1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда функцияf −1 дифференцируема в точке f (x0 ) и¡¢(f −1 )0 f (x0 ) =1f 0 (x0).•Скажем, что функция дифференцируема на множестве E, если она дифференцируема вкаждой точке этого множества.26Пусть функция f дифференцируема на (a, b). Тогда мы можем определить функцию,которая каждой точке x интервала (a, b) ставит в соответствие f 0 (x). Если полученнаяфункция f 0 дифференцируема, мы можем её продифференцировать и получить функцию(f 0 )0 , называемую второй производной функции f . Действуя далее по такой же схеме, мыможем определить производную функции f любого порядка. Производные порядка k обоkзначаются f (k) или ddxfk .
Для производных второго и третьего порядка используются ещёобозначения f 00 и f 000 соответственно. Кроме того, под f (0) (производная нулевого порядка)понимают саму функцию f .Пусть E — интервал. Через C k (E) обозначается множество функций, имеющих на E непрерывные производные порядка k.
Множество C 0 (E), обозначаемое обычно через C(E), естьмножество непрерывных на E функций. Через C ∞ (E) обозначается множество функций,имеющих на E непрерывные производные любого порядка k ∈ N.Упражнение. Доказать формулы:¡¢0f1 f2 · · · fn = f10 f2 · · · fn + f1 f20 · · · fn + · · · + f1 f2 · · · fn0 ,(n)(f g)=nXCnm f (n−m) g (m) .•m=0§ 5.2. Классические теоремы дифференциального исчисления.Пусть f : (a, b) → R.
Точка x0 ∈ (a, b) называется точкой локального максимума (локального минимума)функцииf , если существует такая окрестность U этой точки, что¡¢f (x0 ) > f (x) f (x0 ) 6 f (x) для всех x ∈ U .Если x0 — точка локального минимума или максимума, она называется точкой локальногоэкстремума.Пусть f : (a, b) → R. Точка x0 ∈ (a, b) называется точкой строго локального максимума(строго локального минимума)функцииf , если существует такая окрестность U этой¡¢точки, что f (x0 ) > f (x) f (x0 ) < f (x) для всех x ∈ U \ {x0 }.Теорема.
(Ферма) Пусть f : (a, b) → R — дифференцируемая функция. Если x0 ∈ (a, b)есть точка локального экстремума функции f , то f 0 (x0 ) = 0.•Теорема. (Ролль) Пусть f : [a, b] → R — непрерывная функция, дифференцируемая на(a, b). Если f (a) = f (b), то существует такая точка x0 ∈ (a, b), что f 0 (x0 ) = 0.•Теорема.
(Теорема Лагранжа о конечных приращениях) Пусть f : (A, B) → R — дифференцируемая функция. Тогда для любой интервал (a, b) ⊂ (A, B) содержит такую точкуξ, что f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a).•¡Следствие.Пусть f : (a, b) → R — дифференцируемая функция. Если f 0 (x) > 0 f 0 (x) >¢0 для всех x ∈ (a, b), то f — возрастающая (неубывающая) на (a, b) функция.•Следствие. Пусть f : (a, b) → R — дифференцируемая функция. Для того, чтобы f былапостоянной на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы f 0 (x) = 0 для всех x ∈ (a, b).•Теорема. (Теорема Коши о конечных приращениях) Пусть f : (A, B) → R и g : (A, B) →R — дифференцируемые¡ функции.
¢Тогда для(a, b) ⊂ (A, B) содержит¡ любой интервал¢такую точку ξ, что g 0 (ξ) f (b) − f (a) = f 0 (ξ) g(b) − g(a) .•27Пусть функция f : R → R — гладкая функция, т.е. она имеет производные любого порядка, какой нам потребуется. Зафиксируем какую-либо точку x0 и составим полиномnX 11Pn (f, x, x0 ) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + . . . + f (n) (x0 )(x − x0 )n =f (k) (x0 )(x − x0 )k .n!k!k=00Для того, чтобы ответить на вопрос, насколько близки значения f (x) и Pn (f, x, x0 ), мыдолжны оценить rn (f, x, x0 ) = f (x) − Pn (f, x, x0 ). Если rn (f, x, x0 ) получится малым вкаком-то смысле, то мы сможем пользоваться формулой Тейлора:nX1 (k)f (x) =f (x0 )(x − x0 )k + rn (f, x, x0 ).k!k=0При x0 = 0 формула Тейлора часто называется формулой Маклорена. Функция rn (f, x, x0 )называется остаточным членом в формуле Тейлора.
Таким образом, Pn (f, x, x0 ) → f (x)при n → ∞ тогда и только тогда, когда rn (f, x, x0 ) → 0 при n → ∞.Введем обозначения:(Ia,x =((a, x), x > a,(x, a), x < a,I a,x =[a, x], x > a,[x, a], x < a,Теорема. Пусть f : (A, B) → R — (n + 1) раз дифференцируемая функция и x0 ∈ (A, B).Тогда для любого x ∈ (A, B) и любой функции ϕ, непрерывной на I x0 ,x , дифференцируемой на Ix0 ,x и такой, что ϕ0 6= 0 на Ix0 ,x , существует такая точка ξ ∈ Ix0 ,x , чтоrn (f, x, x0 ) =ϕ(x) − ϕ(x0 ) (n+1)f(ξ)(x − ξ)n .n! ϕ0 (ξ)•Возьмем ϕ(t) = x − t.
Тогдаrn (f, x, x0 ) =(x − x0 ) (n+1)f(ξ)(x − ξ)nn!— остаточный член в форме Коши.Возьмем ϕ(t) = (x − t)n+1 . Тогдаrn (f, x, x0 ) =1f (n+1) (ξ)(x − x0 )n+1(n + 1)!— остаточный член в форме Лагранжа.Лемма. Если ϕ : (A, B) → R — n раз дифференцируемая функция, 0 ∈ (A, B) и ϕ(0) =ϕ0 (0) = . . . = ϕ(n) = 0, то ϕ(x) = o(|x|n ) при x → 0.•Теорема. (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано) Пусть f : (A, B) → R— n раз дифференцируемая функция и a ∈ (A, B). ТогдаnX1 (k)f (x0 )(x − x0 )k + o(|x − x0 |n ) при x → x0 .f (x) =k!k=0•Пример. Разложение функции ex по формуле Тейлора в точке x0 = 0 с остаточнымчленом в форме Лагранжа:nXeξ xn+1xkx+,e =k! (n + 1)!k=028где ξ ∈ I0,x . Переходя в этом равенстве к пределу при n → ∞, мы получим разложениефункции ex в ряд Тейлора в точке 0:ex =∞Xxkk=0k!.В частности, при x = 1 получим представление для числа e: e =Теорема.P∞1k=0 k! .Число e иррационально.••Пусть f : R → R — бесконечно дифференцируемая функция. Ряд∞X1 (k)f (x0 )(x − x0 )kk!k=0называется рядом Тейлора функции f в точке x0 .Пример.sin x =∞X(−1)kx2k+1(2k+1)!k=0Этот ряд сходится абсолютно для любого x ∈ R.Пример.cos x =∞X(−1)kk=0(2k)!•x2kЭтот ряд сходится абсолютно для любого x ∈ R.•Пример.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых кним не сходится. Рассмотрим функцию³´exp − 1 , x 6= 0,f (x) =x20,x = 0.Нетрудно проверить, что f ∈ C ∞ (R). Кроме того, f (k) (0) = 0 для всех k ∈ N. ПоэтомуPn (f, x, 0) = 0 для всех x ∈ R и всех n ∈ N. Но f 6≡ 0 на R (эта функция обращается внуль только в точке x = 0), поэтому Pn (f, x, 0) 6→ f (x) при n → ∞, если x 6= 0.•Пример.
(Неравенство Бернулли) Если α ∈ [1, ∞), то (1 + x)α > 1 + αx для всех x ∈[−1, ∞).•Пример. (Подстановка разложений)sin(sin x) = x −x3 x5++ o(x5 )310при x → 0.•§ 5.3. Степенные ряды.Мы будем рассматривать ряды с комплексными членами. Их сходимость определяется также, как для вещественных рядов (через сходимость последовательности частичных сумм).Скажем, что последовательность комплексных чисел {zk } сходится к z0 ∈ C (zk → z0 ), если29|zk − z0 | → 0 при k → ∞. Если zk = xk + iyk и z0 = x0 + iy0 , где xk , yk , x0 , y0 ∈ R, то zk → z0тогда и только тогда, когда xk → x0 и yk → y0 .Пусть {ak } — последовательность комплексных чисел и z0 ∈ C. Ряд вида∞Xak (z − z0 )kk=0называется степенны́м.Теорема.
Если степенной ряд сходится в некоторой точке z1 6= z0 , то он сходится абсолютно в каждой точке открытого круга {z ∈ C | |z − z0 | < |z1 − z0 |}.Если степенной ряд расходится в некоторой точке z1 , то он расходится в каждой точкеz ∈ C, удовлетворяющей неравенству |z − z0 | > |z1 − z0 |.•Таким образом, множество точек, в которых степенной ряд сходится, представляет собойкруг с центром в точке z0 . Радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда.Другими словами, радиусом сходимости степенного ряда называется такое вещественноечисло R, что ряд сходится в круге {z ∈ C | |z − z0 | < R} и расходится в некоторой точкевне него.Как следует из последней теоремы, R = sup{α ∈ R+ | ряд сходится в круге |z − z0 | < α}.pТеорема.
(Коши — Адамар) R = α−1 , где α = lim k |ak |.•k→∞Пример. Радиус сходимости равен 1 для следующих рядов:∞Xk=0kz ,∞Xzkk=0k,∞Xzkk=0k2,∞X(z − 3)k .•k=0По аналогии с функциями вещественной переменной определим следующие функции комплексной переменной:ze =∞Xzkk=0k!,∞X(−1)k 2k+1sin z =z,(2k+1)!k=0cos z =∞X(−1)kk=0(2k)!z 2k .Радиус сходимости этих рядов равен +∞, т.е., они сходятся абсолютно во всей комплекснойплоскости C.ez1 +z2 = ez1 ez2 для всех z1 , z2 ∈ C.•P∞ z kЭто свойство оправдывает обозначение ряда k=0 k! в виде показательной функции. Заметим, чтоeiz = cos z + i sin z.Утверждение.В частности, если z = ϕ ∈ R, то мы получаем формулу Эйлера:eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.Другое важное свойство показательной функции состоит в том, что eiϕ = e−iϕ и, какследствие, |eiϕ | = 1 для всех ϕ ∈ R.30§ 5.4.
Исследование поведения функций.Теорема. Пусть функция f : (a, b) → R дифференцируема в каждой точке x ∈ (a, b).Для того, чтобы f была неубывающей на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы f 0 (x) > 0для всех x ∈ (a, b).•Если f — возрастающая функция, то f 0 > 0. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Однако, если f 0 > 0, то f — возрастающая.Теорема. Пусть функция f : (a, b) → R дифференцируема и ξ ∈ (a, b). Если f 0 (x) < 0при x ∈ (a, ξ) и f 0 (x) > 0 при x ∈ (ξ, b), то ξ — точка минимума функции f .•Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
