1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåé ãðàíè, a 6 b äëÿ ëþáûõ a ∈ A è b ∈ B .  ñèëóïîëíîòû R ñóùåñòâóåò c ∈ R, òàêîå, ÷òî a 6 c 6 b äëÿ ëþáûõ a ∈ A è b ∈ B . ×èñëî cÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ äëÿ A, òî åñòü, c ∈ B . Òàê êàê c 6 b äëÿ ëþáîãî b ∈ B , c åñòüíàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü. Ñëåäîâàòåëüíî c = sup A.Ìû âîñïîëüçîâàëèñü â äîêàçàòåëüñòâå òåì, ÷òî ñóïðåìóì åñòü íàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿãðàíü. Ìîæíî áûëî áû ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî, èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ ñóïðåìóìà. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî y < c ñóùåñòâóåò x ∈ A, òàêîé, ÷òî x > y.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòîóòâåðæäåíèå ëîæíî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ÷èñëî y < c, òàêîå, ÷òî x 6 y äëÿ âñåõ x ∈ A. Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî y ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ äëÿ A, òî åñòü, y ∈ B . Èç îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà cñëåäóåò, ÷òî c 6 y, à èç íàøåãî ïðåäïîëîæåíèÿ ÷òî y < c. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èåäîêàçûâàåò, ÷òî c = sup A.Ïóñòü A è B íåïóñòûå îãðàíè÷åííûå ñâåðõó (ñíèçó) ìíîæåñòâà â R.Åñëè A ⊂ B , òî sup A 6 sup B (inf A > inf B).Îïðåäåëåíèå 3.10.Ïðèìåð 3.11.Òåîðåìà 3.12.Äîêàçàòåëüñòâî.Òåîðåìà 3.13.17Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ îãðàíè÷åííûõ ñâåðõó ìíîæåñòâ.
Äëÿ êàæäîãîx ∈ B ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî x 6 sup B . Òàê êàê A ⊂ B , ýòî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâîè äëÿ âñåõ x ∈ A. Ñëåäîâàòåëüíî sup B ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ äëÿ A. Ïîñêîëüêó sup Aåñòü íàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà A, sup A 6 sup B . çàêëþ÷åíèå ïóíêòà ââåä¼ì åù¼ îäíî ïîíÿòèå.  íåêîòîðûõ ñèòóàöèÿõ óäîáíî èñïîëüçîâàòü ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, äîïîëíåííîå äâóìÿ ýëåìåíòàìè −∞ è +∞,íàçûâàåìûìè ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòü è ïëþñ áåñêîíå÷íîñòü ñîîòâåòñòâåííî.
Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñ ýòèìè äâóìÿ ýëåìåíòàìè íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííîé ÷èñëîâîé ïðÿìîéè îáîçíà÷àåòñÿ R. Áåñêîíå÷íûå ýëåìåíòû íàäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1◦. (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞, (+∞) · (+∞) = +∞, (−∞) · (−∞) = +∞,−(+∞) = −∞, −(−∞) = +∞;2◦. x + (+∞) = +∞, x + (−∞) = −∞ è x/(+∞) = x/(−∞) = 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ R;3◦. x · (+∞) = +∞ è x · (−∞) = −∞ äëÿ ëþáîãî x ∈ R+;4◦.
−∞ < x < +∞ äëÿ ëþáîãî x ∈ R;5◦. âûðàæåíèÿ (+∞)+(−∞), 0·(±∞), (±∞)/(±∞) íå èìåþò ñìûñëà è íàçûâàþòñÿ íåîïðåäåë¼ííîñòÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî.3.3Âàæíåéøèå êëàññû âåùåñòâåííûõ ÷èñåëÌíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñîäåðæèò íåñêîëüêî êëàññîâ ÷èñåë, êîòîðûå èñòîðè÷åñêè ïîÿâèëèñü çíà÷èòåëüíî ðàíüøå ñàìèõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Êòàêîâûì îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, íàòóðàëüíûå ÷èñëà.  øêîëå èõ îïðåäåëÿþò êàê ÷èñëà âèäà 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1 è òàê äàëåå è îáîçíà÷àþò 1, 2, 3 è òàê äàëåå. Ìû ñîõðàíèì ââåä¼ííûåâ øêîëå îáîçíà÷åíèÿ, íî íå ïðèìåì äàííîå òàì îïðåäåëåíèå. Ñóòü ïðåòåíçèé çàêëþ÷àåòñÿ â íàëè÷èè ñëîâ ¾è òàê äàëåå¿.
Ïîñêîëüêó ìû íå ìîæåì ïåðå÷èñëèòü âñå íàòóðàëüíûå÷èñëà, íåîáõîäèìî ïðåäëîæèòü íåêîòîðóþ ïðîöåäóðó, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìû ìîãëè áûîäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî íàòóðàëüíûì èëè íåò. Êðîìå òîãî, õîòåëîñü áûäàòü òàêîå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðîå ïîçâîëèëî áû äîêàçûâàòüïîëåçíûå, ñîäåðæàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ.Ìíîæåñòâî A ⊂ R íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíûì, åñëè 1 ∈ A è äëÿ ëþáîãî x ∈ A ÷èñëî(x + 1) òàêæå ïðèíàäëåæèò A. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâà R è R+ ÿâëÿþòñÿ èíäóêòèâíûìè.Ïåðåñå÷åíèå ëþáîé ñîâîêóïíîñòè èíäóêòèâíûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ èíäóêòèâíûì ìíîæåñòâîì.  ñàìîì äåëå, åäèíèöà ïðèíàäëåæèò êàæäîìó èç ìíîæåñòâ ýòîé ñîâîêóïíîñòè,à ïîýòîìó è èõ ïåðåñå÷åíèþ. Åñëè êàêîå-ëèáî ÷èñëî x ïðèíàäëåæèò ïåðåñå÷åíèþ, òî îíîïðèíàäëåæèò êàæäîìó èç ñîñòàâëÿþùèõ ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ.
Ïîñêîëüêó âñå ýòè ìíîæåñòâà èíäóêòèâíû, êàæäîìó èç íèõ ïðèíàäëåæèò è ÷èñëî x + 1. Ïîýòîìó x + 1 ïðèíàäëåæèò èõ ïåðåñå÷åíèþ.Èç äîêàçàííîãî, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ïåðåñå÷åíèå âñåõ èíäóêòèâíûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ èíäóêòèâíûì ìíîæåñòâîì. Ýòî ïåðåñå÷åíèå íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì N. Âûâåäåì åù¼ íåñêîëüêî ñâîéñòâ ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.(Ïðèíöèï ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè) Åñëè A ⊂ N è A èíäóêòèâíîå ìíîæåñòâî, òî A = N.Íàòóðàëüíûå ÷èñëà.Óòâåðæäåíèå 3.14.18Ýòî óòâåðæäåíèå ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà N, ñîãëàñíî êîòîðîìó Näîëæíî áûòü ïîäìíîæåñòâîì êàæäîãî èíäóêòèâíîãî ìíîæåñòâà è â òîì ÷èñëå A. Ñ äðóãîéñòîðîíû, ïî óñëîâèþ A ⊂ N. Òàêèì îáðàçîì, A = N.J×àñòî ïðèíöèï ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè èñïîëüçóåòñÿ â äðóãîé ôîðìóëèðîâêå: ïóñòüP (n) êàêîå-ëèáî óòâåðæäåíèå, êàñàþùååñÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n.
Åñëè P (1) èñòèííî,à èç èñòèííîñòè P (n) ñëåäóåò èñòèííîñòü P (n + 1), òî P (n) èñòèííî äëÿ âñåõ n ∈ N.Ýòà ôîðìóëèðîâêà, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíà ïðåäûäóùåé. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òîèç ïåðâîé ôîðìóëèðîâêè ñëåäóåò âòîðàÿ, äîñòàòî÷íî âçÿòü A = {n ∈ N | P (n)}. Äëÿäîêàçàòåëüñòâà îáðàòíîãî óòâåðæäåíèÿ îïðåäåëèì P (n), êàê óòâåðæäåíèå (n ∈ A).Äàííîå íàìè îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî àáñòðàêòíûì è íå äà¼ò ïðåäñòàâëåíèÿ î ñòðóêòóðå ýòîãî ìíîæåñòâà.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåòâûÿñíèòü, êàêèìè àðèôìåòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Îñíîâíûìèíñòðóìåíòîì ïðè å¼ äîêàçàòåëüñòâå áóäåò ñëóæèòü ïðèíöèï ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.(Î ñòðóêòóðå ìíîæåñòâà N)1◦. n > 1 äëÿ ëþáîãî n ∈ N;2◦. åñëè k è m íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî (k + m) ∈ N è km ∈ N;3◦. åñëè k ∈ N è k ̸= 1, òî (k − 1) ∈ N;4◦.
åñëè k è m íàòóðàëüíûå ÷èñëà è k < m, òî (m − k) ∈ N;5◦. äëÿ ëþáîãî k ∈ N íå ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, òàêîãî, ÷òî k < n < k + 1.1◦. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî A = {n ∈ N | n > 1} ⊂ N. Ïîêàæåì, ÷òî A èíäóêòèâíîå ìíîæåñòâî. Ïîñêîëüêó 1 > 1, åäèíèöà ïðèíàäëåæèò A. Åñëè êàêîå-ëèáîíàòóðàëüíîå ÷èñëî n ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A, òî n > 1 è, êàê ñëåäóåò èç ïîðÿäêîâûõñâîéñòâ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, n+1 > 1+1 > 1+0 = 1. Òî åñòü, (n+1) ∈ A. Òàêèì îáðàçîì, Aÿâëÿåòñÿ èíäóêòèâíûì ìíîæåñòâîì.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, A =N. Íî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî n > 1 äëÿ âñåõ n ∈ N.2◦. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì k+m. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî k ∈ N è ïîêàæåì, ÷òî (k+n) ∈ N äëÿ âñåõ n ∈ N. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Îïðåäåëèììíîæåñòâî A = {m ∈ N | (k + m) ∈ N} ⊂ N. Ïîñêîëüêó N èíäóêòèâíîå ìíîæåñòâîè k ∈ N, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî (k + 1) ∈ N. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî 1 ∈ A. Åñëè n ∈ A, òîïî îïðåäåëåíèþ A ÷èñëî k + n ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì. Èç èíäóêòèâíîñòè N ñëåäóåò, ÷òîk + (n + 1) = (k + n) + 1 ∈ N.
Ïîýòîìó n + 1 ∈ A. Òàêèì îáðàçîì, A èíäóêòèâíîåìíîæåñòâî è, êàê ñëåäñòâèå, A = N.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùåãîñÿ ïðîèçâåäåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ðàçíîîáðàçèÿ âòîðîé ôîðìóëèðîâêîé ïðèíöèïà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî k ∈ N è äîêàæåì èñòèííîñòü óòâåðæäåíèÿ P (n) =(kn ∈ N) äëÿ âñåõ n ∈ N.
P (1) èñòèííî, òàê êàê k · 1 = k ∈ N. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P (n)èñòèííî è ïîêàæåì, ÷òî èñòèííî óòâåðæäåíèå P (n + 1). Çàìåòèì, ÷òî k(n + 1) = kn + k.Òàê êàê kn ∈ N â ñèëó èñòèííîñòè P (n) è k ∈ N, èç ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû ñëåäóåò,÷òî k(n + 1) ∈ N, òî åñòü, óòâåðæäåíèå P (n + 1) èñòèííî.3◦. Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî òàê: (∀k ∈ N)((k ̸= 1) ⇒ (k − 1) ∈ N).Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî A = {x ∈ N | x = 1∨(x−1) ∈ N} ⊂ N. Óòâåðæäåíèå áóäåò äîêàçàíî,IÒåîðåìà 3.15.Äîêàçàòåëüñòâî.19åñëè ìû ïîêàæåì, ÷òî A = N. Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà A, 1 ∈ A.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òîn ∈ A, è ðàññìîòðèì ÷èñëî (n + 1). Òàê êàê A ⊂ N, n ∈ N. Ïîýòîìó íàòóðàëüíûì ÿâëÿåòñÿè ÷èñëî (n + 1) − 1 = n. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (n + 1) ∈ A. Òàêèì îáðàçîì, èç ïðèíöèïàìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî A = N.4◦. Âîñïîëüçóåìñÿ âòîðîé ôîðìóëèðîâêîé ïðèíöèïà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Îïðåäåëèì óòâåðæäåíèå P (k) ñëåäóþùèì îáðàçîì: (∀m ∈ N)((m > k) ⇒ (m − k) ∈ N). Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî k ∈ N óòâåðæäåíèå P (k) èñòèííî. P (1) èñòèííî â ñèëóóòâåðæäåíèÿ 3◦. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èñòèííî P (n), è äîêàæåì P (n + 1). Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî m > n + 1. Òàê êàê ïðè ýòîì m > n, èç P (n) ñëåäóåò, ÷òî(m − n) ∈ N.
Êðîìå òîãî, íåðàâåíñòâî m > n + 1 îçíà÷àåò, ÷òî m − n > 1. Ïîýòîìó èçóòâåðæäåíèÿ 3◦ âûòåêàåò, ÷òî m − (n + 1) = (m − n) − 1 ∈ N. Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèåP (n + 1) èñòèííî.5◦. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî k ∈ N èïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó k <n < k + 1. Ïîñêîëüêó n ∈ N è n > k , èç óòâåðæäåíèÿ 4◦ ñëåäóåò, ÷òî (n − k) ∈ N.  òî æåâðåìÿ, n − k < (k + 1) − k = 1, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óòâåðæäåíèþ 1◦. äîïîëíåíèå ê äîêàçàííîé òåîðåìå îòìåòèì åù¼ äâà ñâîéñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:åñëè n ∈ N, òî (−n) ̸∈ N è 1/n ̸∈ N.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
