1610907243-0fd8964f8e2c41062f44ec9f3a5e33aa (824398), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Числовые ряды.Рядом называется отображение, которое каждой последовательности {an }n∈N ставит всоответствие последовательность {sn }n∈N , такую, что s1 = a1 и sn+1 = sn + an+1 для всехn ∈ N.Последовательность {sn }n∈N называется последовательностью частичных сумм ряда. Говорят, что ряд сходится, если сходится его последовательность частичных сумм, пределкоторой называется суммой ряда. Если ряд не является сходящимся, то говорят, что он18расходится. Для самого ряда и для его суммы используется одно и то же обозначение:∞Pan . Таким образом,n=1∞Xn=1an = lim sn = limn→∞n→∞nXak .k=1PТеорема.

(Критерий Коши для рядов) Для того, чтобы ряд ∞n=1 an сходился,Pm необходимои достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое N ∈ N, что | n=k an | < ε длявсех m > k > N .•P∞P∞P∞Упражнение.Если n=1Pan и n=1 bn — PсходящиесяPряды и Pλ ∈ R, то рядыP∞P∞ n=1 λan и∞∞∞∞(a+b)сходятсяи(a+b)=a+b,λa=λ•nnnn=1 nn=1 nn=1 nn=1 nn=1n=1 an .∞ 1PПример. (Гармонический ряд) Рядрасходится.•n=1 nPТеорема.

(Необходимый признак сходимости ряда) Если ряд ∞n=1 an сходится, то an → 0при n → ∞.•P∞P∞Ряд n=1 an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд n=1 |an |. Из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Если ряд сходится, но не сходится абсолютно,то говорят, что он сходится условно.Перестановкой назовём любое взаимно-однозначное отображение σ множества N на себя.PP∞Теорема.

Если ряд ∞n=1 an сходится абсолютно, то рядk=1 aσ(k) , полученный перестановкой членов исходного ряда, тоже сходится абсолютно и суммы обоих рядов совпадают.•P∞P∞Теорема. (Признак сравнения) Пусть n=1 an и n=1 bn — ряды с положительными членами и an 6Pbn для всех n ∈ N. ТогдаP∞а) если ряд P∞an ;n=1 bn сходится, то сходится рядn=1P∞б) если ряд n=1 an расходится, то расходится ряд ∞•n=1 bn .Следствие.

(Мажорантный признак Вейерштрасса) Пусть последовательности{an } иP∞{bn } таковы, что |an | 6 bn дляP всех n ∈ N. Тогда из сходимости ряда n=1 bn следуетабсолютная сходимость ряда ∞•n=1 an .pP∞Теорема. (Признак Коши) Пусть n=1 an — произвольный ряд и α = lim n |an |. Тогдаn→∞Pа) если α < 1, то ряд P∞n=1 an абсолютно сходится;б) если α > 1, то ряд ∞•n=1 an расходится.P∞Теорема. (Признак Даламбера) Пусть n=1 an — произвольный ряд и существует¯a ¯¯ n+1 ¯lim ¯¯ = α.n→∞anТогдаPа) если α < 1, то ряд P∞n=1 an абсолютно сходится;•б) если α > 1, то ряд ∞n=1 an расходится.P∞последовательность натуральПусть n=1 an — произвольныйP k ряд и {nk } — возрастающая P∞a.Говорят,чторядных чисел.

Определим bk = nm=nmk=1 bk получен группировкойk−1 +1P∞членов ряда n=1 an .19PПоследовательность частичных сумм рядаP ∞k=1 bk является подпоследовательностьюP∞ по∞следовательности частичныхP сумм рядаP∞ n=1 an . Поэтому из сходимости ряда n=1 anследует сходимость ряда ∞b.Еслиan — ряд с положительными членами, то егоk=1 kPn=1∞сходимость следует из сходимости ряда k=1 bk .Теорема. (Прореживающий признак Коши) Пусть {an } — невозрастающаяпоследоваPтельность положительных чисел: Pa1 > a2 > a3 > . . . > 0. Ряд ∞aсходитсятогда иn=1 n∞kтолько тогда, когда сходится ряд k=0 2 a2k .•P∞Пример.

Ряд n=1 1/np сходится при p > 1 и расходится при p 6 1.•P∞n+1Пусть {an } — последовательность положительных чисел. Ряд вида n=1 (−1)an называется знакопеременным (или знакочередующимся).Если последовательность {an } такова, что an > an+1 для всех n ∈ NТеорема. (Лейбниц)Pn+1и lim an = 0, то ряд ∞an сходится.•n=1 (−1)n→∞Пусть даны наборы чисел:Pn {α1 , α2 , . . . , αn } и {β1 , β2 , . .

. , βn }. Обозначим: B0 = 0, B1 = β1 ,B2 = β1 + β2 , . . . , Bn = k=1 βk . Тогда βk = Bk − Bk−1 для k = 1, 2, . . . , n.Лемма. (Преобразование Абеля)nXαm βm = αn Bn −m=1n−1X(αm+1 − αm )Bm .m=1•Лемма.Пусть L = max{|B1 |, |B2 |, . . . , |Bn |} и последовательность {αm } монотонна. ТогдаP| nm=1 αm βm | 6 L(|α1 | + 2|αn |).•Теорема. (Признак Абеля) Предположим, что1) {an } — монотонная последовательность;2) существуетчисло K ∈ R+ , такое, что |an | 6 K для всех n ∈ N;P∞3) ряд n=1 bn сходится.PТогда сходится ряд ∞n=1 an bn .•Теорема.

(Признак Дирихле) Предположим, что1) {an } — монотонная последовательность;2) существует lim an = 0;n→∞Pm3) существует K ∈ RP+ , такое, что |n=1 bn | 6 K для всех m ∈ N.∞Тогда сходится ряд n=1 an bn .•P∞P∞Теорема. (О произведении рядов) Пусть ряды n=1 an и n=1 bn сходятся абсолютно кPkPA и B соответственно.

Тогда ряд ∞n=1 an bk−n+1 , сходится абсолютно кk=1 ck , где ck =AB.•Глава 4. Функции вещественной переменной.В этой главе мы будем изучать функции (отображения), действующие из некоторого множества E ⊂ R в R.§ 4.1. Предел функции в точке.Определение. Скажем, что вещественное число A является пределом функции f в точкеa, если для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что |f (x) − A| < ε для всех x ∈ dom f ,удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ.•20Заметим, что точка a может и не принадлежать dom f , однако она должна быть предельной точкой этого множества.

Тот факт, что A является пределом функции f в точке a,записывают следующим образом: A = lim f (x).x→asin x= 1.•x→0 xТеорема. (Гейне) Для того, чтобы lim f (x) = A, необходимо и достаточно, чтобы дляПример.limx→aлюбой последовательности точек {xn }, сходящейся к точке a при n → ∞, выполнялось•соотношение lim f (xn ) = A.n→∞Определим сумму и произведение функций f и g, имеющих одну и ту же область определения:(f + g)(x) = f (x) + g(x),(f g)(x) = f (x)g(x).Следствие. Если функции f и g имеют одну и ту же область определения, lim f (x) = Ax→aи lim g(x) = B, тоx→a1) lim (f + g)(x) = A + B,x→a2) lim (f g)(x) = AB,x→aAf (x)=при условии, что B 6= 0 и g(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки a.x→a g(x)B3) lim•Следствие. Пусть функции f и g имеют одну и ту же область определения, lim f (x) = Ax→aи lim g(x) = B.

Если A < B, то существует δ > 0, такое, что f (x) < g(x) для всехx→ax ∈ dom f = dom g, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ.•Следствие. Пусть функции f , g и h имеют одну и ту же область определения, и f (x) 6h(x) 6 g(x) в некоторой окрестности точки a. Если существуют пределы lim f (x) =x→alim g(x) = A, то существует предел lim h(x) = A.x→ax→a³Можно рассмотреть случай a = ±∞.

Скажем, что lim f (x) = Ax→+∞•´lim f (x) = A , еслиx→−∞для любого ε > 0 существует такое K ∈ R+ , что |f (x) − A| < ε при всех x ∈ dom f ,удовлетворяющих неравенству x > K (x < −K).§ 4.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции.Показательная функция (ax ).Наша цель определить ax для всех a ∈ R+ и x ∈ R. Мы уже определили an , a1/n дляn ∈ N и a−1 для a 6= 0, причем an am = an+m для n, m ∈ N, а a−1 и a1/n пока¡ 1/nчто¢n являются−1= a.символами, обозначающими такие вещественные числа, что aa = 1 и aСначала рассмотрим случай a > 1.

Положим по определению a0 = 1.Лемма. (am )1/n = (a1/n )m для m, n ∈ N.•Из этой леммы следует, что мы можем рассматривать выражения вида am/n для m, n ∈ N.Лемма. (am/n )−1 = (a−1 )m/n для m, n ∈ N.•Лемма. am/n = amk/nk для m, n, k ∈ N.•Таким образом, мы придали смысл выражениям вида ar для r ∈ Q.21Лемма. Если r1 , r2 ∈ Q, то ar1 ar2 = ar1 +r2 .•Таким образом, мы можем обращаться с выражениями вида ar для r ∈ Q точно так же,как с натуральными степенями числа a.Лемма. Если r1 , r2 ∈ Q и r1 > r2 , то ar1 > ar2 .Лемма.lim ar = ar0 .••Q3r→r0Мы определили показательную функцию на Q.

Доопределим её на R.Лемма. sup{ar | r < x, r ∈ Q} = inf{ar | r > x, r ∈ Q} для любого x ∈ R.•Положим по определению ax = sup{ar | r < x, r ∈ Q} = inf{ar | r > x, r ∈ Q}. Такимобразом, функция ax полностью определена на R. Эта функция называется показательнойи обозначается expa (т.е., ax = expa x). Число a называется основанием показательнойфункции. Если a = e, то индекс a опускают и пишут просто exp. Функцию exp x = exназывают экспонентой или экспоненциальной функцией. Изучим свойства функции expa .Лемма.lim ar = ax для любого x ∈ R.•Q3r→xЛемма. ax1 ax2 = ax1 +x2 для всех x1 , x2 ∈ R.•Утверждение.

Если x1 , x2 ∈ R и x1 > x2 , то ax1 > ax2 .•Утверждение.lim ax = ax0 для любого x0 ∈ R.R3x→x0Утверждение. Показательная функция expa является биекцией R на R+ .••Теперь рассмотрим случай a ∈ (0, 1). Число b = 1/a > 1, поэтому функция expb ужеопределена на всей числовой прямой R. Положим по определению expa x = expb (−x), т.е.,ax = b−x .

Характеристики

Список файлов лекций