1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Заметим, чтоω(f, E) = sup f (x) − inf f (x).x∈Ex∈EТеорема. (Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции по Риману)Для того, чтобы функция f : [a, b] → R была интегрируема по Риману,необходимо иPдостаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало δ > 0, такое, что nk=1 ω(f, Ak ) αk < εдля любого разбиения P , удовлетворяющего условию λ(P ) < δ.•Следствие. Если функция f : [a, b] → R непрерывна, то f ∈ Rim[a, b].•Пусть E ⊂ R. Функция f называется ограниченной, если существует число K ∈ R+ , такое,что |f (x)| 6 K для всех x ∈ E.Теорема. (Необходимое условие интегрируемости функции по Риману)Если f ∈ Rim[a, b], то f — ограниченная функция на [a, b].•Теорема.
Если функция f : [a, b] → R ограничена и имеет конечное число точек разрыва, то f ∈ Rim[a, b].•Существуют интегрируемы по Риману¡ функции,¢ имеющие бесконечное число точек разрыва. Например, функция f (x) = sgn sin(1/x) интегрируема на отрезке [0, 1].Теорема.Если функция f : [a, b] → R монотонна и ограничена, то f ∈ Rim[a, b].•Теорема. (Линейность определённого интеграла)Если f, g ∈ Rim[a, b] и µ ∈ R, то (f + g) ∈ Rim[a, b], (µf ) ∈ Rim[a, b] иZbaZ bZ b¡¢f (x) + g(x) dx =f (x) dx +g(x) dxaaZ bZ bµf (x) dx = µf (x) dx.aТеорема.Лемма.•aЕсли f, g ∈ Rim[a, b], то |f | ∈ Rim[a, b] и (f g) ∈ Rim[a, b].Если f ∈ Rim[a, b], то f ∈ Rim[c, d] для любого отрезка [c, d] ⊂ [a, b].36••Теорема.
(Аддитивность интеграла Римана) Если f ∈ Rim[a, b] и c ∈ (a, b), тоZ bZ cZ bf (x) dx =f (x) dx +f (x) dx.aaПусть c, d ∈ R и c < d. Положим по определениюZ cZ cZf (x) dx = 0,f (x) dx = −cddf (x) dx.cСледствие. Пусть f ∈ Rim[a, b] и α, β, γ ∈ [a, b]. ТогдаZ βZ γZ αf (x) dx +f (x) dx +f (x) dx = 0.α•cβ•γТеорема. (Монотонность интеграла Римана) Если f, g ∈ Rim[a, b] и f (x) 6 g(x) длявсех x ∈ [a, b], тоZ bZ bf (x) dx 6g(x) dx.•aaRbСледствие. Пусть f ∈ Rim[a, b], a 6 b и f > 0 на [a, b]. Тогда a f (x) dx > 0.¯Rb¯ RbСледствие.
Пусть f ∈ Rim[a, b] и a 6 b. Тогда ¯ a f (x) dx¯ 6 a |f (x)| dx.••Следствие. Пусть f ∈ Rim[a, b], a 6 b, m = inf x∈[a,b] f (x) и M = supx∈[a,b] f (x). ТогдаZbm (b − a) 6f (x) dx 6 M (b − a).•aТеорема. (Первая теорема о среднем) Пусть f, g ∈ Rim[a, b], g > 0 (или g 6 0) на [a, b],m = inf x∈[a,b] f (x) и M = supx∈[a,b] f (x). Тогда существует число µ ∈ [m, M ], такое, чтоZZbbf (x) g(x) dx = µag(x) dx.aЕсли функция f непрерывна на [a, b], то существует точка ξ ∈ [a, b], такая, чтоZ bZ bf (x) g(x) dx = f (ξ)g(x) dx.a•aПусть E ⊂ R. Функция f : E → R называется непрерывной по Гёльдеру с показателемα ∈ (0, 1), если существует число K ∈ R+ , такое, что |f (x) − f (y)| 6 K|x − y|α для всехx, y ∈ E, удовлетворяющих неравенству |x − y| 6 1.
Число K называется постояннойГёльдера функции f . Множество таких функций обозначается через C α (E) (или C 0,α (E)).Функция f : E → R называется непрерывной по Липшицу, если существует число K ∈ R+ ,такое, что |f (x) − f (y)| 6 K|x − y| для всех x, y ∈ E, удовлетворяющих неравенству|x − y| 6 1. Число K называется постоянной Липшица функции f . Множество такихфункций обозначается через Lip(E) (или C 0,1 (E)).37Нетрудно проверить, что Lip(E) ⊂ C α (E) ⊂ C(E), где C(E) — множество непрерывныхна E функций.RxЛемма.
Если f ∈ Rim[a, b], то функция F (x) = a f (t) dt принадлежит Lip[a, b], т.е.,является непрерывной на [a, b].•Лемма. Пусть f, g ∈ Rim[a, b], g — неотрицательная и невозрастающая на [a, b] функция.Тогда существует ξ ∈ [a, b], такое, чтоZ bZ ξf (x) g(x) dx = g(a)f (x) dx.•aaТеорема. (Вторая теорема о среднем) Пусть f, g ∈ Rim[a, b] и функция g монотонна.Тогда существует число ξ ∈ [a, b], такое, чтоZ bZ ξZ bf (x) g(x) dx = g(a)f (x) dx + g(b)f (x) dx.•aaξТеорема.Пусть f ∈ Rim[a, b] и f непрерывна в точке x0 ∈ [a, b].
Тогда функция F (x) =Rxf (t) dt дифференцируема в точке x0 и F 0 (x0 ) = f (x0 ).•aRxСледствие. Если f ∈ C[a, b], то функция F (x) = a f (t) dt дифференцируема на [a, b] иF 0 (x) = f (x) для всех x ∈ [a, b].•Следствие. Если Rf ∈ Rim[a, b] и f имеет конечное (или счётное) число точек разрыва,xто функция F (x) = a f (t) dt является первообразной функции f на отрезке [a, b].•Теорема. (Формула Ньютона — Лейбница) Если f ∈ Rim[a, b], f имеет конечное (илисчётное) число точек разрыва и Fe — какая-либо первообразная функции f на [a, b], тоZ bf (x) dx = Fe(b) − Fe(a).•aТеорема.
(Формула интегрирования по частям) Если функции f и g непрерывно дифференцируемы на [a, b], тоZ bZ b0f (x) g (x) dx = f (b) g(b) − f (a) g(a) −f 0 (x) g(x) dx.•aa¯x=bРазность f (b)−f (a) часто обозначают через f (x)¯x=a или, если исключена путаница, через¯bf (x)¯ . Таким образом, формулу интегрирования по частям можно записать так:aZba¯bf (x) g (x) dx = f (x) g(x)¯a −Zb0f 0 (x) g(x) dx.aТеорема. (Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме)Пусть f : [a, b] → R — n раз непрерывно дифференцируемая функция и x0 ∈ [a, b].
ТогдаZ xn−1X11 (k)kf (x0 ) (x − x0 ) +f (n) (t) (x − t)n−1 dtf (x) =k!(n−1)!x0k=038для всех x ∈ [a, b].•Теорема. (Формула замены переменной для непрерывных функций) Если ϕ — непрерывно дифференцируемое отображение отрезка [α, β] на отрезок [a, b], такое, что ϕ(α) = a иϕ(β) = b, то для любой функции f ∈ C[a, b] справедливо равенство:ZZbβ¡¢f ϕ(t) ϕ0 (t) dt.f (x) dx =a•αТеорема. (Формула замены переменной для интегрируемых функций) Если ϕ — непрерывно дифференцируемое строго монотонное отображение отрезка [α, β] на отрезок [a, b],то для любой функции f ∈ Rim[a, b] справедливо равенство:ZZϕ(β)βf (x) dx =ϕ(α)¡¢f ϕ(t) ϕ0 (t) dt.•α§ 6.3. Несобственные интегралы.Обобщим понятие интеграла Римана, определив его на бесконечном промежутке и отнеограниченных функций.
Такие обобщения носят название несобственных интегралов.Определение. Пусть f : [a, +∞) → R, f ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ [a, +∞) и сущеRbствует предел limb→+∞ a f (x) dx. Тогда этот предел называется несобственным интеграR +∞лом от функции f по промежутку [a, +∞) и обозначается a f (x) dx.•RaR +∞Аналогично определяется несобственный интеграл −∞ f (x) dx, а −∞ f (x) dx определимRaR +∞как сумму −∞ f (x) dx + a f (x) dx, где a — произвольное вещественное число.R +∞Упражнение.
Покажите, что данное определение интеграла −∞ f (x) dx корректно,RaR +∞т.е., результат вычисления суммы −∞ f (x) dx + a f (x) dx не зависит от выбора числаa.•−αПример. Рассмотрим функциюR +∞ f (x) = x , α > 0, на промежутке [1, ∞). Если α > 1,то несобственный интеграл 1 f (x) dx существует:Z+∞1Если же α ∈ [0, 1], тоZ11dx=xαα−1при α > 1.b1dx → +∞ при b → +∞,α1 xR +∞то есть, в этом случае несобственный интеграл 1 f (x) dx не существует.•Определение.
Пусть f : [a, b) → R,R c f (x) → ∞ при x → b−, f ∈ Rim[a, c] для каждогоc ∈ [a, b) и существует предел limc→b− a f (x) dx. Тогда этот предел называется несобственRbным интегралом от функции f по промежутку [a, b) и обозначается a f (x) dx.•Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда f (x) → ∞ при x → a+.Если же f (x) → ∞ при x → x0 − или при x → x0 +, то определим несобственный интеграл39RbRxRbf (x) dx как сумму a 0 f (x) dx + x0 f (x) dx.
Заметим, что каждый интеграл в этой суммедолжен существовать.aПример. Рассмотрим функциюf (x) = x−α , α > 0, на промежутке (0, 1]. Если α ∈ [0, 1),R1то несобственный интеграл 0 f (x) dx существует:ZЕсли же α > 1, то1011dx =αx1−αZ1при α ∈ [0, 1).1dx → +∞ при c → 0+,αc xR1то есть, в этом случае несобственный интеграл 0 f (x) dx не существует.•Оба типа несобственных интегралов определяются через предел, поэтому если несобственный интеграл существует, то говорят, что он сходится, а если не существует, то — расходится.Далее, оба типа несобственных интегралов можно рассматривать по одной схеме. Пустьf : [a, ω) → R и реализуется одна из следующих ситуаций:1.
ω = +∞,2. ω ∈ (a, +∞) и f (x) → ∞ при x → ω−.Тогда мы будем говорить о несобственном интегралеRωaf (x) dx.Теорема. (Признак сравнения)Пусть f, g : [a, ω) → R и 0 6 f 6 g на [a, ω). ТогдаRω1. если несобственныйинтеграл a g(x) dx сходится, то сходится несобственный интеRωграл a f (x) dx;Rω2. если несобственныйинтеграл a f (x) dx расходится, то расходится несобственныйRωинтеграл a g(x) dx.Теорема. (Интегральный признак сходимости числовых рядов) Если f :R[1, +∞) →+∞R — неотрицательная невозрастающая функция, тоPнесобственный интеграл 1 f (x) dxсходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ∞•k=1 f (k).Теорема. (Критерий Коши)Пусть f ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, ω).
Для того, чтобыRωнесобственный интеграл a f (x) dx сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого¯Rb¯ε > 0 существовало такое число b ∈ (a, ω), что ¯ b12 f (x) dx¯ < ε для всех b1 , b2 ∈ (b, ω). •RωГоворят,чтонесобственныйинтегралf (x) dx сходится абсолютно, если сходится интеaRωграл a |f (x)| dx. Говорят, что несобственный интеграл сходится условно, если он сходится, но не сходится абсолютно. Как следует из признака сравнения, из абсолютной следуетусловная сходимость несобственного интеграла.Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
