1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ðàññìîòðèìñëó÷àé x ̸= 0 è y ̸= 0. Íåðàâåíñòâî áóäåò äîêàçàíî, åñëè ìû óñòàíîâèì, ÷òî|x + y| 6 |x| + |y|2∑xi yi 6 1.|x| |y|i=1Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì èç óòâåðæäåíèÿ 1◦.22∑xi yi 1 ∑ ( x2iyi2 ) 1 ( |x|2 |y|2 )+=+= 1.62222|x||y|2|x||y|2|x||y|i=1i=13◦. Åñëè |x+y| = 0, òî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |x+y| ̸= 0. Èñïîëüçóÿíåðàâåíñòâî èç óòâåðæäåíèÿ 2◦, ìû ïîëó÷èì:|x + y| =22∑(xi + yi )(xi + yi ) =2∑i=1i=1(xi + yi )xi + (xi + yi )yi 6()6 |x + y| |x| + |x + y| |y| = |x + y| |x| + |y| ,îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî.⌢Îòìåòèì íà äóãå ab ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó c è äîêàæåì àääèòèâíîñòü äëèíû äóãè:Js(a, b) = s(a, c) + s(c, b).Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî s(a, b) > s(a, c) + s(c, b). Îáîçíà÷èì ÷åðåç Lc(a, b) ìíîæåñòâî òåõëîìàíûõ èç L(a, b), êîòîðûå ñîäåðæàò òî÷êó c â êà÷åñòâå îäíîé èç ñâîèõ âåðøèí. Òîãäàsupℓ(ξ̄) = s(a, c) + s(c, b).ξ̄∈Lc (a,b)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê Lc(a, b) ⊂ L(a, b),supξ̄∈Lc (a,b)ℓ(ξ̄) 6 sup ℓ(ξ̄) = s(a, b).ξ̄∈L(a,b)Äàëåå, ïî îïðåäåëåíèþ ñóïðåìóìà äëÿ ëþáîãî m ∈ N ñóùåñòâóåò ëîìàíàÿ ξ̄ ∈ L(a, b),òàêàÿ, ÷òî s(a, b) 6 ℓ(ξ̄)+1/m.
Äîáàâèì ê ξ̄ îäíó âåðøèíó, ñîâïàäàþùóþ ñ òî÷êîé c. Íîâóþëîìàíóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç ξ̄c. Êàê ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ 3◦ ëåììû 4.10, ℓ(ξ̄) 6 ℓ(ξ̄c). Ñäðóãîé ñòîðîíû, ℓ(ξ̄c) 6 s(a, c) + s(c, b). Ïîýòîìós(a, b) − 1/m 6 s(a, c) + s(c, b) 6 s(a, b).33Îòñþäà, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè m è ïðèíöèïà Àðõèìåäà, ñëåäóåò àääèòèâíîñòü äëèíûäóãè.d := s(a, b). Îáîçíà÷èì ÷åðåç e òî÷êóÒåïåðü ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ïîíÿòèå óãëà : a0b(1, 0) ∈ S è îïðåäåëèì ôóíêöèþ φ : S → R ñëåäóþùèì îáðàçîì: φ(a) = s(e, a) (îò e êa äâèæåìñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè). Äëÿ âåëè÷èíû φ(−e), ãäå −e = (−1, 0), ñî âðåì¼íÀðõèìåäà ïðèíÿòî ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå: π.
×èñëî π ÿâëÿåòñÿ äëèíîé ïîëîâèíû åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè S . Ñîîòâåòñòâåííî, äëèíà âñåé îêðóæíîñòè ðàâíà 2π. Èòàê, êàæäîéòî÷êå îêðóæíîñòè S ìû ïîñòàâèëè â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî èç ïðîìåæóòêà [0, 2π) ÷èñëîâîéïðÿìîé. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî äëÿ êàæäîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà φ ∈ [0, 2π) ñóùåñòâóåò òî÷êà a ∈ S , òàêàÿ, ÷òî φ = s(e, a), ìû äîêàçûâàòü íå áóäåì è ïðèìåì åãî â êà÷åñòâåàêñèîìû. Ôàêòè÷åñêè, òàê æå êàê è â ñëó÷àå ÷èñëîâîé ïðÿìîé, ýòî ïðåäïîëîæåíèå îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ðàçðûâîâ íà îêðóæíîñòè, ÷òî âïîëíå ñîîòâåòñòâóåò íàøèì ãåîìåòðè÷åñêèìïðåäñòàâëåíèÿì.×òîáû îïðåäåëèòü òî÷êó a(φ) ∈ S ïðè φ ̸∈ [0, 2π), ìû ïîëîæèì a(φ + 2πk) = a(φ) äëÿâñåõ k ∈ Z. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî ψ ∈ R ìû îäíîçíà÷íî îïðåäåëèì φ ∈ [0, 2π) èk ∈ Z, òàêèå, ÷òî ψ = φ + 2πk , è ïîëîæèì a(ψ) = a(φ). çàêëþ÷åíèå ïóíêòà îïðåäåëèì òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè.
Äëÿ êàæäîãî ψ ∈ Rcos ψ = a1 (ψ),sin ψ = a2 (ψ),ãäå (a1(ψ), a2(ψ)) = a(ψ). Ýòè âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ êîñèíóñîì è ñèíóñîì óãëà ψ ñîsin ψîòâåòñòâåííî. Åñëè cos ψ ̸= 0, òî âåëè÷èíó tg ψ = cosíàçûâàþò òàíãåíñîì óãëà ψ.ψψíàçûâàþò êîòàíãåíñîì óãëà ψ. Òàê êàêÅñëè sin ψ ̸= 0, òî âåëè÷èíó ctg ψ = cossin ψa(ψ) = a(ψ + 2πk), äëÿ âñåõ k ∈ Z ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:sin ψ = sin(ψ + 2πk),cos ψ = cos(ψ + 2πk),tg ψ = tg(ψ + 2πk),ctg ψ = ctg(ψ + 2πk).Ïóñòü T ∈ R+. Ôóíêöèÿ f : R → R íàçûâàåòñÿ T -ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè f (x + T ) = f (x)äëÿ âñåõ x ∈ R.
Ïðè ýòîì ÷èñëî T íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè f . Òàêèì îáðàçîì,òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè cos, sin, tg è ctg ÿâëÿþòñÿ 2π-ïåðèîäè÷åñêèìè.Íåñëîæíî âûâåñòè è ìíîãèå äðóãèå ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ìû îòìåòèì ëèøü íåêîòîðûå èç íèõ:cos2 ψ + sin2 ψ = 1,cos(φ + ψ) = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ,sin(φ + ψ) = sin φ cos ψ + cos φ sin ψ.Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ.5 Êîìïëåêñíûå ÷èñëà ïóíêòå 3.3 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå x2 = a íå äëÿ âñåõ a ∈ R+ èìååòðåøåíèå ñðåäè ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
Ýòî ïðèâåëî íàñ ê ïîíÿòèþ èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà.Òåïåðü ðàññìîòðèì óðàâíåíèå x2 = −1. ßñíî, ÷òî íèêàêîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî íå ìîæåòáûòü åãî ðåøåíèåì, òàê êàê êâàäðàò âåùåñòâåííîãî ÷èñëà âñåãäà íåîòðèöàòåëåí. Òåì íåìåíåå, ìû ïîñòðîèì ðàñøèðåíèå ïîëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, â êîòîðîì ýòî óðàâíåíèå áóäåò34èìåòü ðåøåíèå. Äîáàâèì ê ìíîæåñòâó R îäèí äîïîëíèòåëüíûé ñèìâîë i è áóäåì âûïîëíÿòü ñ íèì àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè êàê ñ îáû÷íûìè âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè. Ñèìâîë iíàçûâàåòñÿ ìíèìîé åäèíèöåé è õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: i2 = −1.
 íîâîì÷èñëîâîì ìíîæåñòâå äîëæíû èìåòü ñìûñë âûðàæåíèÿ âèäà x+i è xi, ãäå x ïðîèçâîëüíîåâåùåñòâåííîå ÷èñëî.Îáúåêòû âèäà x + iy, ãäå x è y âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íàçûâàþòñÿ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç C. ×àùå âñåãî êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìû áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâîé z. Òàêèì îáðàçîì, åñëè z ∈ C, òî ñóùåñòâóþòâåùåñòâåííûå ÷èñëà x è y, òàêèå, ÷òî z = x + iy. ×èñëî x íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z (îáîçíà÷àåòñÿ x = Re z), à y ìíèìîé ÷àñòüþ (îáîçíà÷àåòñÿy = Im z ). Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà ñîâïàäàþò, åñëè ñîâïàäàþò èõ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå÷àñòè.Îïðåäåëèì ñëîæåíèå è óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2ñëåäóþùèì îáðàçîì:z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),z1 z2 = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).Òî åñòü, àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè âûïîëíÿþòñÿ òî÷íî òàê æå,êàê ñ âåùåñòâåííûìè, íî ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî i2 = −1. Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî Cÿâëÿåòñÿ ïîëåì.
Íóë¼ì ýòîãî ïîëÿ ñëóæèò ÷èñëî 0 = 0+i·0, à åäèíèöåé ÷èñëî 1 = 1+i·0.Ïîÿñíèì, êàê íàõîäèòñÿ îáðàòíûé ýëåìåíò. Ïóñòü z = x + iy íåíóëåâîå êîìïëåêñíîå÷èñëî. Ñîïðÿæ¼ííûì ê z íàçûâàåòñÿ ÷èñëî z = x − iy. Òàê êàê zz = x2 + y2 ̸= 0, îáðàòíûìýëåìåíòîì äëÿ z áóäåò ÷èñëî z/(x2 + y2).Åñëè ìû îòîæäåñòâèì âåùåñòâåííîå ÷èñëî x ñ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì x+i·0, òî ïîëó÷èì,÷òî R ÿâëÿåòñÿ ïîäïîëåì ïîëÿ C (ò.å., ïîëå C ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì ïîëÿ R). Îäíàêî, âîòëè÷èå îò R ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ óïîðÿäî÷åííûì.Êîìïëåêñíûå ÷èñëà äîïóñêàþò åñòåñòâåííóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Êàæäîìó êîìïëåêñíîìó ÷èñëó z = x + iy ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (x, y), êîòîðàÿ çàäà¼ò íåêîòîðóþ òî÷êó íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè R2.Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ýòîé òî÷êå îòâå÷àåò âåêòîð ñ êîîðäèíàòàìè (x, y).
Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìîãóò áûòü èçîáðàæåíû òî÷êàìè (èëè âåêòîðàìè) íà ïëîñêîñòè,êîòîðàÿ ïî ýòîé ïðè÷èíå íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïðîèçâîäèòñÿ êàê ñëîæåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ èì âåêòîðîâ. Ñ óìíîæåíèåì äåëî îáñòîèò íåìíîãî ñëîæíåå. Ìîäóëåì êîìïëåêñ√íîãî ÷èñëà z = x + iy íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî |z| = x2 + y2.Àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = x + iy ̸= 0 íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ñ êîîðäèíàòàìè (1, 0) è (x, y).
Åñëè ìû îáîçíà÷èì ìîäóëü ÷èñëà z ÷åðåç ρ, à àðãóìåíò ÷åðåçφ, òî ïîëó÷èì äëÿ ÷èñëà z ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:z = ρ (cos φ + i sin φ).Ïîñêîëüêó ôóíêöèè cos è sin ÿâëÿþòñÿ 2π-ïåðèîäè÷åñêèìè, ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâàíå èçìåíèòñÿ, åñëè ìû âìåñòî φ íàïèøåì φ + 2πk, ãäå k ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî.Òî åñòü, êàæäîìó êîìïëåêñíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò ìíîãî çíà÷åíèé óãëà φ. Ìíîæåñòâîâñåõ ýòèõ çíà÷åíèé îáîçíà÷àþò ÷åðåç Arg z. ×òîáû îïðåäåëèòü àðãóìåíò ÷èñëà îäíîçíà÷íî,ñïåöèàëüíî îãîâàðèâàþò, â êàêîì ïðîìåæóòêå åãî ñëåäóåò âûáèðàòü. Îáû÷íî ýòî áûâàåò35îäèí èç ïîëóèíòåðâàëîâ [0, 2π) è (−π, π].
Çíà÷åíèå àðãóìåíòà â ïðåäåëàõ âûáðàííîãî ïðîìåæóòêà îáîçíà÷àþò ÷åðåç arg z è íàçûâàþò ãëàâíûì çíà÷åíèåì àðãóìåíòà.Ñ ïîìîùüþ îïèñàííîãî âûøå ïðåäñòàâëåíèÿ íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéïðîèçâåäåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Âîçüì¼ì äâà ïðîèçâîëüíûõ íåíóëåâûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñëà:z1 = ρ1 (cos φ1 + i sin φ1 ) è z2 = ρ2 (cos φ2 + i sin φ2 ).Èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôîðìóëû èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, ìû ïîëó÷èì:z1 z2 = ρ1 ρ2 (cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )).Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé êîìïëåêñíîìó ÷èñëó z1z2, ìû äîëæíû óäëèíèòü âåêòîð (x1, y1) â ρ2 ðàç è ïîâåðíóòü íà óãîë φ2(íàïîìíèì, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïîâîðîòà ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè). Ìîæíî,êîíå÷íî, óäëèíèòü âåêòîð (x2, y2) â ρ1 ðàç è ïîâåðíóòü íà óãîë φ1.
Ðåçóëüòàò îò ýòîãî íåèçìåíèòñÿ.Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ êîìïëåêñíûõ÷èñåë è ïðèíöèï ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, äîêàçàòü ôîðìóëó Ìóàâðà :Óïðàæíåíèå 5.1.z k = ρk (cos kφ + i sin kφ),ãäå ρ = |z|, φ = arg z, k ∈ N.•Ïðèâåä¼ì ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ôîðìóëû Ìóàâðà äëÿ íàõîæäåíèÿ êîìïëåêñíûõ ðåøåíèé àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.Íàéä¼ì âñå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ z4 = 1. Ñðåäèâåùåñòâåííûõ ÷èñåë åñòü äâà ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ: +1 è −1. Êîìïëåêñíûõ ðåøåíèéáîëüøå. Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå z = ρ (cos φ + i sin φ). Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ìóàâðà,òðåáóåòñÿ íàéòè âåùåñòâåííûå ÷èñëà ρ ∈ R+ è φ ∈ R, òàêèå, ÷òî ρ4(cos 4φ + i sin 4φ) = 1.Òàê êàê ñïðàâà â ýòîì ðàâåíñòâå ñòîèò êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí åäèíèöå,ρ4 = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî ρ = 1. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèøëè ê óðàâíåíèþ cos 4φ + i sin 4φ = 1,êîòîðîå (ò.ê. 1 = 1+i·0) ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåé ñèñòåìå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé:Ïðèìåð 5.2.cos 4φ = 1,sin 4φ = 0.Ðåøåíèÿìè ýòîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ÷èñëàφ1 = 0 + 2πk1 ,φ2 =π+ 2πk2 ,2φ3 = π + 2πk3 ,φ4 =3π+ 2πk4 ,2ãäå k1, k2, k3, k4 ïðîèçâîëüíûå öåëûå ÷èñëà. Òàê êàê êîìïëåêñíîå ÷èñëî íå ìåíÿåòñÿïðè èçìåíåíèè åãî àðãóìåíòà íà 2πk, ìû ïîëó÷àåì â èòîãå ñëåäóþùèé íàáîð ðåøåíèéóðàâíåíèÿ z4 = 1: z1 = 1, z2 = i, z3 = −1, z4 = −i.Âîîáùå, äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n > 3 ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ zn = 1 ÿâëÿþòñÿâåðøèíû âïèñàííîãî â åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, îäíà âåðøèíàêîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé z = 1.
Ïðè n = 1 ðåøåíèå, î÷åâèäíî, òîëüêî îäíî: z = 1, àïðè n = 2 ðåøåíèé äâà: z = 1 è z = −1.•36 êà÷åñòâå åù¼ îäíîãî ïðèìåðà íàéä¼ì âûðàæåíèå äëÿ cos 3φ è sin 3φ ÷åðåçsin φ è cos φ. Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû Ìóàâðà,Ïðèìåð 5.3.cos 3φ + i sin 3φ = (cos φ + i sin φ)3 = cos3 φ + 3i cos2 φ sin φ − 3 cos φ sin2 φ − i sin3 φ.Ïðèðàâíÿâ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè âûðàæåíèé ñëåâà è ñïðàâà, ìû ïîëó÷èì:cos 3φ = cos3 φ − 3 cos φ sin2 φ,sin 3φ = 3 cos2 φ sin φ − sin3 φ.Àíàëîãè÷íî ìîæíî íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ cos nφ è sin nφ ïðè ëþáîì n ∈ N.•6 Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì äîâîëüíî íåîáû÷íóþ ñèñòåìó ÷èñåë, íàçûâàåìûõ êàðäèíàëüíûìè.
Ìû íå áóäåì îïðåäåëÿòü àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè äëÿ ýòèõ ÷èñåë, à óñòàíîâèì òîëüêî èõ ïîðÿäêîâûå ñâîéñòâà. Áîëåå òîãî, ìû èçó÷èì òîëüêî äâà êàðäèíàëüíûõ÷èñëà, êîòîðûå íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â àíàëèçå.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü, â êàêîì èç äâóõ ìíîæåñòâ áîëüøå ýëåìåíòîâ. Åñëè ýòè ìíîæåñòâà êîíå÷íû, òî ìû ìîæåì ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ âêàæäîì èç íèõ è ñðàâíèòü ïîëó÷èâøèåñÿ íàòóðàëüíûå ÷èñëà. À ÷òî äåëàòü, åñëè ìíîæåñòâà áåñêîíå÷íû?  ýòîì ñëó÷àå ñàìî ïîíÿòèå ¾êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ¿ òåðÿåò ñìûñë.
Âîòçäåñü íàì è ïðèõîäèò íà ïîìîùü ïîíÿòèå êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà èëè ìîùíîñòè ìíîæåñòâà.×òîáû ïîÿñíèòü îñíîâíóþ èäåþ ñðàâíåíèÿ ¾êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ¿ â áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ, ïðåäñòàâèì ñåáå ìàëåíüêîãî ìàëü÷èêà, êîòîðûé íå óìååò ñ÷èòàòü. Ïåðåä íèì ãîðêà ÿáëîê è êàêîå-òî êîëè÷åñòâî êîðçèíîê. Êàê îí ìîæåò îòâåòèòü íà âîïðîñ î òîì, ÷åãî áîëüøå: ÿáëîê èëè êîðçèíîê? Ìàëü÷èê îêàçàëñÿ ñîîáðàçèòåëüíûì è ðåøèë ïîëîæèòü âêàæäóþ êîðçèíêó ïî îäíîìó ÿáëîêó. Åñëè ïîñëå ýòîãî îñòàíóòñÿ ñâîáîäíûå êîðçèíêè, òîêîðçèíîê áîëüøå, ÷åì ÿáëîê. Íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå èäåÿ ìàëü÷èêà ñîñòîèò â ïîïûòêåóñòàíîâèòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè êîðçèíîê è ÿáëîê.
Ýòàèäåÿ è ëåæèò â îñíîâå ïîíÿòèÿ êàðäèíàëüíîãî ÷èñëà.6.1Ìîùíîñòü ìíîæåñòâàÑêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî A ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó B , åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F : A → B , òàêîå, ÷òî F (A) = B . Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå Fäîëæíî áûòü áèåêòèâíûì. Îòíîøåíèå ðàâíîìîùíîñòè ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåìýêâèâàëåíòíîñòè, òàê êàê îíî îáëàäàåò ñëåäóþùèìè î÷åâèäíûìè ñâîéñòâàìè:1◦. ëþáîå ìíîæåñòâî ðàâíîìîùíî ñàìîìó ñåáå (ðåôëåêñèâíîñòü), ïðè ýòîì â êà÷åñòâå Fìîæíî âçÿòü òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå;2◦.
åñëè A ðàâíîìîùíî B , òî B ðàâíîìîùíî A (ñèììåòðè÷íîñòü), ïîñêîëüêó èç òîãî,÷òî F : A → B áèåêöèÿ, ñëåäóåò, ÷òî F −1 : B → A òîæå ÿâëÿåòñÿ áèåêòèâíûìîòîáðàæåíèåì;3◦. åñëè A ðàâíîìîùíî B è B ðàâíîìîùíî C , òî A ðàâíîìîùíî C (òðàíçèòèâíîñòü). Âñàìîì äåëå, åñëè F : A → B è G : B → C áèåêòèâíûå îòîáðàæåíèÿ, òî áèåêòèâíûìáóäåò è îòîáðàæåíèå G ◦ F : A → C .37Òîò ôàêò, ÷òî ìíîæåñòâà A è B ðàâíîìîùíû, ìû áóäåì îáîçíà÷àòü A ∼ B .Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìíîæåñòâ ìîæíî ðàçáèòü íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû ðàâíîìîùíûõ ìíîæåñòâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
