1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (824676), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Òîãäà ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâîB ⊂ A. Åñëè b ∈ B , òî ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 6.8 ìíîæåñòâî B \ {b} ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì.Ïîýòîìó B ∼ B \{b}. Ïîñêîëüêó A = (A\B)∪B è A\{b} = (A\B)∪(B \{b}), ìû ïîëó÷àåì,÷òî A ∼ A\{b}. Òàêèì îáðàçîì, A ðàâíîìîùíî ñâîåìó ñîáñòâåííîìó ïîäìíîæåñòâó A\{b}.Ïóñòü òåïåðü ìíîæåñòâî A ∼ E , E ⊂ A è A \ E ̸= ∅. Ïîêàæåì, ÷òî A áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì. Òîãäà ñóùåñòâóåòòàêîå n ∈ N, ÷òî A ∼ Nn è ïîýòîìó A = {a1, . . .
, an}. ×òîáû ïîëó÷èòü ìíîæåñòâî E ,ìû äîëæíû îòáðîñèòü îäèí èëè íåñêîëüêî ÷ëåíîâ ìíîæåñòâà A, íàïðèìåð, ïîñëåäíèå:E = {a1 , . . . , am }, m < n. Ïîñêîëüêó A ∼ E , ìû â èòîãå ïîëó÷èì, ÷òî Nn ∼ Nm , ÷åãî,êîíå÷íî æå, áûòü íå ìîæåò. Ïîýòîìó ïðåäïîëîæåíèå î êîíå÷íîñòè ìíîæåñòâà A íåâåðíî.Òåîðåìà 6.10.Äîêàçàòåëüñòâî.Èçó÷èì äðóãèå ñâîéñòâà ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ.card (N × N) = card N.Êàæäîé ïàðå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (n, k) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëîF (n, k) = (2k − 1) · 2n−1 .
Ýòî îòîáðàæåíèå ìîæíî èçîáðàçèòü â âèäå òàáëèöû:Òåîðåìà 6.11.Äîêàçàòåëüñòâî.n k1234...11248...2361224...4135102040...47142856..................... êëåòêàõ çàïèñàíû çíà÷åíèÿ F (n, k). Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî â ïåðâîé ñòðîêå çàïèñàíûâñå íå÷¼òíûå ÷èñëà, à ÷èñëà èç ñëåäóþùèõ ñòðîê ïîëó÷àþòñÿ óäâîåíèåì ÷èñåë, ñòîÿùèõîäíîé ñòðîêîé âûøå.Ïîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå F : N × N → N ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Åñëè n1 ̸= n2, òîF (n1 , k) ̸= F (n2 , m) äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k è m.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â ðàçëîæåíèè÷èñåë F (n1, k) è F (n2, m) íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ïðèñóòñòâóåò ðàçíîå êîëè÷åñòâî äâîåê.Åñëè æå n1 = n2 è k ̸= m, òî, î÷åâèäíî, òàêæå F (n1, k) ̸= F (n2, m). Ïîýòîìó F âçàèìíîîäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå. Åãî ñþðúåêòèâíîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ëþáîå íàòóðàëüíîå÷èñëî ℓ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå (2k − 1) · 2n−1 äëÿ íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåëk è n. ×òîáû íàéòè ýòè ÷èñëà, áóäåì äåëèòü ℓ íà 2 äî òåõ ïîð, ïîêà íå îñòàíåòñÿ íå÷¼òíîå÷èñëî. Ýòî íå÷¼òíîå ÷èñëî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå (2k − 1), à êîëè÷åñòâî äåëåíèéíà 2 ðàâíî (n − 1). Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå F ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.Ñëåäñòâèå 6.12.Îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî íàáîðà ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ñ÷¼òíûììíîæåñòâîì.◃ Ñ÷¼òíóþ ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Ïóñòü∞{Xk }∞k=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ è X = ∪k=1 Xk . Òàê êàê X1 ⊂ X è X1 ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, card N = card X1 6 card X . Îñòà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òî card X 6 card N.Ìíîæåñòâà Xk ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ, ïîýòîìó îïðåäåëèì íîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîk−1æåñòâ {Yk }, òàêèõ, ÷òî Y1 = X1 è Yk = Xk \ ∪i=1Xi ïðè k > 2.
ßñíî, ÷òî ìíîæåñòâà Yk∞ìåæäó ñîáîé íå ïåðåñåêàþòñÿ è X = ∪ℓk=1Yk . Êàæäîå ìíîæåñòâî Yk ìîæåò áûòü ëèáî ñ÷¼òíûì, ëèáî êîíå÷íûì, ïîýòîìó Yk = ∪n=1{ykn}, ãäå ℓn ÿâëÿåòñÿ ëèáî íàòóðàëüíûì ÷èñëîì,ëèáî +∞. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî M = {(k, n) ∈ Nn× N | nk 6 ℓn} ⊂ N × N è îòîáðàæåíèåF : M → X , òàêîå, ÷òî F (k, n) = ykn . Ïîñêîëüêó yk ̸= yk ïðè (k1 , n1 ) ̸= (k2 , n2 ), îòîáðàæåíèå F ÿâëÿåòñÿ áèåêòèâíûì. Ñëåäîâàòåëüíî card X = card M 6 card (N × N) = card N.Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Øð¼äåðà Áåðíøòåéíà, ïîëó÷àåì, ÷òî card X =card N.▹card Q = card N.◃ Ìíîæåñòâî Q ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå Q+ ∪ {0} ∪ (−Q+ ), ãäå Q+ ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, à (−Q+) ìíîæåñòâî, ïðîòèâîïîëîæíîå ê Q+, òî åñòüìíîæåñòâî îòðèöàòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Òàê êàê (−Q+) ∼ Q+, ñëåäñòâèå áóäåòäîêàçàíî, åñëè ìû óñòàíîâèì, ÷òî Q+ ∼ N.Ìíîæåñòâî Q+ ñîñòîèò èç äðîáåé n/k, ãäå n è k íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Äëÿ êàæäîãîk ∈ N ââåä¼ì ìíîæåñòâî Qk = {n/k | n ∈ N}. Òî åñòü, Qk åñòü ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ÷èñåë, ó êîòîðûõ çíàìåíàòåëü ðàâåí k. Î÷åâèäíî, ÷òî Q+ = ∪∞k=1Qk . Êàæäîå ìíîæåñòâîQk ÿâëÿåòñÿ ñ÷¼òíûì, ïîýòîìó, êàê ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî ñëåäñòâèÿ, ñ÷¼òíûì ÿâëÿåòñÿè Q+ .▹Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñ÷¼òíî.•n1122Ñëåäñòâèå 6.13.Óïðàæíåíèå 6.14.6.3Ìíîæåñòâà ìîùíîñòè êîíòèíóóìàÑêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà, åñëè îíî ðàâíîìîùíî îòðåçêó [0, 1]÷èñëîâîé ïðÿìîé. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ëàòèíñêàÿ42áóêâà c.
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ, ñâÿçàííûõ ñ êîíêðåòíûìè ìíîæåñòâàìè ìîùíîñòè êîíòèíóóìà.Èíòåðâàë (0, 1) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì, ïîýòîìó ñëåäñòâèå 6.9âëå÷¼ò ðàâåíñòâà: card [0, 1] = card [0, 1) = card (0, 1] = card (0, 1).•Ëþáîé îòðåçîê [a, b] âåùåñòâåííîé ïðÿìîé èìååò ìîùíîñòü c.  ñàìîìäåëå, áèåêöèåé F : [a, b] → [0, 1] áóäåò ñëóæèòü îòîáðàæåíèå F (x) = (x − a)/(b − a).•Âñÿ âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ R èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.
Äåéñòâèòåëüíî,îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîìó âåùåñòâåííîìó ÷èñëó x ∈ R ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëîF (x) = x/(1 + |x|), ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé R íà èíòåðâàë (−1, 1), èìåþùèé ìîùíîñòü c. Äàëåå,ìû ïîêàæåì, ÷òî card R = c, ñ ïîìîùüþ äðóãèõ ðàññóæäåíèé.•Èçó÷èì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Ñíà÷àëà îòâåòèì íà âîïðîñ, íå ÿâëÿþòñÿ ëè ìíîæåñòâà ìîùíîñòè êîíòèíóóìà ñ÷¼òíûìè.(Âòîðàÿ òåîðåìà Êàíòîðà) card N < c.Ïðîâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî îò ïðîòèâíîãî. Òàê êàê Q ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, ñëåäñòâèå 6.8 ïîçâîëÿåò çàêëþ÷èòü, ÷òî ìíîæåñòâî Q ∩ [0, 1] òîæå ÿâëÿåòñÿ ñ÷¼òíûì.Ïîýòîìó card N 6 card [0, 1] = c. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî card [0, 1] = card N. Òîãäà îòðåçîê [0, 1]ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê: [0, 1] = {xk }k∈N.Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ îòðåçêîâ [0, 1] ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ .
. . Ik ⊃ . . . ,òàêèõ, ÷òî Ik íå ñîäåðæèò òî÷åê x1, x2, . . . , xk . Òàêîå ïîñòðîåíèå ìîæíî ïðîâåñòè ïî èíäóêöèè. Âî-ïåðâûõ, ñóùåñòâóåò îòðåçîê I1 ⊂ [0, 1], òàêîé, ÷òî x1 ̸∈ I1. Åñëè óæå ïîñòðîåíîòðåçîê Ik ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè, òî âîçüì¼ì â êà÷åñòâå Ik+1 êàêîé-íèáóäü îòðåçîê,ïðèíàäëåæàùèé Ik è íå ñîäåðæàùèé òî÷êó xk+1.Ïî òåîðåìå î âëîæåííûõ îòðåçêàõ ñóùåñòâóåò òî÷êà a ∈ [0, 1], òàêàÿ, ÷òî a ∈ ∩k∈NIk .Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâ Ik , a ̸= xk äëÿ âñåõ k ∈ N.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîãëàñíî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk }k∈N èñ÷åðïûâàåò âñå òî÷êè îòðåçêà [0, 1].Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó.Äî íàñòîÿùåãî√ìîìåíòà ìû óñòàíîâèëè ñóùåñòâîâàíèå òîëüêî îäíîãî èððàöèîíàëüíîãî÷èñëà, à èìåííî, 2. Ñåé÷àñ ìû ãîòîâû äîêàçàòü, ÷òî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë çíà÷èòåëüíîáîëüøå, ÷åì ðàöèîíàëüíûõ.Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñóùåñòâóþò.
Ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îòðåçêà [0, 1] èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.◃ Åñëè áû âñå ÷èñëà íà îòðåçêå [0, 1] áûëè ðàöèîíàëüíûìè, ìíîæåñòâî Q ∩ [0, 1] èìåëî áûìîùíîñòü êîíòèíóóìà. Íî ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê ðàíåå ìû óñòàíîâèëè ñ÷¼òíîñòü ýòîãîìíîæåñòâà.Äîêàæåì âòîðóþ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ. Ïóñòü A = [0, 1]\Q è Q[0,1] ìíîæåñòâà èððàöèîíàëüíûõ è ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë èç îòðåçêà [0, 1] ñîîòâåòñòâåííî. Ìíîæåñòâî A áåñêîíå÷íî,òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî A ∪ Q[0,1] = [0, 1] áûëî áû ñ÷¼òíûì, à ýòî íå òàê.Òîãäà èç ñëåäñòâèÿ 6.9 âûòåêàåò, ÷òî card A = card (A ∪ Q[0,1]) = card [0, 1] = c.▹Ïðèìåð 6.15.Ïðèìåð 6.16.Ïðèìåð 6.17.Òåîðåìà 6.18.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñëåäñòâèå 6.19.Ïóñòü A ìíîæåñòâî ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, à B åãî ñ÷¼òíîåïîäìíîæåñòâî.
Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî A \ B èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.•Óïðàæíåíèå 6.20.43Åñëè A è B íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, òî card (A ∪ B) = c.Ñóùåñòâóþò áèåêöèè F : A → [0, 1/2) è F : B → [1/2, 1]. Òàê êàêA ∩ B = ∅, îòîáðàæåíèå F : A ∪ B → [0, 1], òàêîå, ÷òî F (x) = F (x) ïðè x ∈ A èF (x) = F (x) ïðè x ∈ B , ÿâëÿåòñÿ áèåêòèâíûì. Ñëåäîâàòåëüíî card (A ∪ B) = c.Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè {Xk }k∈N ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ ìîùíîñòè êîíòèíóóìà, òî èõ îáúåäèíåíèå òîæå èìååò ìîùíîñòü c. Äîñòàòî÷íîðàññìîòðåòü áèåêöèè Fk : Xk → (1/(k + 1), 1/k], k ∈ N.
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò óæåóñòàíîâëåííûé íàìè ðàíåå ôàêò: ìíîæåñòâî R = ∪n∈Z(n, n + 1] èìååò ìîùíîñòü c.()card [0, 1] × [0, 1] = card [0, 1] = c.()Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî card [0, 1) × [0, 1) = card [0, 1) = c. Áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëà x ∈ [0, 1) â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè: x = 0, x1x2x3 . .
.. Çäåñüxk îçíà÷àþò öèôðû îò 0 äî 9. Êàê ìû óæå îòìå÷àëè â ïóíêòå 3.4, âñòðå÷àþòñÿ ÷èñëà, äëÿêîòîðûõ òàêîå ïðåäñòàâëåíèå îïðåäåëåíî íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Åñëè ó äåñÿòè÷íîéäðîáè íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîé ïîçèöèè ñòîÿò äåâÿòêè, òî ýòà äðîáü áóäåò çàäàâàòü òî æåñàìîå ÷èñëî, åñëè ìû çàìåíèì âñå ýòè äåâÿòêè íà íóëè, à ê öèôðå íà ïðåäûäóùåé ïîçèöèè äîáàâèì åäèíèöó. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëÿòü ÷èñëî äåñÿòè÷íîé äðîáüþ îäíîçíà÷íî,äîãîâîðèìñÿ èñïîëüçîâàòü òîëüêî òî ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì öèôðà 9 íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì.Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå F : [0, 1) × [0, 1) → [0, 1) ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè (x, y) ∈[0, 1) × [0, 1), òî F (x, y) = 0, x1 y1 x2 y2 x3 y3 .
. . . Òî åñòü, íà íå÷¼òíûõ ìåñòàõ ìû ðàññòàâèìöèôðû èç äåñÿòè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñëà x, à íà ÷¼òíûõ ÷èñëà y. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî F ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì. Åãî îáëàñòü çíà÷åíèé, îäíàêî,íå ñîâïàäàåò ñ [0, 1). Íàïðèìåð, ÷èñëî, ó êîòîðîãî íà ÷¼òíûõ ìåñòàõ ñòîÿò äåâÿòêè, â ñîîòâåòñòâèè ñ íàøåé äîãîâîð¼ííîñòüþ î åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ íå èìååò ïðîîáðàçàâ [0, 1)( × [0, 1). Òåì) íå ìåíåå, F ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé èç [0, 1) × [0, 1) â im F ⊂ [0, 1). Ïîýòîìócard [0, 1) × [0, 1) 6 card [0, 1) = c.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ëåãêî ïîñòðîèòü áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå G ïîëóèíòåðâàëà [0, 1) âíåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî êâàäðàòà [0, 1) × [0, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
