1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Таким образом, подпокрытиетакже является покрытием. Покрытие {Aα }α∈I называется конечным, если I — конечноемножество.Множество K ⊂ Rn называется компактным (или компактом), если из любого его открытого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие. Другими словами, если {Aα }α∈I— открытое покрытие множества K, то существует конечное множество I 0 ⊂ I, такое, чтоK ⊂ ∪α∈I 0 Aα .Теорема.Любой замкнутый куб в Rn является компактным множеством.•Множество A ⊂ Rn называется ограниченным, если существует r ∈ R+ , такое, что A ⊂B(0, r).Теорема.

(Гейне — Борель) Для того, чтобы множество в Rn было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.•Примеры. Сфера и замкнутый шар в Rn являются компактами. Открытый шар и всёпространство Rn компактами не являются.•Последовательности точек в Rn .Говорят, что последовательность точек {xk } в Rn сходится к точке a, если для любойокрестности U (a) точки a существует N ∈ N, такое, что xk ∈ U (a) для всех k > N .Утверждение.

Последовательность точек {xk } в Rn сходится к точке a тогда и толькотогда, когда для любого ε > 0 существует такое N ∈ N, что xk ∈ B(a, ε) для всех k > N .•Теорема. Для того, чтобы ограниченная последовательность точек {xk } в Rn сходилась,необходимо и достаточно, чтобы она имела ровно одну предельную точку.•Теорема. Для того, чтобы последовательность точек {xk } в Rn сходилась к точке a,необходимо и достаточно, чтобы xki → ai при k → ∞ для каждого i = 1, 2, .

. . , n. Здесь•xk = (xk1 , xk2 , . . . , xkn ).Упражнение. Каждая ограниченная последовательность точек в Rn содержит сходящуюся подпоследовательность.Указание: воспользоваться теоремой Больцано — Вейерштрасса для последовательностей.•45Упражнение. Пусть A — замкнутое множество в Rn и {xk } — сходящаяся к точке aпоследовательность точек из A.

Доказать, что a ∈ A.•Последовательность точек {xk } в Rn называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого ε > 0 существует такое N ∈ N, что |xk − xm | < ε длявсех k, m > N .Теорема. (Критерий Коши) Для того, чтобы последовательность точек {xk } в Rn сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.•§ 7.2. Функции многих переменных.Мы будем изучать функции, действующие из некоторого множества X ⊂ Rn в Rm . Неисключается и случай X = Rn .

Такие функции ещё называю вектор-функциями, так каких значениями являются векторы.Проколотой окрестностью точки a ∈ Rn называется множество вида U (a) \ {a}, где◦U (a) — окрестность точки a. Проколотая окрестность обозначается U (a).

Для краткости◦◦положим U X (a) = U (a) ∩ X, UX (a) = U (a) ∩ X.Пусть f : X → Rm и a ∈ X. Вектор b ∈ Rm называется пределом функции f в точке a(обозначается lim f (x) = b), если для любой окрестности U (b) точки b (в Rm ) существуетx→a◦¡◦¢проколотая окрестность U X (a) точки a, такая, что f U X (a) ⊂ U (b).Упражнение. Доказать, что вектор b ∈ Rm является пределом функции f : X → Rmв точке a тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что|f (x) − b| < ε для всех x ∈ X, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ.•Теорема. Предел функции в точке определён единственным образом, то есть, Если векторы b1 и b2 являются пределами функции f в точке a, то b1 = b2 .•Теорема.

Необходимо быть осторожным с вычислением предела функции многих переменных. Может случиться так, что пределы функции по каждой переменной существуюти даже равны, но сам предел функции в этой точке не существует. Например, рассмотримскалярную функцию f : R2 → R двух переменных : xx 1 2 , (x1 , x2 ) 6= (0, 0),22f (x1 , x2 ) = x1 + x20,x1 = x2 = 0.Нетрудно видеть, что limx1 →0 f (x1 , 0) = limx2 →0 f (0, x2 ) = 0, однако эта функция не имеетпредела при (x1 , x2 ) → (0, 0).•Пусть f : X →¡ Rm .

Колебаниемфункции f на множестве E ⊂ X называется величина¢ω(f , E) = diam f (E) = supx,y∈E |f (x) − f (y)|.Теорема. (Критерий Коши) Для того, чтобы существовал предел функции f в точкеa ∈ X, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая◦¡ ◦¢окрестность U X (a) точки a, что ω f , U X (a) < ε.•Эту теорему можно сформулировать и по-другому: для того, чтобы существовал пределфункции f в точке a ∈ X, необходимо и достаточно,¡ чтобы для ¢любого ε > 0 существовалотакое δ > 0, что |f (x) − f (y)| < ε для всех x, y ∈ B(a, δ) ∩ X \ {a}.46Функция f : X → Rm называется непрерывной в точке a ∈ X, если для любой окрестности¡¢U (f (a)) точки f (a) (в Rm ) существует окрестность UX (a) точки a, такая, что f UX (a) ⊂U (f (a)).Упражнение.

Доказать, что функция f : X → Rm является непрерывной в точкеa ∈ X тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0, что|f (x) − f (a)| < ε для всех x ∈ B(a, δ) ∩ X.•Для вектор-функций справедлива теорема Гейне: функция f : X → Rm является непрерывной в точке a ∈ X тогда и только тогда, когда f (xk ) → f (x) для любой последовательности {xk } ⊂ X, сходящейся к x.Заметим, что изучение¡ векторных функций¢ можно свести к изучению скалярных функций, так как f (x) = f1 (x), f2 (x), .

. . , fm (x) .Функция f : X → Rm называется ограниченной, если f (X) — ограниченное множество вRm . Функция f называется ограниченной на множестве E ⊂ X, если f (E) — ограниченное множество в Rm .Теорема. Если функция f : X → Rm непрерывна в точке a ∈ X, то она ограничена внекоторой окрестности UX (a) этой точки.•Теорема. Если функция f : X → R непрерывна в точке a ∈ X и f (a) > 0, то f (x) > 0для всех x из некоторой окрестности UX (a) точки a.•Теорема.

Пусть заданы функции f : X ⊂ Rn → Y ⊂ Rm и g : Y → Rk . Если функцияf непрерывна в точке x0 ∈ X, а функция g непрерывна в точке y 0 = f (x0 ), то функция(g ◦ f ) : X → Rk непрерывна в точке x0 .•Теорема. Пусть X ⊂ Rn и функции f : X → R и g : X → R непрерывны в точке a ∈ X.fТогда функции f + g, f g, а если g(a) 6= 0, то и функция , непрерывны в точке a ∈ X.

•gФункция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точкеэтого множества. Множество функций f : X → Rm , непрерывных на множестве E ⊂ X,обозначается через C(E, Rm ) или просто C(E), если из контекста понятно, что областьзначений этой функции лежит в Rm .Функция f : X → Rm называется равномерно непрерывной на множестве E ⊂ X, еслидля любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − f (y)| < ε для всех x, y ∈ E,удовлетворяющих неравенству |x − y| < δ.Теорема.

Если f : X → Rm , K — компактное множество в X и f ∈ C(K), то f равномерно непрерывна на K.•Теорема. Если K — компактное множество в Rn и f ∈ C(K, Rm ), то функция f ограничена на K, т.е., существует C ∈ R+ , такое, что |f (x) 6 C для всех x ∈ K. Более того,существуют a, b ∈ K, такие, что f (a) = maxx∈K f (x) и f (b) = minx∈K f (x).•Две нормы N1 и N2 в Rn называются эквивалентными, если существуют такие постоянныеc1 , c2 ∈ R+ , что c1 N1 (x) 6 N2 (x) 6 c2 N1 (x) для всех x ∈ Rn .Теорема. Любая норма в Rn эквивалентна евклидовой норме.Заметим, что отношение эквивалентности обладает следующими свойствами:1.

если N1 эквивалентна N2 , то N2 эквивалентна N1 (симметричность);47•2. если N1 эквивалентна N2 , а N2 эквивалентна N3 , то N1 эквивалентна N3 (транзитивность).Из этих свойств и из теоремы следует, что все нормы в Rn эквивалентны.Пример. Помимо евклидовой в пространстве Rn часто используются следующие нормы:kxk1 =nX|xi |,i=1kxkp =n³X|xi |p´1/p,kxk∞ = max |xi |,i=116i6nгде x = (x1 , x2 , .

. . , xn ).•Упражнение. Показать, что kxkp → kxk∞ при p → +∞ для каждого x ∈ Rn .•Путь в Rn есть непрерывное отображение отрезка [0, 1] ⊂ R в Rn . Множество E ⊂ Rnназывается линейно связным, если для любых точек x0 , x1 ∈ E существует путь Γ : [0, 1] →E, связывающий эти точки, т.е., удовлетворяющий следующим свойствам:1. Γ(0) = x0 ,2.

Γ(1) = x1 ,3. Γ(λ) ∈ E для всех λ ∈ [0, 1].Других типов связности (кроме линейной) в нашем курсе не встретится, поэтому длякраткости мы будем часто говорить просто «связное множество», подразумевая при этомлинейно связное. Областью в Rn называется открытое линейно связное множество.Теорема.

Пусть E — область в Rn и f ∈ C(E, R). Если a, b ∈ E, то для любого вещественного числа c, лежащего между f (a) и f (b), существует точка ξ ∈ E, такая, чтоf (ξ) = c.•Глава 8. Основы дифференциального исчисления в Rn .§ 8.1. Производная функции многих переменных.Линейные отображения.Отображение L : Rn → Rm называется линейным, если L(x + y) = L(x) + L(y) и L(λx) =λL(x) для всех x, y ∈ Rn и всех λ ∈ R.Часто, чтобы подчеркнуть, что на вектор x действует линейное отображение L, мы использовать уго́льные скобки: Lhxi. Также используется обозначение Lx, пришедшее изалгебры. Линейные отображения называют ещё линейными операторами.Линейное отображение L : Rn → Rm называется ограниченным, если существует C ∈ R+ ,такое, что |Lhxi| 6 C|x| для всех x ∈ Rn .

Нормой линейного отображения L называетсявеличина|Lhxi|.kLk = supx∈Rn \{0} |x|Упражнение. Показать, что kLk = supx∈S(0,1) |Lhxi|, где S(0, 1) — сфера единичногорадиуса в Rn .•Линейное отображение является ограниченным тогда и только тогда, когда kLk < ∞.Линейное отображение L : Rn → Rm называется непрерывным, если Lhxk i → Lhxi длялюбой последовательности {xk }, сходящейся к x.48Теорема.

Линейное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено.•Каждому линейному отображению L : Rn → Rm можно поставить в соответствие матрицу. Пусть {e1 , . . . , en } и {w1 , . . . , wm } — стандартные базисы в Rn и Rm соответственно.ПоложимPnLij = wi · Lhej i. Заметим, что если y = Lhxi, x = (x1 , . . . , xn ) и y = (y1 , . . .

, ym ),то yi = j=1 Lij xj . В самом деле,y=mXyi w i ,x=i=1поэтомуmXk=1nXxj e j ,j=1nn­X® X­ ®yk w k = Lxj e j =xj L ej .j=1j=1Умножив это равенство скалярно на wi и воспользовавшись тождеством wi · wk = δik , мыполучим требуемое соотношение.Производная функции.Пусть X — открытое множество в Rn . Функция f : X → Rm называется дифференцируемойв точке a ∈ X, если существует такое непрерывное (ограниченное) линейное отображениеLx : Rn → Rm , что равенствоf (a + h) − f (a) = Lx hhi + α(a, h)справедливо для любого вектора h, удовлетворяющего соотношению (a + h) ∈ X, и некоторой функции α(a, ·) : Rn → Rm , такой, что α(a, h) = o(h) при h → 0.Линейное отображение Lx : Rn → Rm называется производной (или дифференциалом)функции f в точке a.

Для производной используются следующие обозначения:f 0 (a),∂f(a),∂xа если мы используем термин «дифференциал», то пишем df (a). Таким образом, выражение f 0 (a)hhi ( df (a)hhi ) означает, что мы подействовали линейным оператором f 0 (a)( df (a) ) на вектор h.Сделаем одно замечание относительно функции α(a, h). Иногда её удобно записывать втаком виде: α(a, h) = |h| β(a, h), где β(a, h) → 0 при h → 0.Приведённое выше определение производной годится и для случая, когда X — произвольное множество в Rn , а a ∈ X является его предельной точкой. Мы будем рассматриватьтолько простые случаи, когда X — открытое множество или замыкание открытого множества.Будем говорить, что функция f : X → Rm дифференцируема, если она дифференцируемав каждой точке множества X.Теорема.

Характеристики

Список файлов лекций