1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676)
Текст из файла
Èçáðàííûå âîïðîñû àíàëèçà×èñëîâûå ñèñòåìûÂ.Í. Ñòàðîâîéòîâc⃝Â.Í.Ñòàðîâîéòîâ, 2015Îãëàâëåíèå123456Ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . .1.2 Îòíîøåíèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìè . . . . . .1.3 Ëîãè÷åñêàÿ ñèìâîëèêà . . . . . . . . . . .1.4 Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè . . . . . . . .Îòîáðàæåíèÿ . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Âåùåñòâåííûå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Ïîëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë . . . . . . . . .3.3 Âàæíåéøèå êëàññû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë .3.4 Ïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ . . . . .×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1 Ïîíÿòèå ÷èñëîâîé ïðÿìîé .
. . . . . . . .4.2 Òîïîëîãè÷åñêèå àñïåêòû ÷èñëîâîé ïðÿìîé4.3 ×èñëîâàÿ îêðóæíîñòü . . . . . . . . . . . .Êîìïëåêñíûå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . .Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . .6.1 Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà . .
. . . . . . . . . .6.2 Ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . .6.3 Ìíîæåñòâà ìîùíîñòè êîíòèíóóìà . . . . .2................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................33457811111318242727283134373740421 Ìíîæåñòâà1.1Ïîíÿòèå ìíîæåñòâàÏîíÿòèå ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïåðâîíà÷àëüíûõ â ìàòåìàòèêå, ïîýòîìó åãî ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ñâÿçàíî ñ íåêîòîðûìè òðóäíîñòÿìè.
Âñåãäà, îïðåäåëÿÿ íîâûé îáúåêò, ìûîïèðàåìñÿ íà óæå èçâåñòíûå, ââåä¼ííûå ðàíåå ïîíÿòèÿ. Íî êàê áûòü ñ îáúåêòàìè, êîòîðûåíàõîäÿòñÿ â ñàìîì íà÷àëå ýòîé öåïî÷êè îïðåäåëåíèé? Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîíÿòèåìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ èíòóèòèâíî ÿñíûì è íå íóæäàåòñÿ â îïðåäåëåíèè, îäíàêî áûë ïîñòðîåí ðÿä ïðèìåðîâ ìíîæåñòâ, ñàìî îïðåäåëåíèå êîòîðûõ ñîäåðæèò â ñåáå ïðîòèâîðå÷èå.(Ïàðàäîêñ áðàäîáðåÿ)  ãîðîäå Í åñòü òîëüêî îäèí áðàäîáðåé è îí áðååòâñåõ òåõ (è òîëüêî òåõ), êòî íå áðååòñÿ ñàì. Íî òîãäà íà âîïðîñ î òîì, êòî æå áðååò ñàìîãîáðàäîáðåÿ, íåâîçìîæíî îòâåòèòü.
È ïðè÷èíà ýòîãî êðîåòñÿ íå â íàøåé íåäîñòàòî÷íîéîñâåäîìëåííîñòè, à â ïðîòèâîðå÷èâîñòè ôîðìóëèðîâêè. Ñîîòâåòñòâåííî, íåêîððåêòíûìáóäåò è îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà âñåõ òåõ ëþäåé èç ãîðîäà Í, êòî íå áðååòñÿ ñàì. Õîòÿ íàÿçûêå ïîâñåäíåâíîãî îáùåíèÿ ýòî îïðåäåëåíèå è âûãëÿäèò âïîëíå ïðèåìëåìûì, åãî íåëüçÿèñïîëüçîâàòü â ñòðîãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ.•Ïðèìåð 1.1.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëíîñòüþ èñêëþ÷èòü ïîäîáíûå ïàðàäîêñû, ìíîæåñòâî îïðåäåëÿåòñÿêàê îáúåêò, óäîâëåòâîðÿþùèé íåêîòîðîìó íàáîðó àêñèîì. Àêñèîìàòè÷åñêèé ïîäõîä âñåãäàïðèìåíÿåòñÿ â ñèòóàöèÿõ, êîãäà íå íà ÷òî îïåðåòüñÿ ïðè ââåäåíèè íîâîãî ïîíÿòèÿ.
Ìûâîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ïîäõîäîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ñëåäóåò ïðèçíàòü,÷òî ïðè ýòîì íàãëÿäíîñòü ïðèíîñèòñÿ â æåðòâó ñòðîãîñòè. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìû íå áóäåìçëîóïîòðåáëÿòü àêñèîìàòè÷åñêèì ïîäõîäîì è äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà îãðàíè÷èìñÿòàê íàçûâàåìîé ¾íàèâíîé òåîðèåé ìíîæåñòâ¿, êîòîðàÿ îïèðàåòñÿ íà íàø ïîâñåäíåâíûéîïûò. Ïðè ýòîì ìû ïîñòàðàåìñÿ áûòü ìàêñèìàëüíî îñòîðîæíûìè â ôîðìóëèðîâêàõ.Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî êàê ñîâîêóïíîñòü ðàçëè÷èìûõ îáúåêòîâ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû, ðàññìàòðèâàåìóþ êàê åäèíîå öåëîå. Ñàìè îáúåêòû íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà.
Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî îïðåäåëåíèå íåïðèåìëåìî, òàê êàê îïèðàåòñÿ íà ïîíÿòèå ¾ñîâîêóïíîñòü¿, êîòîðîå, ôàêòè÷åñêè, ÿâëÿåòñÿ ñèíîíèìîì ïîíÿòèÿ ¾ìíîæåñòâî¿.  îïðàâäàíèåñêàæåì, ÷òî ñëîâî ¾ìíîæåñòâî¿ ìû çäåñü èñïîëüçîâàëè, êàê îïðåäåëÿåìûé ìàòåìàòè÷åñêèé òåðìèí, à ¾ñîâîêóïíîñòü¿ êàê ñëîâî ðóññêîãî ÿçûêà, ïðèçâàííîå îáúÿñíèòü ýòîòòåðìèí. Êàê áû òî íè áûëî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàì èçâåñòíû ïîíÿòèÿ ¾ìíîæåñòâî¿ è¾ýëåìåíò ìíîæåñòâà¿. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ýòîé ãëàâåïðîïèñíûå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (A, B , C , .
. . ), à äëÿ ýëåìåíòîâ ñòðî÷íûå (a, b,c, . . . ). Òîò ôàêò, ÷òî íåêîòîðûé îáúåêò x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A, íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x ∈ A. Åñëè æå x íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîìA, òî ïèøóò x ̸∈ A èëè x∈A. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðâîå èç ýòèõ îáîçíà÷åíèé. êà÷åñòâå ñèíîíèìîâ òåðìèíà ¾ìíîæåñòâî¿ ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû¾êëàññ¿, ¾ñèñòåìà¿, ¾ñåìåéñòâî¿, ¾íàáîð¿ è äðóãèå. Óïîòðåáëåíèå òîãî èëè èíîãî èç ýòèõòåðìèíîâ ñ îäíîé ñòîðîíû ÿâëÿåòñÿ äàíüþ òðàäèöèè, ñ äðóãîé ïðèçâàíî èçáåæàòü ïàðàäîêñîâ íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ.
Ïðèâåä¼ì åù¼ îäèí ïðèìåð.Ïðîòèâîðå÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìíîæåñòâà âñåõ ìíîæåñòâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü A ìíîæåñòâî òåõ ìíîæåñòâ, êîòîðûå íå ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîåãî ýëåìåíòà. Ïîïðîáóåì îòâåòèòü íà âîïðîñ, ÿâëÿåòñÿ ëè A ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A. Ïîëîæèòåëüíûì îòâåò áûòü íå ìîæåò â ñèëó îïðåäåëåíèÿ A.
Çíà÷èò, A íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîìÏðèìåð 1.2.3ìíîæåñòâà A. Íî â ýòîì ñëó÷àå, îïÿòü æå ñëåäóÿ îïðåäåëåíèþ, ìû ïîëó÷èì, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.•×òîáû èçáåæàòü ïîäîáíûõ ïàðàäîêñîâ è íå ïóòàòü ìíîæåñòâà ñ ýëåìåíòàìè, ëó÷øåèñïîëüçîâàòü äëÿ íèõ ðàçëè÷íûå òåðìèíû: ¾êëàññ òàêèõ-òî ìíîæåñòâ¿ èëè ¾ñåìåéñòâîòàêèõ-òî ìíîæåñòâ¿.Ñóùåñòâóåò äâà îñíîâíûõ ñïîñîáà îïèñàíèÿ ìíîæåñòâ:1◦. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, òî ìîæíî ïðîñòî âñå ýòè ýëåìåíòû ïåðå÷èñëèòü, çàïèñàâ èõ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ÷åðåç çàïÿòóþ. Íàïðèìåð, åñëèA åñòü ìíîæåñòâî áóêâ, ñîñòàâëÿþùèõ ñëîâî ¾ìàòåìàòèêà¿, òî A = {ì,à,ò,å,è,ê}. Çàìåòèì, ÷òî êàæäàÿ áóêâà âñòðå÷àåòñÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ òîëüêî îäèí ðàç (ýëåìåíòûìíîæåñòâà äîëæíû áûòü ðàçëè÷èìû).2◦. Ïóñòü P êàêîå-ëèáî ñâîéñòâî è çàïèñü P(x) îçíà÷àåò, ÷òî îáúåêò x îáëàäàåò ñâîéñòâîì P .
Òîò ôàêò, ÷òî A åñòü ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P , çàïèñûâàþò òàê: A = {x | P(x)}. Åñëè ìû äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáóåì, ÷òîáû ýòè îáúåêòûâûáèðàëèñü èç íåêîòîðîãî äðóãîãî ìíîæåñòâà B , òî çàïèøåì A = {x ∈ B | P(x)}. ×èòàåòñÿ ýòà çàïèñü òàê: ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç òåõ (è òîëüêî òåõ) ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâàB , êîòîðûå îáëàäàþò ñâîéñòâîì P . Âåðòèêàëüíàÿ ÷åðòà ÿâëÿåòñÿ îáîçíà÷åíèåì äëÿñëîâ ¾êîòîðûå¿ èëè ¾òàêèå, ÷òî¿.Ïðèìåð 1.3.à) Çàïèøåì íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå ôðàçó ¾Ïåòÿ ëþáèò ìîðêîâêó¿.
Ëþáèòü ìîðêîâêóìîãóò íå òîëüêî ëþäè, íî è æèâîòíûå. Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ïåòÿ ÷åëîâåê. Îáîçíà÷èìÏåòþ ñèìâîëîì p, ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé ñèìâîëîì M , à ñâîéñòâî íåêîòîðîãî èíäèâèäàx (íå îáÿçàòåëüíî ÷åëîâåêà) ëþáèòü ìîðêîâêó ñèìâîëîì P(x). Òîãäà íàøà ôðàçà áóäåòâûãëÿäåòü òàê: p ∈ {x ∈ M | P(x)}.á) Ïóñòü A ìíîæåñòâî áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà. Òîãäà B = {x ∈ A | x ãëàñíàÿ} ìíîæåñòâî ãëàñíûõ áóêâ. Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ è ïåðâûìñïîñîáîì îïèñàíèÿ ìíîæåñòâ: B = {à, å, ¼, è, î, ó, û, ý, þ, ÿ}.•1.2Îòíîøåíèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìèÌíîæåñòâà A è B ðàâíû (îáîçíà÷åíèå: A = B ), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå îáúåêòîâ. Âûðàæåíèå A ̸= B îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâà A è B íå ðàâíû, òî åñòü íå âñå ýëåìåíòûîäíîãî èç íèõ ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè äðóãîãî. Ðàâåíñòâî åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòèìåæäó ìíîæåñòâàìè, òàê êàê îíî îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1◦.
ðåôëåêñèâíîñòü (A = A);2◦. ñèììåòðè÷íîñòü (åñëè A = B , òî B = A);3◦. òðàíçèòèâíîñòü (åñëè A = B è B = C , òî A = C ).Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ òàêæå ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B , òî ãîâîðÿò, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B (èëè A ñîäåðæèòñÿ â B ). Ìû áóäåìîáîçíà÷àòü ýòîò ôàêò òàê: A ⊂ B . Ñêàæåì, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäìíîæåñòâîìB (îáîçíà÷åíèå: A b B ), åñëè A ⊂ B è A ̸= B .Î÷åâèäíî, ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:41◦.
A ⊂ A;2◦. åñëè A ⊂ B è B ⊂ A, òî A = B ;3◦. åñëè A ⊂ B è B ⊂ C , òî A ⊂ C .Óäîáíî ââåñòè ìíîæåñòâî, ñîâñåì íå èìåþùåå ýëåìåíòîâ è íàçûâàåìîå ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Äëÿ åãî îáîçíà÷åíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë ∅. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïóñòîå ìíîæåñòâîÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî ìíîæåñòâà. Âïðî÷åì, ýòîò ôàêò ìîæåò áûòü äîêàçàí. Åãîäîêàçàòåëüñòâî áóäåò ïðèâåäåíî â ïðèìåðå 1.6 â êîíöå ñëåäóþùåãî ïóíêòà.1.3Ëîãè÷åñêàÿ ñèìâîëèêàÌàòåìàòè÷åñêèé òåêñò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óòâåðæäåíèé è èõ äîêàçàòåëüñòâ, äëÿ èçëîæåíèÿ êîòîðûõ ïîìèìî ñïåöèàëüíûõ ñèìâîëîâ ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ îáû÷íûé ÿçûê. Èíîãäà, îäíàêî, áûâàåò ïîëåçíî çàïèñàòü òî èëè èíîå óòâåðæäåíèåôîðìàëüíûì ÿçûêîì.
Òàêàÿ ïîòðåáíîñòü ìîæåò âîçíèêíóòü, íàïðèìåð, åñëè ìû õîòèì ïîñòðîèòü îòðèöàíèå óòâåðæäåíèÿ, èìåþùåãî ñëîæíóþ ñòðóêòóðó. Êðîìå òîãî, â äëèííîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåñëîæíûõ óìîçàêëþ÷åíèé ëåã÷å ðàçîáðàòüñÿ, åñëè îíà íàïèñàíà áîëåå êîìïàêòíî. Ìû ââåä¼ì ñèìâîëû q, ∧, ∨, ⇒, ⇔, ∀, ∃, çàèìñòâîâàííûå èç ìàòåìàòè÷åñêîéëîãèêè, è ïîêàæåì, êàê ìîæíî ñ èõ ïîìîùüþ çàïèñûâàòü óòâåðæäåíèÿ.Óòâåðæäåíèå (âûñêàçûâàíèå ) åñòü ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå ìîæåòáûòü ëèáî èñòèííûì, ëèáî ëîæíûì.
Ïóñòü A è B óòâåðæäåíèÿ, òîãäàóòâåðæäåíèå qA (íå A) èñòèííî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ëîæíî;óòâåðæäåíèå A ∧ B (A è B) èñòèííî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A è B èñòèííû;óòâåðæäåíèå A ∨ B (A èëè B) èñòèííî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíî èçóòâåðæäåíèé A è B èñòèííî;óòâåðæäåíèå A ⇒ B (A âëå÷åò B, èç A ñëåäóåò B) îçíà÷àåò, ÷òî A èñòèííî òîëüêî òîãäà,êîãäà èñòèííî B;óòâåðæäåíèå A ⇔ B (A ðàâíîñèëüíî B) îçíà÷àåò, ÷òî èç èñòèííîñòè A ñëåäóåò èñòèííîñòüB è èç èñòèííîñòè B ñëåäóåò èñòèííîñòü A. ôîðìóëèðîâêàõ òåîðåì ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå êîíñòðóêöèè: ¾åñëè A, òî B¿,¾äëÿ òîãî, ÷òîáû A, íåîáõîäèìî, ÷òîáû B¿, ¾äëÿ òîãî, ÷òîáû B, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû A¿,êîòîðûå îçíà÷àþò A ⇒ B, à òàêæå ¾A ñïðàâåäëèâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà B¿, ¾äëÿòîãî, ÷òîáû A, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû B¿, îçíà÷àþùèå A ⇔ B.×òîáû èçáåæàòü ïóòàíèöû, èíîãäà ìû áóäåì çàêëþ÷àòü óòâåðæäåíèÿ â êðóãëûå ñêîáêè.
Íåñëîæíî âûâåñòè ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1◦. q(qA) ⇔ A,2◦. q(A ∧ B) ⇔ (qA) ∨ (qB),3◦. q(A ∨ B) ⇔ (qA) ∧ (qB),4◦. (A ⇒ B) ⇔ (qA) ∨ B,5◦. q(A ⇒ B) ⇔ A ∧ (qB).5Óòâåðæäåíèå 1◦ èñïîëüçóåòñÿ â äîêàçàòåëüñòâàõ ¾îò ïðîòèâíîãî¿. Ýòîò ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà îñíîâàí íà òîì, ÷òî åñëè qA ëîæíî, òî q(qA), à çíà÷èò, è A èñòèííî. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿëîæíîñòè qA îáû÷íî ïðåäïîëàãàþò åãî èñòèííîñòü è ïðèõîäÿò ê ïðîòèâîðå÷èþ.
Çàìåòèìòàêæå, ÷òî óòâåðæäåíèå 4◦ ïðîùå âûâåñòè èç 5◦, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:(qA ⇔ B) ⇔ (A ⇔qB).Ñèìâîëû ∀ è ∃ íàçûâàþòñÿ êâàíòîðàìè. Êâàíòîð âñåîáùíîñòè ∀ ñëóæèò ñîêðàùåíèåìñëîâ ¾äëÿ ëþáîãî¿, ¾äëÿ âñåõ¿, à êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ ∃ äëÿ ñëîâ ¾ñóùåñòâóåò¿, ¾íàéä¼òñÿ¿. Ìû èíîãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü åù¼ îäíî ñîêðàùåíèå: ñèìâîë ∃! áóäåò îçíà÷àòü¾ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé¿.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
