1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Íàïðèìåð, äëÿ( êàæäîãî x) ∈ [0, 1) ìîæíîïîëîæèòü G(x) = (x, 0). Òàêèì îáðàçîì, c = card [0, 1) 6 card [0, 1) × [0, 1) .Äîêàçûâàåìûé ðåçóëüòàò ñëåäóåò òåïåðü èç òåîðåìû Øð¼äåðà Áåðíøòåéíà.Åñëè äëÿ êàæäîãî α ∈ [0, 1] ìíîæåñòâî Xα èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà, òî ìíîæåñòâî X = ∪α∈[0,1]Xα òîæå èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.◃ Äëÿ êàæäîãî α ∈ [0, 1] îáîçíà÷èì ÷åðåç Fα áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà Xα íà[0, 1] è, êðîìå òîãî, îïðåäåëèì ìíîæåñòâî Yα = Xα \ ∪σ∈[0,α) Xσ (â êà÷åñòâå Y0 âîçüì¼ìX0 ).

Î÷åâèäíî, ÷òî ∪α∈[0,1] Yα = X è Yα ∩ Yβ = ∅, åñëè α ̸= β . Îáðàç ìíîæåñòâà Yαïðè îòîáðàæåíèè Fα îáîçíà÷èì ÷åðåç Mα. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå F : X → [0, 1] × [0, 1]ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ êàæäîãî x ∈ X ïîëîæèì F (x) = (α, Fα(x)), ãäå α åäèíñòâåííîå÷èñëî èç [0, 1], òàêîå, ÷òî x ∈ Yα. Î÷åâèäíî, ÷òî F áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâàX íà ìíîæåñòâî M = {(α, β) ∈ [0, 1] × [0, 1] | β ∈ Mα }. Òàê êàê M ⊂ [0, 1] × [0, 1], èçäîêàçàííîé âûøå òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî card X 6 c.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, card X0 = c è X0 ⊂ X . Ïîýòîìó c 6 card X .

Èç òåîðåìû Øð¼äåðà Áåðíøòåéíà ñëåäóåò, ÷òî card X = c.▹Óòâåðæäåíèå 6.21.Äîêàçàòåëüñòâî.ABABÒåîðåìà 6.22.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñëåäñòâèå 6.23.44Ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç íóëåé è åäèíèö,èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.Êàæäîìó ÷èñëó èç ïîëóèíòåðâàëà [0, 1) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå åãî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå äâîè÷íîé äðîáè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî ïðåäñòàâëåíèå áûëî âçàèìíîîäíîçíà÷íûì, äîãîâîðèìñÿ íå èñïîëüçîâàòü öèôðó 1 â êà÷åñòâå ïåðèîäà äðîáè.

Î íåîäíîçíà÷íîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ óæå ãîâîðèëîñü â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 6.22 è â êîíöå ïóíêòà 3.4. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç íóëåé è åäèíèö, ó êîòîðûõåäèíèöà íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì, èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà. Äîáàâèâ ê ýòîìó ìíîæåñòâóìíîæåñòâî A âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ó êîòîðûõ, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, ñòîÿòòîëüêî åäèíèöû (ò.å., åäèíèöà ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì), ìû ïîëó÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç íóëåé è åäèíèö.

Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 6.9 òåîðåìà áóäåòäîêàçàíà, åñëè ìû óñòàíîâèì ñ÷¼òíîñòü ìíîæåñòâà A.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ak ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ó êîòîðûõ, íà÷èíàÿ ñ íîìåðà k,ñòîÿò åäèíèöû. Êàæäîå èç ìíîæåñòâ Ak ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì è A = ∪∞k=1Ak . Ïîýòîìó A ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî (ñì. ñëåäñòâèå 6.12).Òåîðåìà 6.24.Äîêàçàòåëüñòâî.Åñëè A ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, òî P(A) èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.◃ Ïîñêîëüêó A ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå F : N →A. Êàæäîìó ìíîæåñòâó B ⊂ A ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {bk }k∈N ïîñëåäóþùåìó ïðàâèëó:{Ñëåäñòâèå 6.25.bk =1, F (k) ∈ B,0, F (k) ∈ A \ B.Ýòî ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ áèåêòèâíûì îòîáðàæåíèåì P(A) íà ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç íóëåé è åäèíèö. Òàêèì îáðàçîì, íàøå óòâåðæäåíèå ñëåäóåòèç äîêàçàííîé âûøå òåîðåìû.▹Çàìåòèì, ÷òî èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ è òåîðåìû 6.5 ñðàçó âûòåêàåò òåîðåìà 6.18 (âòîðàÿòåîðåìà Êàíòîðà).Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç nöèôð äåñÿòè÷íîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ (2 6 n 6 10), èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.•Óïðàæíåíèå 6.26.45.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий