1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 8
Текст из файла (страница 8)
. .Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî äîïóñêàåò îáà âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòàα−3 , ò.å., è íóëü, è åäèíèöó. ×òîáû óñòàíîâèòü ýòîò ôàêò, âñïîìíèì ôîðìóëó ñóììû ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè: 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . = 1. Åñëè α−3 = 1, òî α−k = 0 äëÿ âñåõíàòóðàëüíûõ k > 3. Åñëè æå α−3 = 0, òî α−k = 1 äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k > 3. Òàêèìîáðàçîì, ÷èñëî 0, 12510 èìååò äâà ïðåäñòàâëåíèÿ â äâîè÷íîé ñèñòåìå: 0, 0012 è 0, 0001(1)2.Íèêàêîãî ïðîòèâîðå÷èÿ çäåñü íåò, ïîñêîëüêó, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû äëÿ ñóììû ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, 0, 0012 = 0, 0001(1)2.Îïèñàííàÿ ñèòóàöèÿ, ñâÿçàííàÿ ñ íåîäíîçíà÷íîñòüþ çàïèñè ÷èñëà, âñòðå÷àåòñÿ âî âñåõïîçèöèîííûõ ñèñòåìàõ ñ÷èñëåíèÿ.
Íàïðèìåð, 5, 7(9)10 = 5, 810. Íåîäíîçíà÷íîñòü âîçíèêàåò,êîãäà â çàïèñè ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé ïîçèöèè ïîñëå çàïÿòîé è äî áåñêîíå÷íîñòè,ñòîèò ïîñëåäíÿÿ öèôðà èñïîëüçóåìîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ.Èíòåðåñíî åù¼ îòìåòèòü, ÷òî íåêîòîðûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà â îäíîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå äðîáè ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé, à â äðóãîé ñ áåñêîíå÷íûì.
Âîçüì¼ì, íàïðèìåð, ÷èñëî 1/3. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî 1/3 = 0, 3(3)10 =0, 13 .4 ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ4.1Ïîíÿòèå ÷èñëîâîé ïðÿìîé×àñòî â àíàëèçå èç ñîîáðàæåíèé íàãëÿäíîñòè áûâàåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ãåîìåòðè÷åñêèìè îáúåêòàìè. Ìû ïðåäñòàâëÿåì ñåáå ìíîæåñòâà â âèäå ôèãóð íà ïëîñêîñòè, ðèñóåìãðàôèêè ôóíêöèé è ò.ä.  ýòîì ïóíêòå ìû îòîæäåñòâèì âåùåñòâåííûå ÷èñëà ñ òî÷êàìèïðÿìîé ëèíèè.Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ è îòìåòèì íà íåé äâå ïðîèçâîëüíûå íåñîâïàäàþùèåòî÷êè, êîòîðûå íàçîâ¼ì 0 è 1.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðÿìàÿ ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé è ÷òîòî÷êà 1 ëåæèò ïðàâåå òî÷êè 0. Ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïðÿìîé ïðàâåå òî÷êè 0,íàçîâ¼ì ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñüþ, à ëåâåå îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñüþ. Òàêèì îáðàçîì,òî÷êà 1 ëåæèò íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè. Îòðåçîê ïðÿìîé, çàêëþ÷åííûé ìåæäó òî÷êàìè0 è 1, áóäåò çàäàâàòü ýòàëîí åäèíè÷íîé äëèíû. Èñïîëüçóÿ ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ (íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè áåç äåëåíèé), îòìåòèì íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñèòî÷êè òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå îò íèõ äî íóëÿ çàäàâàëîñü íàòóðàëüíûì ÷èñëîì. Àíàëîãè÷íî,íà îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè îòìåòèì òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå îòðèöàòåëüíûì öåëûì ÷èñëàì.
 ðåçóëüòàòå ýòîé ïðîöåäóðû ìû îòìåòèì íà ïðÿìîé òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå âñåìöåëûì ÷èñëàì. Ìû áóäåì èõ íàçûâàòü ñîîòâåòñòâóþùèì ÷èñëîì: òî÷êà 3, òî÷êà −5 è27ò.ä. Òàê êàê ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé ìû ìîæåì ðàçäåëèòü îòðåçîê ïðÿìîéíà ëþáîå ÷èñëî ðàâíûõ îòðåçêîâ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íàìè îòìå÷åíû è âñå òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàöèîíàëüíûì ÷èñëàì. Ìû òàêæå ïðèñâîèì èì íàçâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ÷èñåë. Íî íà ïðÿìîé åù¼ îñòàíóòñÿ òî÷êè, ðàññòîÿíèå îò êîòîðûõ äî íóëÿ ÿâëÿåòñÿ íåñîèçìåðèìûì ñ åäèíèöåé. Íàïðèìåð, êàê ìû óæå√ çíàåì, äëèíà ãèïîòåíóçû ïðÿìîóãîëüíîãîòðåóãîëüíèêà ñ åäèíè÷íûìè êàòåòàìè ðàâíà 2, à ýòî ÷èñëî ðàöèîíàëüíûì íå ÿâëÿåòñÿ.Ïðåæäå, ÷åì äîêàçàòü, ÷òî êàæäîé òî÷êå íà ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, ââåä¼ì íà ýòîé ïðÿìîé îòíîøåíèå ïîðÿäêà.
Ïóñòü x è y òî÷êè íà ïðÿìîé. Ñêàæåì, ÷òî x < y, åñëè òî÷êà x ëåæèò ëåâåå òî÷êè y. Èñïîëüçóÿ ýòî ñîãëàøåíèå,ìû ìîæåì âñþ òåðìèíîëîãèþ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ïðèìåíèòü ê òî÷êàì íà ïðÿìîé.Âîçüì¼ì íà ïðÿìîé ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó C , íå ÿâëÿþùóþñÿ ðàöèîíàëüíîé, è îïðåäåëèì äâà ìíîæåñòâà A è B ðàöèîíàëüíûõ òî÷åê, ëåæàùèõ ëåâåå è ïðàâåå òî÷êè C ñîîòâåòñòâåííî. Ïî àêñèîìå ïîëíîòû íàéä¼òñÿ âåùåñòâåííîå ÷èñëî c, òàêîå, ÷òî a 6 c 6 b äëÿâñåõ a ∈ A è âñåõ b ∈ B . Òàêîå ÷èñëî åäèíñòâåííî.
 ñàìîì äåëå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äâà ðàçëè÷íûõ ÷èñëà, îáëàäàþùèõ òàêèì ðàçäåëÿþùèì ñâîéñòâîì Ìåíüøåå èçýòèõ ÷èñåë îáîçíà÷èì ÷åðåç c1, à áîëüøåå ÷åðåç c2.  ñèëó óòâåðæäåíèÿ 3.26 ñóùåñòâóåòðàöèîíàëüíîå ÷èñëî c3, òàêîå, ÷òî c1 < c3 < c2. Òàêèì îáðàçîì, a 6 c1 < c3 < c2 6 b äëÿâñåõ a ∈ A è âñåõ b ∈ B , òî åñòü, c3 íå ïðèíàäëåæèò íè A, íè B .
Íî ìíîæåñòâî A ∪ Bñîäåðæèò âñå ðàöèîíàëüíûå òî÷êè. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü÷èñëà c. Ýòî ÷èñëî è ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå òî÷êå C .Èòàê, êàæäîé òî÷êå ïðÿìîé ìû ïîñòàâèëè â ñîîòâåòñòâèå êàêîå-ëèáî âåùåñòâåííîå÷èñëî. Ýòà ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâîé ïðÿìîé è îáîçíà÷àåòñÿ òàê æå, êàê è ìíîæåñòâîâåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ÷åðåç R.Âîîáùå ãîâîðÿ, òåïåðü íåîáõîäèìî åù¼ ïîêàçàòü, ÷òî êàæäîìó âåùåñòâåííîìó ÷èñëóñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé. Ýòîò ôàêò ñëåäóåò èç ñâîéñòâà íåïðåðûâíîñòèïðÿìîé, êîòîðîå àíàëîãè÷íî àêñèîìå ïîëíîòû äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë: åñëè ìíîæåñòâîA íà ïðÿìîé ëåæèò ëåâåå ìíîæåñòâà B , òî íà ïðÿìîé ñóùåñòâóåò òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäóýòèìè ìíîæåñòâàìè.
Ôàêòè÷åñêè ýòî ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî íà ïðÿìîé íåò ðàçðûâîâ. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ìû íà ïðÿìîé óæå îòìåòèëè. Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü èððàöèîíàëüíûå.Ïóñòü x êàêîå-ëèáî èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâà A = {p ∈ Q | p < x}è B = {p ∈ Q | p > x}. Òîãäà x åñòü åäèíñòâåííîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùååíåðàâåíñòâó a 6 x 6 b äëÿ âñåõ a ∈ A è b ∈ B . Íî ìíîæåñòâà A è B íà ïðÿìîé óæå îòìå÷åíû, ïðè÷¼ì A ëåæèò ëåâåå B . Èç íåïðåðûâíîñòè ïðÿìîé ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè,ëåæàùåé ìåæäó ýòèìè ìíîæåñòâàìè. Ýòó òî÷êó ìû è ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëó x.Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òàêèõ òî÷åê äâå, òî îíè ðàñïîëîæåíû íà ïîëîæèòåëüíîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà.
Ïîýòîìó ìåæäó íèìè äîëæíà íàéòèñü ðàöèîíàëüíàÿ òî÷êà, êîòîðàÿ,òàêèì îáðàçîì, íå ïðèíàäëåæèò íè A, íè B . À ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ìíîæåñòâîA ∪ B ñîäåðæèò âñå ðàöèîíàëüíûå òî÷êè.Õîòÿ â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì èñïîëüçîâàòü ãåîìåòðè÷åñêèé ÿçûê è ïðåäñòàâëÿòü ÷èñëà òî÷êàìè ÷èñëîâîé ïðÿìîé, ôîðìàëüíûå äîêàçàòåëüñòâà áóäóò îïèðàòüñÿ íààêñèîìàòèêó âåùåñòâåííûõ ÷èñåë è íà óæå äîêàçàííûå ôàêòû.4.2Òîïîëîãè÷åñêèå àñïåêòû ÷èñëîâîé ïðÿìîéÂâåä¼ì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} èíòåðâàë (èëè îòêðûòûé èíòåðâàë, îòêðûòûé ïðîìåæóòîê ), [a, b] = {x ∈ R | a 6 x 6 b} îòðåçîê(èëè çàìêíóòûé èíòåðâàë, çàìêíóòûé ïðîìåæóòîê ), [a, b) = {x ∈ R | a 6 x < b} è28 ïîëóèíòåðâàëû.
Èíòåðâàëû, îòðåçêè è ïîëóèíòåðâàëû áóäåì íàçûâàòü ïðîìåæóòêàìè è îáîçíà÷àòü ⟨a, b⟩. ×àñòî, ïî àíàëîãèè, ÷èñëîâóþ ïðÿìóþR îáîçíà÷àþò ÷åðåç (−∞, +∞).Äàäèì íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé. Îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x ∈ R íàçûâàåòñÿ ëþáîé èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé ýòó òî÷êó. Äëÿ êàæäîãî ε > 0 èíòåðâàë (x − ε, x + ε) íàçûâàåòñÿε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ñâîåéòî÷êîé îíî ñîäåðæèò è íåêîòîðóþ å¼ îêðåñòíîñòü. Ìíîæåñòâî A ⊂ R íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè ìíîæåñòâî R \ A îòêðûòî.a) Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ñ÷èòàåòñÿ îòêðûòûì ïî îïðåäåëåíèþ. ×èñëîâàÿïðÿìàÿ R, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì.á) Òàê êàê R \ ∅ = R è R \ R = ∅ îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ìíîæåñòâà ∅ è R ÿâëÿþòñÿòàêæå è çàìêíóòûìè.â) Ëþáîé èíòåðâàë (a, b) ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì, ïîñêîëüêó îí ñàì ÿâëÿåòñÿîêðåñòíîñòüþ ëþáîé ñâîåé òî÷êè.ã) Ëþáîé îòðåçîê [a, b] ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî A = R \[a, b]( = {x ∈ R | x) < a ∨ x > b} îòêðûòî.
 ñàìîì äåëå, åñëè, íàïðèìåð, x > b, òîx ∈ (x + b)/2, x + 1 ⊂ A.ä) Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü ÷òî òî÷êà ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì.ä) Ïîëóèíòåðâàë íå ÿâëÿåòñÿ íè çàìêíóòûì, íè îòêðûòûì ìíîæåñòâîì.•Äëèíîé ïðîìåæóòêà ⟨a, b⟩ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà (b − a). Åñëè I ïðîìåæóòîê, òî åãîäëèíó áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç |I|. Ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè a è b íàçûâàåòñÿ äëèíàïðîìåæóòêà ñ êîíöàìè a è b, êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, ðàâíà |a − b|.Ïóñòü X êàêîå-ëèáî ìíîæåñòâî (íå îáÿçàòåëüíî ÷èñëîâîå). Âñÿêîå îòîáðàæåíèå f :N → X íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X . Äëÿ êàæäîãî k ∈ Nîáîçíà÷èì ÷åðåç xk îáðàç ÷èñëà k ïðè îòîáðàæåíèè f .
Òàêèì îáðàçîì, xk ∈ X . Îáû÷íîäëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âìåñòî f èñïîëüçóþò îäíî èç ñëåäóþùèõ îáîçíà÷åíèé: {xk }k∈N,{xk , k ∈ N}, {xk }∞k=1 , èëè ïðîñòî {xk }, åñëè îáëàñòü èçìåíåíèÿ èíäåêñà k ÿñíà èç êîíòåêñòà.(Î âëîæåííûõ îòðåçêàõ) Åñëè {Ik } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðåçêîâ ÷èñëîâîé ïðÿìîé, òàêèõ, ÷òî I1 ⊃ I2 ⊃ . . .
⊃ Ik ⊃ . . . (ò.å., Ik ⊃ Ik+1 äëÿ âñåõ k ∈ N), òîñóùåñòâóåò òî÷êà c ∈ R, êîòîðàÿ ïðèíàäëåæèò âñåì ýòèì îòðåçêàì (ò.å., c ∈ ∩k∈NIk ).Áîëåå òîãî, åñëè äëÿ ëþáîãî ε ∈ R+ ñóùåñòâóåò kε ∈ N, òàêîå, ÷òî |Ik | < ε, òî c åäèíñòâåííàÿ òî÷êà â ∩k∈NIk .Ñíà÷àëà äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè c. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõîòðåçêîâ In = [an, bn] è Im = [am, bm] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Ik } ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîan 6 bm .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èëè áû, ÷òî am 6 bm < an 6 bn , òî åñòü, Im ∩In = ∅,à ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.
Èç ïîëíîòû ìíîæåñòâà R ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà c,ðàçäåëÿþùàÿ ìíîæåñòâà A = {ak | k ∈ N} è B = {bk | k ∈ N}. Òî åñòü, ak 6 c 6 bk äëÿâñåõ k ∈ N. Íî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî c ∈ Ik äëÿ âñåõ k ∈ N.Èññëåäóåì âîïðîñ î åäèíñòâåííîñòè òî÷êè c. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå òî÷êè,ïðèíàäëåæàùèå âñåì îòðåçêàì Ik . Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç c1 è c2 è âîçüì¼ì ε = (c2 − c1)/2.Ïî óñëîâèþ, äîëæåí ñóùåñòâîâàòü îòðåçîê Ik , äëèíà êîòîðîãî ìåíüøå ε. Íî òîãäà îí íåìîæåò ñîäåðæàòü è c1, è c2.
Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå, êîòîðîå è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ñèñòåìà ìíîæåñòâ S íàçûâàåòñÿ ïîêðûòèåì ìíîæåñòâà A, åñëè A ⊂ ∪U ∈S U . Òîåñòü, A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îáúåäèíåíèÿ âñåõ ìíîæåñòâ ñèñòåìû S . Åñëè S ′ ⊂ S(a, b] = {x ∈ R | a < x 6 b}Ïðèìåð 4.1.Òåîðåìà 4.2.εÄîêàçàòåëüñòâî.ε29è A ⊂ ∪U ∈S U , òî S ′ íàçûâàåòñÿ ïîäïîêðûòèåì ïîêðûòèÿ S . Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ëþáîåïîäïîêðûòèå ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ïîêðûòèåì ìíîæåñòâà. Åñëè ñèñòåìà S ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ, òî îíà íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì ïîêðûòèåì.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåé òåîðåìû íàì ïîòðåáóåòñÿ îäèí âñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò, êîòîðûé, âîîáùå ãîâîðÿ, àíàëîãè÷åí ïðèíöèïó Àðõèìåäà.Äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå nε ∈ N, ÷òî 1 < ε2n äëÿ âñåõ n > nε.I Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 3.20 ïðèíöèïà Àðõèìåäà ñóùåñòâóåò òàêîå nε ∈ N, ÷òî 1 < ε(n + 1) äëÿ âñåõ n > nε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
