1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ââåä¼ì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:x > y (ýëåìåíò x áîëüøå ýëåìåíòà y ) ⇔ (x − y) ∈ X+ ;x > y (ýëåìåíò x áîëüøå èëè ðàâåí ýëåìåíòó y ) ⇔ ((x − y) ∈ X+ èëè x = y );x < y (ýëåìåíò x ìåíüøå ýëåìåíòà y ) ⇔ (y − x) ∈ X+ ;x 6 y (ýëåìåíò x ìåíüøå èëè ðàâåí ýëåìåíòó y ) ⇔ ((y − x) ∈ X+ èëè x = y ).12Âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå çíàêè <, >, 6 è > íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè. Íåðàâåíñòâà, ñîäåðæàùèå çíàêè < è > íàçûâàþòñÿ ñòðîãèìè, à íåðàâåíñòâà ñî çíàêàìè 6 è > íåñòðîãèìè.Âûðàæåíèå a < x < b, ðàâíîñèëüíóþ äâóì íåðàâåíñòâàì: a < x è x < b.
Çàìåòèìòàêæå, ÷òî âêëþ÷åíèå x ∈ X+ ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x > 0.Óïîðÿäî÷åííîå ïîëå X íàçûâàåòñÿ ïîëíûì (èëè íåïðåðûâíûì ), åñëèîíî îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáûõ íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ A è B ïîëÿ X ,òàêèõ, ÷òî a 6 b äëÿ âñåõ a ∈ A è b ∈ B , ñóùåñòâóåò ýëåìåíò c ∈ X , òàêîé, ÷òî a 6 c 6 bäëÿ âñåõ a ∈ A è b ∈ B .•Îïðåäåëåíèå 3.3.3.2Ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåëÎïðåäåëèì âåùåñòâåííûå ÷èñëà êàê ýëåìåíòû íåêîòîðîãî ïîëíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ïîëÿ R, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà R+ íàçîâ¼ìïîëîæèòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè, à ïðîòèâîïîëîæíûå ê íèì îòðèöàòåëüíûìè. Ýòî îïðåäåëåíèå âûçûâàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ î òîì, êàêîå èìåííî ïîëå áåð¼òñÿâ êà÷åñòâå R? Îêàçûâàåòñÿ, ïîëíîå óïîðÿäî÷åííîå ïîëå â íåêîòîðîì ñìûñëå åäèíñòâåííî.×òîáû ïîíÿòü, â êàêîì èìåííî ñìûñëå, ââåä¼ì ïîíÿòèå èçîìîðôèçìà.Äâà óïîðÿäî÷åííûõ ïîëÿ X è X ′ íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëèñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå F : X → X ′, òàêîå, ÷òî F (x + y) = F (x) + F (y),F (xy) = F (x)F (y) è x < y ⇔ F (x) < F (y) äëÿ âñåõ x, y ∈ X .
Ïðè ýòîì F íàçûâàåòñÿèçîìîðôèçìîì óïîðÿäî÷åííûõ ïîëåé X è X ′.•Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:Ëþáûå äâà ïîëíûõ óïîðÿäî÷åííûõ ïîëÿ èçîìîðôíû.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ãðîìîçäêèì, õîòÿ è íå ñëîæíûì. Ïîýòîé ïðè÷èíå ìû íå áóäåì åãî çäåñü âîñïðîèçâîäèòü, à îñòàâèì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà ïîëíîå óïîðÿäî÷åííîå ïîëå, à çíà÷èòè ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, îïðåäåëåíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Âîîáùå ãîâîðÿ, èçëîæåííûå ñîîáðàæåíèÿ ñîãëàñóþòñÿ ñ íàøèìè îáû÷íûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè î ÷èñëàõ.
Ìû èñïîëüçóåì ÷èñëà, íàïðèìåð, äëÿ èçìåðåíèÿ ìàññûè äëèíû. Êàçàëîñü áû, ÷òî ìîæåò áûòü îáùåãî ó òð¼õ êèëîãðàììîâ êàðòîøêè è òð¼õ êèëîìåòðîâ ïóòè? Êèëîìåòðû è êèëîãðàììû ñêëàäûâàòü íåëüçÿ, òî åñòü, äëÿ èçìåðåíèÿìàññû è ðàññòîÿíèÿ ìû, âîîáùå ãîâîðÿ, èñïîëüçóåì ðàçíûå óïîðÿäî÷åííûå ïîëÿ. Òåì íåìåíåå, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû óïîòðåáëÿåì ÷èñëî òðè (èëè êàêîå-ëèáî äðóãîå) è ïîëüçóåìñÿïåðå÷èñëåííûìè â ïðåäûäóùåì ïóíêòå àêñèîìàìè ïîëÿ. Òî åñòü, ìû íåÿâíî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ýòè àêñèîìû ñïðàâåäëèâû è äëÿ ìàññ, è äëÿ ïðîòÿæ¼ííîñòåé. Ýòî, ôàêòè÷åñêè,è îçíà÷àåò èçîìîðôíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ óïîðÿäî÷åííûõ ïîëåé. Òàêèì îáðàçîì, ãîâîðÿî âåùåñòâåííûõ ÷èñëàõ, ìû îòâëåêàåìñÿ îò èõ êîíêðåòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è ôîêóñèðóåìâíèìàíèå òîëüêî íà îïåðàöèÿõ, êîòîðûå ìû íàä íèìè âûïîëíÿåì.•Âûâåäåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ.×èòàòåëþ, îêîí÷èâøåìó ñðåäíþþ øêîëó, ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñìåøíûì, ÷òî ìû áóäåì äîêàçûâàòü î÷åâèäíûå ôàêòû.
Íà ñàìîì äåëå, ìû èõ íå äîêàçûâàåì, à âûâîäèì èç ôèêñèðîâàííîé ñèñòåìû àêñèîì. Ýòè àêñèîìû (êðîìå, áûòü ìîæåò, àêñèîìû ïîëíîòû) ñôîðìóëèðîâàíû â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñî øêîëüíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè î ÷èñëàõ.  òî æåÎïðåäåëåíèå 3.4.Òåîðåìà 3.5.Çàìå÷àíèå 3.6.13âðåìÿ, åñòü ìíîãî ôàêòîâ, êîòîðûå â øêîëüíîé ïðîãðàììå ïðåäëàãàåòñÿ ïðèíÿòü íà âåðó è êîòîðûå íå ôèãóðèðóþò â íàøåì ñïèñêå àêñèîì. Ïî÷åìó, íàïðèìåð, ïðè óìíîæåíèè÷èñëà íà íóëü ïîëó÷àåòñÿ íóëü? Êàê óæå ãîâîðèëîñü âûøå, ìû çàôèêñèðîâàëè íåêîòîðûéíàáîð ñâîéñòâ, êîòîðûìè äîëæíû îáëàäàòü ÷èñëà, à âñå äðóãèå ñâîéñòâà äîëæíû áûòü èõñëåäñòâèÿìè.(Ñëåäñòâèÿ èç àêñèîì ïîëÿ)1◦.
 R ñóùåñòâóþò òîëüêî îäèí íóëü è òîëüêî îäíà åäèíèöà.2◦. Ó êàæäîãî x ∈ R ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò (âåùåñòâåííîå ÷èñëî).3◦. (çàêîí ñîêðàùåíèÿ äëÿ ñëîæåíèÿ) Åñëè a, b, c ∈ R è a + c = b + c, òî a = b.4◦. Ó êàæäîãî x ∈ R \ {0} ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí îáðàòíûé ýëåìåíò.5◦. (çàêîí ñîêðàùåíèÿ äëÿ óìíîæåíèÿ) Åñëè a, b, c ∈ R, c ̸= 0 è ac = bc, òî a = b.6◦. Äëÿ êàæäîãî x ∈ R ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî x · 0 = 0.7◦. Åñëè xy = 0, òî ëèáî x = 0, ëèáî y = 0.8◦.
Äëÿ êàæäîãî x ∈ R ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (−1) · x = −x.Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïåðå÷èñëåííûõ ôàêòîâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü àêñèîìû èç îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ. Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëÿì ñàìîñòîÿòåëüíî ðàçîáðàòüñÿ, ãäå êàêàÿàêñèîìà ïðèìåíÿåòñÿ.1◦. Äîêàæåì òîëüêî åäèíñòâåííîñòü íóëÿ. Äëÿ åäèíèöû óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â R ñóùåñòâóþò äâà íóëÿ, êîòîðûå ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç01 è 02 . Òîãäà èç îïðåäåëåíèÿ íóëÿ ñëåäóåò, ÷òî 01 = 01 + 02 = 02 .
Òî åñòü, ýòè íóëèðàâíû.2◦. Åñëè x1 è x2 ýëåìåíòû, ïðîòèâîïîëîæíûå x ∈ R, òîÒåîðåìà 3.7.Äîêàçàòåëüñòâî.x1 = x1 + 0 = x1 + (x + x2 ) = (x1 + x) + x2 = 0 + x2 = x2 .3◦. Åñëè a + c = b + c, òî äëÿ ëþáîãî x ∈ R áóäóò òàêæå ðàâíû ÷èñëà (a + c) + x è (b + c) + x.Âîçüì¼ì x = −c. Òîãäàa = a + 0 = a + (c + (−c)) = (a + c) + (−c) = (b + c) + (−c) = b + (c + (−c)) = b + 0 = b.Ñëåäîâàòåëüíî a = b.4◦. Ïóñòü x1 è x2 ýëåìåíòû, îáðàòíûå x ∈ R \ {0}. Òîãäàx1 = x1 · 1 = x1 · (xx2 ) = (x1 x)x2 = 1 · x2 = x2 .5◦. Åñëè ac = bc, òî äëÿ ëþáîãî x ∈ R áóäóò òàêæå ðàâíû ÷èñëà (ac)x è (bc)x. Ïîñêîëüêóc ̸= 0, ìû ìîæåì âçÿòü x = c−1 . Òîãäàa = a · 1 = a · (c · c−1 ) = (ac) · c−1 = (bc) · c−1 = b · (c · c−1 ) = b · 1 = b.Ñëåäîâàòåëüíî a = b.146◦.
Êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ íóëÿ, 0 + 0 = 0. Ïîýòîìóx · 0 + x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 = x · 0 + 0.Ïðèìåíÿÿ çàêîí ñîêðàùåíèÿ äëÿ ñëîæåíèÿ, ìû ïîëó÷èì, ÷òî x · 0 = 0.7◦. Åñëè xy = 0 è, íàïðèìåð, y ̸= 0, òî èç ðàâåíñòâà xy = y · 0 è çàêîíà ñîêðàùåíèÿ äëÿóìíîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî x = 0.8◦. Èç ðàâåíñòâà 1 + (−1) = 0 ïîëó÷àåì, ÷òî x + (−1)x = 0 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x ∈ R.Ïîýòîìó ÷èñëî (−1)x ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ê x.
Èç åäèíñòâåííîñòè ïðîòèâîïîëîæíîãî ÷èñëà ñëåäóåò, ÷òî (−1)x = −x.(Ñëåäñòâèÿ èç àêñèîì ïîðÿäêà) Ïóñòü a, b, c ∈ R. Òîãäà(òðàíçèòèâíîñòü) åñëè a > b è b > c, òî a > c;åñëè a > b, òî a + c > b + c;(ñëîæåíèå íåðàâåíñòâ) åñëè x > y è a > b, òî x + a > y + b;åñëè a > b è c > 0, òî ac > bc.åñëè a > b è c < 0, òî ac < bc.Äëÿ ëþáîãî x ∈ R \ {0} âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî xx > 0.Òåîðåìà 3.81◦.2◦.3◦.4◦.5◦.6◦..Äîêàçàòåëüñòâî.1◦.
Åñëè a = b è b > c, òî a − c = b − c ∈ R+. Åñëè æå a > b, òî ïîñêîëüêó (a − b) ∈ R+ è(b − c) ∈ R+ , â R+ áóäåò è a − c = (a − b) + (b − c).2◦. (a + c) − (b + c) = (a − b) + (c − c) = a − b ∈ R+.3◦. Òàê êàê x − y ∈ R+ è a − b ∈ R+, èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà R+ ñëåäóåò, ÷òî (x + a) −(y + b) = (x − y) + (a − b) ∈ R+ .4◦. Òàê êàê (a − b) ∈ R+ è c ∈ R+, èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà R+ ñëåäóåò, ÷òî ac − bc =(a − b)c ∈ R+ .5◦.
Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó óòâåðæäåíèþ, òàê êàê (a − b) ∈ R+ è (−c) ∈ R+, ïîëó÷àåìbc − ac = (b − a)c = (a − b)(−1)c = (a − b)(−c) ∈ R+ .6◦. Åñëè x ∈ R+, òî âêëþ÷åíèå xx ∈ R+ ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà R+. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî (−x) ∈ R+. Êàê ñëåäóåò èç ïóíêòîâ 8 è 2 òåîðåìû 3.7, (−1)(−1) = 1.Ïîýòîìó xx = (−1)x(−1)x = (−x)(−x) ∈ R+.Çàìåòèì, ÷òî èç ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî 1 > 0, òàê êàê 1 = 1 · 1è 1 ̸= 0.Äëÿ êàæäîãî x ∈ R îïðåäåëèì åãî àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó èëè ìîäóëü |x| ñëåäóþùèìîáðàçîì:{|x| =x,x > 0,−x, x < 0.15Òàêæå, ïîñòàâèì êàæäîìó x ∈ R â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî sgn x (÷èòàåòñÿ ñèãíóì èëè çíàê):x > 0,1,sgn x = 0,x = 0,−1, x < 0.Î÷åâèäíî, ÷òî |x| > 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ R è èç |x| = 0 ñëåäóåò x = 0.
Êðîìå òîãî, |x| = x·sgn xè x = |x| · sgn x. Âûâåäåì åù¼ íåñêîëüêî ñâîéñòâ ìîäóëÿ âåùåñòâåííîãî ÷èñëà.Ïóñòü x, y ∈ R. Òîãäà1◦. |xy| = |x| · |y|;2◦. åñëè ε ∈ R+, òî (|x| < ε) ⇔ (−ε < x < ε), (|x| 6 ε) ⇔ (−ε 6 x 6 ε);3◦. (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà) |x + y| 6 |x| + |y|;4◦. |x| − |y| 6 |x − y|.Òåîðåìà 3.9.Äîêàçàòåëüñòâî.1◦. Ýòî ðàâåíñòâî ñðàçó ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî (−1)(−1) = 1 è sgn (xy) = sgn x sgn y.2◦. Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî.
Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àè x > 0 è x < 0.3◦. Âçÿâ â ïðåäûäóùåì óòâåðæäåíèè ε = |x|, ìû ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî −|x| 6 x 6 |x|.Àíàëîãè÷íî, −|y| 6 y 6 |y|. Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì−(|x| + |y|) 6 x + y 6 |x| + |y|.Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà.4◦. Òàê êàê x = (x − y) + y è y = (y − x) + x, èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ïîëó÷àåì:|x| 6 |x − y| + |y| è |y| 6 |y − x| + |x|.Èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî−|x − y| 6 |x| − |y| 6 |x − y|,îòêóäà, ïðèìåíèâ óòâåðæäåíèå 2◦ ñ ε = |x − y|, ïîëó÷èì òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî.Âûâåäåì òåïåðü íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç ñâîéñòâà ïîëíîòû ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ÷èñåë. Ñêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî A ⊂ R îãðàíè÷åíî ñíèçó, åñëè ñóùåñòâóåò a ∈ R, òàêîå, ÷òîx > a äëÿ âñåõ x ∈ A. Àíàëîãè÷íî, ìíîæåñòâî A ⊂ R îãðàíè÷åíî ñâåðõó, åñëè ñóùåñòâóåòb ∈ R, òàêîå, ÷òî x 6 b äëÿ âñåõ x ∈ A.
Ïðè ýòîì a íàçûâàåòñÿ íèæíåé ãðàíüþ èëèìèíîðàíòîé ìíîæåñòâà A, à b åãî âåðõíåé ãðàíüþ èëè ìàæîðàíòîé. Åñëè ìíîæåñòâîîãðàíè÷åíî è ñâåðõó, è ñíèçó, òî îíî íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì.Åñëè c åñòü âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíü ìíîæåñòâà A è c ∈ A, òî c íàçûâàåòñÿ ìàêñèìóìîì(ìèíèìóìîì ) ìíîæåñòâà A. Çàïèñûâàåòñÿ ýòî òàê: c = max A (c = min A).16×èñëî a ∈ R íàçûâàåòñÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ èëè èíôèìóìîìíåïóñòîãî ìíîæåñòâà A (çàïèñûâàåòñÿ a = inf A), åñëèà) a ÿâëÿåòñÿ íèæíåé ãðàíüþ A;á) äëÿ ëþáîãî y > a ñóùåñòâóåò x ∈ A, òàêîé, ÷òî x < y.×èñëî b ∈ R íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ èëè ñóïðåìóìîì íåïóñòîãî ìíîæåñòâà A(çàïèñûâàåòñÿ b = sup A), åñëèà) b ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ A;á) äëÿ ëþáîãî y < b ñóùåñòâóåò x ∈ A, òàêîé, ÷òî x > y.•Ýòè îïðåäåëåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïî-äðóãîìó: äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ñóùåñòâóþò x, y ∈ A, òàêèå, ÷òî x > sup A − ε è y < inf A + ε.Ñóïðåìóì îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ìíîæåñòâà A ⊂ R îáëàäàåò ñëåäóþùèìè î÷åâèäíûìèñâîéñòâàìè:1◦.
åñëè sup A ∈ A, òî sup A = max A;2◦. sup A åñòü íàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà A;3◦. sup A îïðåäåë¼í åäèíñòâåííûì îáðàçîì;4◦. ìíîæåñòâî −A = {x ∈ R | − x ∈ A} îãðàíè÷åíî ñíèçó è inf(−A) = − sup A.Àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò inf A. Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñôîðìóëèðîâàòü èõ ñàìîñòîÿòåëüíî.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A = {x ∈ R | 0 6 x < 1}. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîsup A = 1, max A íå ñóùåñòâóåò, inf A = min A = 0, inf(−A) = −1, sup(−A) = 0.•Ïîêà ÷òî ìû íå âûÿñíèëè îòâåò âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè òî÷íûõ ãðàíåé ìíîæåñòâà.Òàê êàê inf A = − sup(−A), äîñòàòî÷íî ðàçîáðàòüñÿ ñ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ.Åñëè íåïóñòîå ìíîæåñòâî A ⊂ R îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî ñóùåñòâóåò÷èñëî c ∈ R, òàêîå, ÷òî c = sup A.Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî A îãðàíè÷åíî ñâåðõó, ìíîæåñòâî B åãî âåðõíèõãðàíåé íå ïóñòî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
