1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Åñëè F ◦ G = IY , òî F ñþðúåêöèÿ, à G èíúåêöèÿ.I Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî y ∈ Y ïîëîæèì x = G(y) ∈ X . Òîãäà F (x) = F (G(y)) = (F ◦G)(y) =IY (y) = y . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî y ∈ Y ìû íàøëè òàêîå x ∈ X , ÷òî F (x) = y .Ñëåäîâàòåëüíî F íàêðûâàþùåå îòîáðàæåíèå.Äîêàæåì èíúåêòèâíîñòü îòîáðàæåíèÿ G. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíûå y1 è y2 èç Y .
Åñëèy1 ̸= y2 , òî ïî óñëîâèþ ëåììû (F ◦ G)(y1 ) ̸= (F ◦ G)(y2 ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî G(y1 ) ̸= G(y2 ),òàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èëè áû, ÷òî (F ◦ G)(y1) = (F ◦ G)(y2).JÏðèìåð 2.1.Ïðèìåð 2.2.Ïðèìåð 2.3.Îïðåäåëåíèå 2.4.Ëåììà 2.5.9Îòîáðàæåíèå G : Y → X íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ê îòîáðàæåíèþ F :X → Y , åñëè F ◦ G = IY è G ◦ F = IX . Îáðàòíîå ê F îòîáðàæåíèå îáîçíà÷àåòñÿ F −1 . •Íå ó êàæäîãî îòîáðàæåíèÿ åñòü îáðàòíîå. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü óæå èçâåñòíûéíàì îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ (ïðèìåð 2.2).
Âîçüìåì X = A × B , Y = A è F = P . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå G : A → A × B , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ê P .Åñëè a ∈ A, òî G(a) = (gA(a), gB (a)), ãäå gA(a) ∈ A è gB (a) ∈ B . Ôàêòè÷åñêè gA è gBÿâëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿìè èç A â A è B ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñüðàâåíñòâî P ◦ G = IA, ìû äîëæíû ïîëîæèòü gA(a) = a äëÿ âñåõ a ∈ A. Ïðè ýòîì îòîáðàæåíèå gB : A → B ìîæíî âçÿòü ïðîèçâîëüíûì.
Ìû, îäíàêî, äîëæíû åãî çàôèêñèðîâàòü,÷òîáû G áûëî ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî. Äëÿ êàæäîãî a ∈ A îáîçíà÷èì ÷åðåç aB îáðàç ýëåìåíòà(a ïðè) îòîáðàæåíèè gB . Òàêèì îáðàçîì, G(a)ðàâåíñòâî( = )(a, aB ). Òåïåðü( ïðîâåðèì)G ◦ P (a, b) = (a, b). Åñëè (a, b) ∈ A × B , òî P (a, b) = a è G ◦ P (a, b) = (a, aB ). Âèäèì, ÷òî òðåáóåìîå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ íå äëÿ âñåõ (a, b) ∈ A × B , à òîëüêî äëÿ òåõ, óêîòîðûõ b = aB . Ïîýòîìó G ◦ P ̸= IA×B è G íå ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì îòîáðàæåíèåì ê P .Îòîáðàæåíèå èç ïðèìåðà 2.1, íàïðîòèâ, èìååò îáðàòíîå. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ñàìîìó ñåáå.  ÷¼ì æå ñîñòîèò ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èåîòîáðàæåíèé èç ýòèõ ïðèìåðîâ, ïî÷åìó ó îäíîãî åñòü îáðàòíîå, à ó äðóãîãî íåò? Îáàÿâëÿþòñÿ ñþðúåêòèâíûìè, íî â îòëè÷èå îò îïåðàòîðà ïðîåêòèðîâàíèÿ îòîáðàæåíèå èçïðèìåðà 2.1 ÿâëÿåòñÿ åù¼ è èíúåêòèâíûì. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ñâîéñòâàñþðúåêòèâíîñòè è èíúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êëþ÷åâûìè äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿó íåãî îáðàòíîãî.Äëÿ òîãî, ÷òîáû îòîáðàæåíèå èìåëî îáðàòíîå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû îíî áûëî áèåêòèâíûì.Øàã 1.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå F : X → Y è ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî èìååò îáðàòíîå F −1 : Y → X . Äîêàæåì, ÷òî F ÿâëÿåòñÿ è èíúåêöèåé, èñþðúåêöèåé. Ïî îïðåäåëåíèþ îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:F ◦ F −1 = IY è F −1 ◦ F = IX .  ñèëó ëåììû 2.5 èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò ñþðúåêòèâíîñòü F , à èç âòîðîãî åãî èíúåêòèâíîñòü.Øàã 2. Ïóñòü F : X → Y áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå. Ïîêàæåì, åãî îáðàòèìîñòü. Òàêêàê F ñþðúåêöèÿ, äëÿ êàæäîãî y ∈ Y ñóùåñòâóåò xy ∈ X , òàêîé, ÷òî F (xy ) = y. Áîëååòîãî, òàêîé ýëåìåíò xy îïðåäåë¼í åäèíñòâåííûì îáðàçîì â ñèëó òîãî, ÷òî F èíúåêöèÿ.Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå G : Y → X ñëåäóþùèì îáðàçîì: G(y) = xy äëÿ âñåõ y ∈ Y . ÒîãäàG(F (xy )) = xy è F (G(y)) = y , òî åñòü G ◦ F = IX è F ◦ G = IY .
Ïî îïðåäåëåíèþ, G = F −1 .Îïðåäåëåíèå 2.6.Òåîðåìà 2.7.Äîêàçàòåëüñòâî.Âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü ìîæåò îáíàðóæèòü èçúÿí â çàâåðøàþùåé ñòàäèè ïðèâåä¼ííîãî äîêàçàòåëüñòâà.  ñàìîì äåëå, ðàâåíñòâî G◦F = IX ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî G(F (x)) = xäëÿ âñåõ x ∈ X . Ìû æå óñòàíîâèëè òîëüêî, ÷òî G(F (xy )) = xy äëÿ âñåõ y ∈ Y . Ïîêàæåì,êàê ìîæíî óñòðàíèòü ýòó íåòî÷íîñòü. Ïóñòü x ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç X . Òîãäà, âçÿây = F (x) ∈ Y , ìû ïîëó÷èì, ÷òî x = xy . Òàêèì îáðàçîì, G(F (x)) = x äëÿ âñåõ x ∈ X .Åñëè îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ñóùåñòâóåò, òî îíî åäèíñòâåííî.◃ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòîáðàæåíèå F : X → Y èìååò äâà îáðàòíûõ îòîáðàæåíèÿ: G1 è G2 .Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî y ∈ Y ïîëîæèì x1 = G1(y) è x2 = G2(y). Òàê êàê F ◦G1 = IY è F ◦G2 =IY , F (x1 ) = F (x2 ) = y .
Íî, â ñèëó óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû, F áèåêòèâíîå, à çíà÷èò,Ñëåäñòâèå 2.8.10âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Ïîýòîìó x1 = x2 è G1(y) = G2(y). Èç ïðîèçâîëüíîñòèy ñëåäóåò, ÷òî G1 = G2 .▹Ïóñòü çàäàíû îòîáðàæåíèÿ F1 : X1 → Y è F2 : X2 → Y . Åñëè X1 ⊂ X2 è F1(x) = F2(x)äëÿ âñåõ x ∈ X1, òî F1 íàçûâàåòñÿ ñóæåíèåì îòîáðàæåíèÿ F2, à F2 ïðîäîëæåíèåìîòîáðàæåíèÿ F1. çàêëþ÷åíèå ïàðàãðàôà äàäèì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå îòîáðàæåíèÿ.
Ýòî ìîæíî ñäåëàòü,èñïîëüçóÿ çíàêîìîå ñî øêîëû ïîíÿòèå ãðàôèêà ôóíêöèè.Îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâà X â ìíîæåñòâî Y íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî G äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ X × Y , òàêîå, ÷òî ∀x ∈ X ∃!y ∈ Y | (x, y) ∈ G.•Îïðåäåëåíèå 2.9.Ýòî îïðåäåëåíèå ïðèåìëåìî ñ ëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Îíî îïèðàåòñÿ íà ââåä¼ííûåðàíåå ïîíÿòèÿ. Ôàêòè÷åñêè, ìû îòîæäåñòâèëè îòîáðàæåíèå è åãî ãðàôèê.
Ñ òàêèì îïðåäåëåíèåì òîæå ìîæíî ðàáîòàòü, îäíàêî ïðåæíåå îïðåäåëåíèå, ïóñòü äàæå è íå ñîâñåìêîððåêòíîå, âñ¼ æå ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïîíÿòíûì è ïðèâû÷íûì.3 Âåùåñòâåííûå ÷èñëà øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè ââîäÿòñÿ íàòóðàëüíûå, öåëûå, ðàöèîíàëüíûå è äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.  äàííîì ïàðàãðàôå ìû ñèñòåìàòèçèðóåì ýòè çíàíèÿ. Çàìåòèì åù¼, ÷òîäåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà ÷àñòî íàçûâàþò âåùåñòâåííûìè. Òàêîé òåðìèíîëîãèè áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ è ìû.3.1ÏîëåÅñëè A íåïóñòîå ìíîæåñòâî, òî ëþáîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà A × A â A íàçûâàåòñÿáèíàðíîé îïåðàöèåé íà A.
Ìû óæå ñòàëêèâàëèñü ñ áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè. Íàïðèìåð,îáúåäèíåíèå ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà M åñòü áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íà P(M ).Òàê êàê ìû ñîáèðàåìñÿ îïðåäåëèòü íåêîòîðóþ ÷èñëîâóþ ñèñòåìó, ââåä¼ì äâå áèíàðíûåîïåðàöèè, íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì. Åñëè x è y ýëåìåíòû êàêîãî-ëèáîìíîæåñòâà, òî ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ê íèì ýòèõ îïåðàöèé òðàäèöèîííî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç x + y è xy (èëè x · y) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì x + y íàçûâàåòñÿ ñóììîé, à xy ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòîâ x è y.  àðèôìåòèêå óæå âñòðå÷àëèñü îïåðàöèè ñ òàêèìè íàçâàíèÿìè, à èõ ñâîéñòâà, òàê æå êàê è ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì îíè îïðåäåëåíû, ââîäèëèñüïîñòåïåííî, øàã çà øàãîì.
È, âîîáùå ãîâîðÿ, áûëî íå ñîâñåì ÿñíî, îáëàäàþò ëè îíè åù¼êàêèìè-ëèáî ñâîéñòâàìè, èëè òî, ÷òî èçó÷åíî, ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäíèì øàãîì â ýòîé öåïî÷êå. ýòîì ïóíêòå ìû, èñïîëüçóÿ àêñèîìàòè÷åñêèé ïîäõîä, îïðåäåëèì îïåðàöèè ñëîæåíèÿ èóìíîæåíèÿ âìåñòå ñ îáëàñòüþ èõ îïðåäåëåíèÿ, êàê îáúåêòû, îáëàäàþùèå îïðåäåë¼ííûì,ôèêñèðîâàííûì íàáîðîì ñâîéñòâ.Íåïóñòîå ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ ïîëåì, åñëè íà í¼ì îïðåäåëåíûäâå áèíàðíûå îïåðàöèè, íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì, êîòîðûå îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:S1. (çàêîí àññîöèàòèâíîñòè äëÿ ñëîæåíèÿ)åñëè x, y, z ∈ X , òî x + (y + z) = (x + y) + z;Îïðåäåëåíèå 3.1.11S2.
(ñóùåñòâîâàíèå íóëÿ)ñóùåñòâóåò ýëåìåíò 0 ∈ X , òàêîé, ÷òî x + 0 = 0 + x = x äëÿ âñåõ x ∈ X ;S3. (ñóùåñòâîâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîãî ýëåìåíòà)äëÿ êàæäîãî x ∈ X ñóùåñòâóåò ýëåìåíò (−x) ∈ X , òàêîé, ÷òî x + (−x) = (−x) + x = 0;S4. (çàêîí êîììóòàòèâíîñòè äëÿ ñëîæåíèÿ)åñëè x, y ∈ X , òî x + y = y + x.M1. (çàêîí àññîöèàòèâíîñòè äëÿ óìíîæåíèÿ)åñëè x, y, z ∈ X , òî x(yz) = (xy)z;M2.
(ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû)ñóùåñòâóåò ýëåìåíò 1 ∈ X , òàêîé, ÷òî 1 ̸= 0 è x · 1 = 1 · x = x äëÿ âñåõ x ∈ X ;M3. (ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ýëåìåíòà)äëÿ êàæäîãî x ∈ X \ {0} ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x1 ∈ X , òàêîé, ÷òî x · x1 = x1 · x = 0;M4. (çàêîí êîììóòàòèâíîñòè äëÿ óìíîæåíèÿ)åñëè x, y ∈ X , òî xy = yx.D. (çàêîí äèñòðèáóòèâíîñòè)åñëè x, y, z ∈ X , òî x(y + z) = xy + xz.•Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé ê ýòîìó îïðåäåëåíèþ. Áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ x + (−y) íàçûâàåòñÿ âû÷èòàíèåì, à å¼ ðåçóëüòàò, íàçûâàåìûé ðàçíîñòüþ ýëåìåíòîâ x è y, îáû÷íîçàïèñûâàþò êîðî÷å: x − y. Îáðàòíûé ýëåìåíò, ââåä¼ííûé â ñâîéñòâå M3, îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå ÷åðåç x−1 èëè 1/x.
Áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ x · y1 = xy−1 íàçûâàåòñÿ äåëåíèåì. ż ðåçóëüòàò,êàê ïðàâèëî, îáîçíà÷àþò âûðàæåíèåì xy (èëè x/y), êîòîðîå íàçûâàåòñÿ äðîáüþ (èëè ÷àñòíûì ýëåìåíòîâ x è y). Ïðè ýòîì x íàçûâàåòñÿ ÷èñëèòåëåì äðîáè, à y çíàìåíàòåëåì.Ïîëå X íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííûì, åñëè îíî ñîäåðæèò ïîäìíîæåñòâîX+ , òàêîå, ÷òîP1. åñëè x, y ∈ X+, òî x + y ∈ X+ è xy ∈ X+;P2. äëÿ êàæäîãî x ∈ X ðåàëèçóåòñÿ îäíà è òîëüêî îäíà èç ñëåäóþùèõ òð¼õ âîçìîæíîñòåé:x ∈ X+ , x = 0, (−x) ∈ X+ .•Îïðåäåëåíèå 3.2.Ýëåìåíò x óïîðÿäî÷åííîãî ïîëÿ X íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè x ∈ X+, è îòðèöàòåëüíûì, åñëè (−x) ∈ X+. Òàêèì îáðàçîì, X+ åñòü ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ýëåìåíòîâ óïîðÿäî÷åííîãî ïîëÿ X .Ïóñòü x è y ýëåìåíòû óïîðÿäî÷åííîãî ïîëÿ X .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
