îñòàâèì â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
Åñëè x êàêîé-ëèáî ýëåìåíò ìíîæåñòâà M , òîIx ∈ CM (A ∩ B) ⇔ x ̸∈ A ∩ B ⇔ (x ̸∈ A) ∨ (x ̸∈ B) ⇔⇔ (x ∈ CM A) ∨ (x ∈ CM B) ⇔ x ∈ CM A ∪ CM B.Äîêàçûâàåìîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç ýòîé öåïî÷êè ðàâíîñèëüíûõ óòâåðæäåíèé.JÂâåä¼ì åù¼ îäíó îïåðàöèþ íàä ìíîæåñòâàìè. Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì A × B ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (a, b), ãäå a ∈ A è b ∈ B . Óïîðÿäî÷åííîñòü ïàðû (a, b) îçíà÷àåò, ÷òî â íåé íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ýëåìåíò èç A, à íà âòîðîì ýëåìåíò èç B . Ïðè ýòîì (a, b) ̸= (b, a). Ýëåìåíòû a ∈ A è b ∈ B íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìèýëåìåíòà (a, b) ∈ A × B . Åñëè äàíî n ìíîæåñòâ X1, . . . , Xn, òî îïðåäåëèì X1 × X2 × · · · × Xnêàê ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ (x1, x2, .
. . , xn), ãäå x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn.2 Îòîáðàæåíèÿ×òîáû ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå î òîì, ÷òî òàêîå îòîáðàæåíèå, ìû ñíà÷àëà äàäèì íåñòðîãîå îïðåäåëåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ è ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ìûäàäèì â êîíöå ïàðàãðàôà. Ïóñòü X è Y ìíîæåñòâà. Îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà X â ìíîæåñòâî Y åñòü ïðàâèëî (èëè çàêîí), ñîãëàñíî êîòîðîìó êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà Xñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îäèí ýëåìåíò ìíîæåñòâà Y . Ïðè ýòîì X íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþîïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ.  êà÷åñòâå ñèíîíèìîâ òåðìèíà ¾îòîáðàæåíèå¿ ìû â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû ¾ôóíêöèÿ¿, ¾ïðåîáðàçîâàíèå¿, ¾îïåðàòîð¿ èäðóãèå.
Íåñòðîãîñòü äàííîãî îïðåäåëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìû èñïîëüçîâàëè â í¼ìíåîïðåäåë¼ííîå ïîíÿòèå ¾ïðàâèëî¿ è, ôàêòè÷åñêè, ñèíîíèì ¾ñîîòâåòñòâèå¿ ñëîâà ¾îòîáðàæåíèå¿.Âûðàæåíèå F : X → Y îçíà÷àåò, ÷òî íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå F äåéñòâóåò èç X â Y .Ïðè ýòîì äëÿ åãî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ X ìû ÷àñòî áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå dom F .8Åñëè x ∈ dom F , òî F (x) åñòü îáðàç ýëåìåíòà x ïðè îòîáðàæåíèè F . Åñëè A ⊂ dom F ,òî F (A) = {y ∈ Y | (∃ x ∈ A)(y = F (x))} åñòü îáðàç ìíîæåñòâà A ïðè îòîáðàæåíèè F .Ìíîæåñòâî im F = F (dom F ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ F . ÅñëèB ⊂ Y , òî ìíîæåñòâî F −1 (B) = {x ∈ dom F | F (x) ∈ B} íàçûâàåòñÿ ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà B ïðè îòîáðàæåíèè F . Î÷åâèäíî, ÷òî F −1(im F ) = dom F . Çàìåòèì, ÷òî ïðîîáðàçF −1 (B) îïðåäåë¼í äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà B ⊂ Y .
Ìîæíî, íàïðèìåð, âçÿòü ìíîæåñòâîB , ñîñòîÿùèì èç îäíîãî ýëåìåíòà èëè íå èìåþùèì îáùèõ ýëåìåíòîâ ñ ìíîæåñòâîì im F . ïîñëåäíåì ñëó÷àå F −1(B) = ∅. Äàæå åñëè B = ∅, òî åãî ïðîîáðàç îïðåäåëåí è, êàêñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, F −1(∅) = ∅.Ïóñòü M íåêîòîðîå ìíîæåñòâî è P(M ) ìíîæåñòâî âñåõ åãî ïîäìíîæåñòâ. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå F : P(M ) → P(M ) ñëåäóþùèì îáðàçîì: F (A) = CM Aäëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ⊂ M . Î÷åâèäíî, ÷òî dom F = im F = P(M ).•(Îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ) Ïóñòü A è B êàêèå-ëèáî ìíîæåñòâà.
Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå P : A × B → A ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè x = (a, b) ∈ A × B , òî P (x) = a.Î÷åâèäíî, ÷òî dom P = A × B è im P = A. Îòîáðàæåíèå P íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ïðîåêòèðîâàíèÿ.•Îòîáðàæåíèå IX : X → X , òàêîå, ÷òî IX (x) = x äëÿ âñåõ x ∈ X , íàçûâàåòñÿòîæäåñòâåííûì. Îòîáðàæåíèå F : X → Y íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì, åñëè ñóùåñòâóåòy ∈ Y , òàêîå, ÷òî F (x) = y äëÿ âñåõ x ∈ X .•Îòîáðàæåíèå F : X → Y íàçûâàåòñÿ íàêðûâàþùèì (èëè ñþðúåêòèâíûì ), åñëè im F = Y , òî åñòü, (∀y ∈ Y ) (∃x ∈ X) (F (x) = y).Îòîáðàæåíèå F : X → Y íàçûâàåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì (èëè èíúåêòèâíûì ), åñëè((∀x1 ∈ X) ∧ (∀x2 ∈ X))(x1 ̸= x2 ⇒ F (x1 ) ̸= F (x2 )).Îòîáðàæåíèå F íàçûâàåòñÿ áèåêòèâíûì, åñëè îíî ñþðúåêòèâíî è èíúåêòèâíî.•Îòìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå F : X → Y âçàèìíî-îäíîçíà÷íî òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ìíîæåñòâî F −1(y) (ò.å., ïðîîáðàç ýëåìåíòà y) ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà äëÿ ëþáîãîy ∈ im F .Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñþðúåêòèâíûìè ÿâëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿ èç ïðèìåðîâ 2.1 è2.2, à òàêæå òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå.
Èíúåêòèâíûìè îòîáðàæåíèå èç ïðèìåðà 2.1è òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, êîòîðûå, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿþòñÿ åù¼ è áèåêòèâíûìè.Äâà îòîáðàæåíèÿ F1 è F2 íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè (ïèøåòñÿ F1 = F2), åñëè dom F1 =dom F2 è F1 (x) = F2 (x) äëÿ âñåõ x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòèõ îòîáðàæåíèé.Ïóñòü äàíû äâà îòîáðàæåíèÿ F : X → Y è G : Y → Z . Ñóïåðïîçèöèåé (èëè êîìïîçèöèåé ) îòîáðàæåíèé F è G íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå G ◦ F : X → Z , òàêîå, ÷òî(∀x ∈ X)(G ◦ F )(x) = G(F (x)).Ïóñòü äàíû îòîáðàæåíèÿ F : X → Y è G : Y → X .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
