1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(Признак Абеля)Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, ω) и функция g : [a, ω) → R монотонна. ЕслиRω1. несобственный интеграл a f (x) dx сходится,402. функция g ограничена на [a, ω),Rωто сходится несобственный интеграл a f (x) g(x) dx.•Теорема. (Признак Дирихле)Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для любого b ∈ (a, ω) и функция g : [a, ω) → R монотонна. Если¯Rb¯1. существует K ∈ R+ , такое, что ¯ a f (x) dx¯ 6 K для всех b ∈ [a, ω),2. g(x) → 0 при x → ω−,то сходится несобственный интегралRωaf (x) g(x) dx.•Существует ещё одно обобщение интеграла Римана, тесно связанное с понятием несобственного интеграла. Пусть ω ∈ (a, b).
Говорят, что функция f : [a, b] → R интегрируемав смысле главного значения, если существует пределZ b³ Z ω−δ´limf (x) dx +f (x) dx .δ→0+aω+δRbЭтот предел обозначают p.v. a f (x) dx (аббревиатура “p.v.” происходит от английскоговыражения “principal value”). Интеграл в смысле главного значения по ограниченномупромежутку обычно возникает в случае, когда f (x) → ±∞ при x → ω±. Следует обратить внимание на то, что от точки ω вправо и влевоR ωотступаютсяR b промежутки одинаковойдлины.
По-отдельности несобственные интегралы a f (x) dx и ω f (x) dx могут и не существовать.Пример.Z1p.v.но несобственные интегралыR0−11−1 xdx иR110 x1dx = 0,xdx расходятся (см. пример выше).•Аналогично определяется интеграл в смысле главного значения по бесконечному промежутку (−∞, +∞):Z aZ +∞f (x) dx.f (x) dx = limp.v.a→+∞−∞−aГлава 7. Функции многих переменных.§ 7.1. Пространство Rn .Обозначим через Rn множество упорядоченных наборов x = (x1 , x2 , . . .
, xn ), где xi ∈ R,i = 1, 2, . . . , n. Таким образом, Rn есть декартово произведение n множеств вещественныхчисел R:Rn = |R × R ×{z. . . × R} .nМетрическая структура в Rn .Определим расстояние между элементами x и y множества Rn .Пусть A — какое-либо множество. Метрикой называется функция ρ : A × A → R, такая,что411. ρ(x, y) > 0 для всех x, y ∈ A;2. ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;3. ρ(x, y) = ρ(y, x) для всех x, y ∈ A;4. ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) для всех x, y, z ∈ A.Пара (A, ρ) состоящая из множества и определённой на нём метрики называется метрическим пространством.
Часто, если из контекста понятно, какая метрика введена намножестве A, то говорят о метрическом пространстве A (без упоминания метрики). Элементы метрического пространства будем называть точками.На множестве Rn наиболее часто используется евклидова метрика:ρe (x, y) =n³X2(xi − yi )´1/2,x, y ∈ Rn .i=1Таким образом, Rn есть метрическое пространство.Линейная (векторная) структура в Rn .Определим на Rn операции сложения и умножения на число.
Если x = (x1 , x2 , . . . , xn ),y = (y1 , y2 , . . . , yn ) — элементы множества Rn и λ ∈ R, то положимx + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) ∈ Rn ,λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ) ∈ Rn .Таким образом, Rn является линейным (векторным) пространством над полем вещественных чисел. Его элементы будем называть векторами. Нулём векторного пространства Rnназывается вектор 0 = (0, 0, . . . , 0).PВекторы x1 , . . . , xk называются линейно независимыми, если из равенства ki=1 λi xi = 0,λi ∈ R, следует, что λ1 = . . . = λk = 0.
В противном случае векторы x1 , . . . , xk называютсялинейно зависимыми. Любой набор из n линейно независимых векторов в Rn называетсябазисом. Стандартным (или каноническим) базисом в Rn называется следующий наборвекторов:{ei = (δi1 , δi2 , . . . , δin )}ni=1 ,где δij — символ Кронекера: δij = 1, если i = j, и δij = 0, если i 6= j. Другими словами,стандартный базис состоит из векторов ei , у которых на i-м месте стоит P1, а все остальныепозиции заняты нулями. Заметим, что если x = (x1 , x2 , .
. . , xn ), то x = ni=1 xi ei .Евклидова структура в Rn .Линейное пространство E над полем вещественных чисел называется евклидовым, есликаждой паре векторов x, y ∈ E поставлено в соответствие вещественное число x · y, такое,что1. x · x > 0 для всех x ∈ E и x · x = 0 ⇐⇒ x = 0;2. x · y = y · x для всех x, y ∈ E;3. (λx) · y = λ(x · y) для всех x, y ∈ E и λ ∈ R;424. (x + y) · z = x · z + y · z для всех x, y, z ∈ E.Два вектора x, y ∈ E называются ортогональными, если x · y = 0.PnВведём в Rn следующее скалярное произведение: x · y =i=1 xi yi для произвольныхx = (x1 , x2 , . .
. , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn .Линейное пространство E над полем вещественных чисел называется нормированным,если каждому вектору x ∈ E поставлено в соответствие вещественное число kxk, такое,что1. kxk > 0 для всех x ∈ E и kxk = 0 ⇐⇒ x = 0;2. kλxk = |λ| kxk для всех x ∈ E и λ ∈ R;3. kx + yk 6 kxk + kyk для всех x, y ∈ E.Любое евклидово пространство является нормированным с нормой kxk =каждого x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn определим его евклидову норму:|x| =n³Xx2i´1/2√x · x.
Для.i=1Заметим, что ρe (x, y) = |x − y| для всех x, y ∈ Rn .Евклидова норма каждого вектора стандартного базиса равна 1. Кроме того, векторыстандартного базиса являются взаимно ортогональными. Поэтому говорят, что стандартный базис является ортонормированным.Теорема. (Неравенство Коши — Буняковского) Для любых векторов x и y произвольного евклидова пространства E справедливо неравенство:|x · y| 6 kxk kyk.•Если E = Rn , то неравенство Коши — Буняковского является частным случаем неравенства Гёльдера.Открытые, замкнутые и компактные множества в Rn .Множество B(a, r) = {x ∈ Rn | |x − a| < r} называется открытым шаром радиуса r сцентром в точке a.Множество A ⊂ Rn называется открытым, если для каждого x ∈ A существует такоеδ > 0, что B(x, δ) ⊂ A.Примеры. 1.
Пространство Rn является открытым множеством.2. Открытый шар B(a, r) является открытым множеством.3. По определению полагают, что пустое множество ∅ является открытым, однако и формальный анализ определения открытого множества приводит к такому же выводу.•Множество A ⊂ Rn называется замкнутым, если множество CA = Rn \ A открыто.Примеры.ствами.1. Пространство Rn и пустое множество ∅ являются замкнутыми множе-432. Множество B(a, r) = {x ∈ Rn | |x − a| 6 r} называется замкнутым шаром радиуса r сцентром в точке a. Замкнутый шар является замкнутым множеством.3.
Множество S(a, r) = {x ∈ Rn | |x − a| = r} называется сферой радиуса r с центром вточке a. Сфера является замкнутым множеством.•Точка a называется внутренней точкой множества A ⊂ Rn , если существует такое δ > 0,что B(a, δ) ⊂ A. Множество внутренних точек множества A ⊂ Rn называется внутренностью множества A и обозначается через A◦ .Точка a называется внешней по отношению к множеству A ⊂ Rn , если существует такоеδ > 0, что B(a, δ) ⊂ Rn \ A.Границей множества A ⊂ Rn называется множество точек пространства Rn , которые неявляются ни внутренними, ни внешними по отношению к множеству A. Будем обозначать границу множества A через ∂A.
Заметим, что граница всегда является замкнутыммножеством.Примеры. 1. ∂Rn = ∅ и ∂∅ = ∅.2. ∂B(a, r) = ∂B(a, r) = S(a, r).3. Пусть n = 1 и A = [0, 1] ∩ Q. Тогда ∂A = [0, 1], т.е., множество содержится в своейгранице.•Теорема. 1. Пусть {Aα } — произвольное (конечное или бесконечное) семейство открытых множеств в Rn . Тогда ∪α Aα — открытое множество.2. Пусть {A1 , . . . , Ak } — конечный набор открытых множеств в Rn .
Тогда ∩ki=1 Ai — открытое множество.•Следствие. 1. Пусть {Aα } — произвольное (конечное или бесконечное) семейство замкнутых множеств в Rn . Тогда ∩α Aα — замкнутое множество.2. Пусть {A1 , . . . , Ak } — конечный набор замкнутых множеств в Rn . Тогда ∪ki=1 Ai — замкнутое множество.•Окрестностью точки (множества) в Rn называется любое открытое множество, содержащее эту точку (это множество). δ-окрестностью множества A ⊂ Rn называется множествоUδ (A) = ∪x∈A B(x, δ).
Как следует из теоремы, Uδ (A) — открытое множество. Заметим, чтоUδ (A) = {x ∈ Rn | dist(x, A) < δ}, где dist(x, A) = inf y∈A |x − y| — расстояние от точки xдо множества A.Точка x ∈ Rn называется предельной точкой множества A ⊂ Rn , если для произвольногоδ > 0 шар B(x, δ) содержит бесконечное число точек из A.Упражнение. Доказать, что точка x ∈ Rn является предельной точкой множестваA ⊂ Rn тогда и только тогда, когда для произвольного δ > 0 шар B(x, δ) содержит хотябы одну точку из A \ {x}.•Замыканием множества в Rn называется объединение этого множества с множеством егопредельных точек.
Замыкание множества A ⊂ Rn обозначается через A.Теорема.Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда A = A.•Упражнение. Доказать, что A есть «наименьшее» замкнутое множество, содержащееA. То есть, если A ⊂ B и множество B замкнуто, то A ⊂ B.Указание: доказать сначала, что для произвольных множеств A и B из A ⊂ B следуетA ⊂ B, а потом воспользоваться теоремой.•44Замкнутым кубом (или замкнутым параллелепипедом) в Rn называется множество Q =I1 × . . . × In , где Ik — отрезки (замкнутые интервалы) в R. Другими словами, замкнутыйкуб есть множество вида {x ∈ Rn | ai 6 xi 6 bi , i = 1, . .
. , n}.Открытый куб (или открытый параллелепипед ) в Rn есть декартово произведение nоткрытых интервалов.Теорема. Пусть {Qk } — последовательность вложенных замкнутых кубов, т.е., Qk+1 ⊂Qk для любого k ∈ N. Тогда ∩∞k=1 Qk 6= ∅. Более того, если diam Qk → 0 при k → ∞, то∞множество ∩k=1 Qk состоит из единственной точки.•Здесь diam A есть диаметр множества A, т.е., diam A = supx,y∈A |x − y|.Семейство множеств {Aα }α∈I называется покрытием множества B, если B ⊂ ∪α∈I Aα . Если все множества Aα открыты, то семейство {Aα }α∈I называется открытым покрытиеммножества B. Если I 0 есть подмножество множества индексов I и B ⊂ ∪α∈I 0 Aα , то семейство {Aα }α∈I 0 называется подпокрытием покрытия {Aα }α∈I .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
